人教版八年级数学下册第16章二次根式的综合化简讲义（含解析）

考试后记

二次根式的化简求值，是中考以及各级各类竞赛中的常见题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等．
化简下列二次根式
1.．
．
说明和互为倒数，故．
原式
2.
3.
此题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会涉及，老师还可练习，
此类题型的步骤为：⑴将二次根式化简为的形式
⑵将a拆成x+y，b拆成xy的形式
⑶
1. 已知，，求和．
；
2.已知，求的值．
，
，，
3.已知且，求的值．
∵
∴
原式=
4.其中，，求 的值．
原式．
例2精讲：、或、的应用
共轭根式：形如，的两个根式互称为共轭根式．
如果和互为共轭根式，那么和都是有理式．（其中为有理数）
通常情况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式．
解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化．
推广：、虽然不是共轭二次根式，但是同样是有理式，因此也可以用来帮助分母或分子有理化．
探究1、分母有理化
【变式1】计算：
【解析】原式；
探究2、分子有理化
【变式2】已知，，，，比较，，的大小．
【解析】分子有理化可直接得到答案，易得．
探究3、利用共轭根式和来化简求值
【变式3】已知，，求下列各式的值.⑴； ⑵.
【解析】∵，，∴，.
⑴.
⑵.
探究4、构造共轭根式进行配对
【变式4】已知，则的值是 .
【解析】设，；则，，
，
原式.
探究5、共轭根式求值
【变式5】已知．则的值为__________．
【解析】注意到，
所以，．
1.已知，求的值．
直接把代入代数式求值显然计算很繁琐，可适当变形．
2.已知，求的值．
∵，∴，∴，，则
二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等.
比较下列各式的大小(填“>”“<”或“=”)
① ______ ②
③ ④ ________
①（平方）两个正数，其平方大的大，，，则．
②（被开方数） ，，
∵，故，即．
③（分母有理化）
∵，，∴，∴．
④法一（分子有理化）
∵，∴．
法二（倒数法），，
已知、均为有理数，并满足等式，求、的值.
【解析】由已知条件可得，所以，即，．
若，，，求证：．
待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右边为的倍，又与正方形的对角线有关．我们借助几何图形给予证明．
作出以为边长的正方形，分别在两边上截取线段、、，如图，则，，，
而，显然，由，可得原不等式成立．

已知，，求的值．
∵，
，
∴
∴．
已知，求的值．
直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形．
，，，即．
下面采用降幂（次）：
．
已知，求及的值．
，∵ ∴
∵ ∴
又∵
∴
设三所学校、、分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现是网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：；方案乙：（为中点）；方案丙：（为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？
设，则，，在中，，．
方案甲：；方案乙：；
方案丙：
所以，．

题型一 二次根式的化简与求值 巩固练习
已知，求的值． （四中期中）
当时，
原式
．
若求的值
由得即两边平方，得
∴原式=
题型二 二次根式的综合应用 巩固练习
已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
C
某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造，富康乡有四个村庄，，，正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
（以下数据可供参考：，，）
方案4最省钱．
若表示不超过的最大整数（如等），则
_________________．
2000

已知，求 ⑴； ⑵. （宣武期末）
由题意得
⑴ 原式 ⑵ 原式
先化简，再求值：，其中，．
．
当，时，
原式
试比较与的大小．
，．
显然，．