人教版八年级数学下册第17章勾股定理与逆定理讲义（含解析）

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勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其它自然科学中也被广泛地应用。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
直角三角形中常用数：
⑴ 整数边：；；；；；；
⑵如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k为正数）；
⑶含特殊角：和的三角形三边之比分别为和.
一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前有多高？
如图，设原旗杆底端点为，顶端点，从点处折断，
则由题意可知图中，，，
在中，，
∴，
∴，
∴
∴旗杆折断之前高16m．
1. 图1和图2中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．其中图1是中国数学史上有名的
（数学家的名字）弦图．简单写出证明过程．
（浙江湖州、新疆中考）
勾股定理，（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．）赵爽（中国数学家，主要贡献是深入研究了《周髀算经》，涉及了勾股定理的理论和证明．）
证明：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积．
图1：
图2：，即．
勾股定理的证明方法很多，比如可用方格来验证勾股定理等等．
2. ⑴ 如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
⑵ 如图2，，，且三点共线.
试证明；
⑶ 伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用1中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
（丰台期末）
⑴ 这个公式为．
⑵ ∵，∴．
．
由于共线，
所以．
⑶ 梯形的面积为
；
另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成
∴，即
3. 勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），同学们，如果直角三角形的三边长为（为斜边），试利用此图证明.

如右图可知：
∴，同理，∴
【探究对象】勾股定理的分类证明
【探究目的】勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任何定理无法比拟的。下面仅用若干种既简单又著名的证明方法来进行说明以拓展学生思路.
【探究一】以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”
“无字证明”不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形或移动图形就可以得证。
⑴ 刘徽的证明
约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。如上图，小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系，不依靠运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。
⑵ 拼图证明
上面的两个图形是在印度、阿拉伯和欧洲出现的一种拼图，通过图形的拼凑，可以简洁轻易地证明勾股定理.
⑶ 意大利著名画家达·芬奇的证法
①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，连接BC、FE，如图1.
②沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，如图2.
③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼在一起，可以得到其他图形，如图3.
通过剪接翻转拼凑，两个长方形纸板（图1和图2 ）里面的六边形是相等的，从而可以直观地得到，图1和图3中的四个三角形是全等的.所以，正方形的面积加上正方形的面积等于正方形的面积，即.
【探究二】以欧几里得的证明方法为代表的证明方法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明. 设△ABC为一直角三角形，其中C为直角.从C点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.
在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
①如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS定理）
②三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.
③任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.
④任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积
做三个边长分别为的正方形，把它们拼成如图所示形状，使三点在一条直线上，连结BF，CD，AK，CE，过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L
∵

∴
∵的面积等于
∵的面积等于矩形ADLM的面积的一半
∴矩形ADLM的面积等于
同理可证，矩形MLEB的面积等于
∵正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴，即.
【探究三】以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法
这一类证法，运用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系. 体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合。讲义上介绍了赵爽弦图（外弦图）、内弦图及总统证法。
【探究四】其他证明方法
⑴ 梅文鼎证明
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且Rt△GEF ≌ Rt△EBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即 ∠CBD= 90o.
又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ .
⑵ 项明达证明
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90o，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90o，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，
∴Rt△BMQ ≌Rt△BCA.
同理可证Rt△QNF ≌Rt△AEF.
从而将问题转化为⑴的梅文鼎证明.
⑴ 如下左图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，
则地毯的长度至少需要_______米．
⑵ 下右图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
⑶ 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为 ．
⑷ 已知中，，，高，则的长为__________.
⑴ ．
⑵ ．
⑶ 分类讨论：10为斜边或x为斜边，
∴高为8或10.
⑷ 分类讨论，如图或4.
如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系．
对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法来完成．
已知：如图，已知的三边满足，
求证：是直角三角形．
证明：以为两条直角边，为直角构造，
则由勾股定理得，
由已知可知，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
在中，，，中线．求证：是等腰三角形．
证明：如图，在中，
，
∴是直角三角形，，
∴也是直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
⑴ 下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
⑵ 下列各组式子所表示的线段中，一定能构成直角三角形的有_____________．
，，（）；② ，，（是正整数）；
，，；④ ，，（）
⑶ 如下图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，
其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
⑴ D
⑵ ④
⑶ ，，，，选B．
1. 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状；
∵a2c2－b2c2=a4－b4
∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，
∴c2=a2+b2，或
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
⑴ 求DE的长；
⑵ 求△ADB的面积．
⑴∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
⑵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，
∴△ADB的面积为S△ADB=AB?DE=×10×3=15．
在几何题中，通常会综合运用勾股定理与逆定理解决三角形的问题，如证明两条直线互相垂直、图形折叠、在数轴上寻找无理数、解斜三角形等等．同时，在综合题中也常常利用勾股定理求线段长．
如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？
设的长度为，由勾股定理得：
，解得．
⑴ 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．
⑵ 如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时
梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ．
⑶ 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、
、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外
面的最短长度是 ．
⑴由勾股定理得：∵OP1=；得OP2=；OP4==；
依此类推可得OPn=，∴OP2012=，
⑵ 0.8；．
⑶ 5；．
⑴ 把图1的矩形纸片折叠，、两点恰好重合落在边上的点处(如图2)，已知，，，那么矩形纸片的面积为 ．
⑵ 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 ．
⑴ 由勾股定理可得，过点P作高，可求得高为，
∴面积为．
⑵ 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，），
∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，
由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，
∴AM=，
∴AD=2×=3，
∵∠NDA=30°，
∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，
∵C（，0），
∴CN=3﹣﹣=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=，
即PA+PC的最小值是，
⑴ 已知钝角三角形的三边长分别为、、，求该三角形的面积．
⑵ 已知锐角三角形的三边长分别为、、，求该三角形的面积．

⑴ 过点作于，设，利用勾股定理，
解得，，面积为．
⑵ 过点作于，设，利用勾股定理，
解得，，面积为．
这类题目除了构造直角三角形，也可以用海伦公式：已知三角形的三边为、、，令，三角形的面积为．对于钝角三角形和锐角三角形的问题，通常采取“特殊处理”，即通过作高利用直角三角形的知识来解决问题．
在正方形中，为的中点，为上一点，且，求证：．

连接，设正方形的边长为，则，，，利用勾股定理，在中，，
在中，，
在中，
显然，在中，满足，故．
如图， 已知的面积为，以其三边作半圆，得到两个月牙图形（阴影部分），则月牙图形的面积 ．
由例题知道大半圆的面积=两个小的半圆面积之和，从而月牙面积=直角三角形的面积．
为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处绕柱子4圈后到达柱子顶端的处，那么至少应购买彩带 米．
5
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到2障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
（清华附期中）
过B作垂线，由勾股可得千米

题型一 勾股定理 巩固练习
如图1，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则不难证明．
⑴ 如图2，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么、、之间有什么关系？（不必证明）
⑵ 如图3，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的关系并加以证明．
⑶ 四边形的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为、、、．则、、和之间的关系是 ．
设的三边、、的长分别为、、，则 ．
⑴ ．
⑵ ．证明如下：显然，，，，
∴．
⑶
分别以直角三角形三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用、、表示，则．
题型二 勾股定理的逆定理 巩固练习
⑴ 若的三边、、，满足 ，则是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
⑵ 若，以、、为三边长的三角形是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
⑶ 已知的三边为、、，且，，，则是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
⑴ C．
⑵ B．得，，，满足，
以、、为三边长的三角形为直角三角形．
⑶ B．∵，，∴，
故是直角三角形．
如右图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ．
连接，证为直角三角形，面积为246.
题型三 勾股定理与逆定理的应用 巩固练习
如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点．数字和字母代表各自正方形面积．则________．
设边长为，边长为，则，即，同理，
.
细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：



① 用含有（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
② 推算出的长；
③ 求出的值．
此题意在渗透长为无理数的线段的画法及观察、归纳、探究能力的考查．
①
② ③
边长为的等边三角形的面积为 ．
过点作于点．
由等腰三角形三线合一，得到且，
∴，利用勾股得到，故面积为．
如图，是的中线，．把沿直线折过来，点落在点的位置上，如果，那么_______________．
小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ．
解得．