人教版九年级下册数学第27章《相似》全单元学案

九年级数学（下）第二十七章《相似》学案　　　　　


第二十七章《相似》学案　
27.1.1图形的相似
学习目标：
1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形概念．
2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
学习重点：成比例线段的判定
学习难点：会判断线段是否成比例线段
学习过程：
一、引入
观察右边几幅图片，你能发现些几幅图片的共同特点吗？
试着对几幅图片的共同特点进行归纳.

二、自主学习
阅读教材P24-25页相关内容，完成下列思考题：
1.相似图形的定义是什么？

2.如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?

3.练习：P25页练习
三、合作交流
1.实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的比是多少？
2.成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3.注意：
（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；
（2）四条线段成比例，记作或；
（3）若四条线段满足，则有．
四、反馈练习
例1：（1）一张桌面的长，宽，那么长与宽的比是多少？
（2）如果长，宽，那么长与宽的比是多少？
（3）如果长，宽，那么长与宽的比是多少？


例2：判断下列各组线段是否成比例？
（1）3cm，5cm，7cm，4cm； （2）12mm，5cm，15mm，4cm.


归纳：判断成比例线段的三步骤是（1）统一单位；（2）大小排序；（3）计算判断
例3：已知一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
分析：根据比例尺=，可求出北京到上海的实际距离．
五、反思提高
六、作业
P27页习题27.1第1题


27.1 图形的相似（二）

学习目标：
1.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
学习重点：相似多边形的主要特征与识别．
学习难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
学法指导：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
学习过程：
一、引入
1.已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=4cm,b=6cm,c=8cm，则d=（　　　）cm
2.在比例尺1：10000的地图上，相距3cm的A，B两地实际距离是多少？
二、自主学习
1.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．


思考问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．

2．结论
（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，两个边数相等的多边形，如果它们的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．
几何语言：在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，
若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，且
则四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似
（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．
三、合作交流
1.例1：下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 　D．所有的正方形都相似

2.例2：(教材P26页)如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度．




27.1-6
3.例3：已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：
四．反馈练习
1．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？


3．如图所示的两个五边形相似，求未知边、、、的长度．

四、归纳总结
1．你收获了哪些知识。　　　2．你认为解决实际问题应注意什么？
五、作业：
P27页习题27.1第3，5题

27.2.1 相似三角形的判定1

学习目标：
1.会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽△ 。
2.知道当△ABC与△ 的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．理解掌握平行线分线段成比例定理。
3.掌握判定两个三角形相似的方法及培养学生分析问题、解决问题的能力。
学习重点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用.
学习难点：掌握平行线分线段成比例定理应用．
教具：三角板
学习过程：
一、引入：
1.相似多边形的主要特征是什么？
2.相似三角形有什么性质？
二、合作探究：
阅读教材P29-30页起着内容，完成下列问题：
探究一：相似三角形
1.定义：对应角、对应边的两个三角形叫做相似三角形。
2.表示方法：

相似比：
3.符号语言：
4.注意：
（1）在表示两个三角形相似时，对应顶点写在对应位置。
（2）相似比有顺序，当AB：A′B′=BC：B′C′= AC：A′C′=k时，则△ABC?与△A′B′C′ 的相似比为.△A′B′C′与△ABC?的相似比为.
探究二、任意画两条直线l1和l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，分别度量l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度, AB：BC 与DE：EF相等吗?任意平移l5, 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB：BC 与DE：EF相等吗?

1.定理：
（1）内容：平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
（2）应用：∵l3∥l4∥l5　　　　　　
∴AB：BC＝　　　，AB：AC＝　　　，AB：DE＝（　　）：EF＝　　　.
2.思考：
（1）如果把图27.2-2中l1?,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-3（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
（2）如果把图27.2-2中l1?,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-3（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
（3）平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.

3.问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？


三、能力提升:
思考（教材P30页）：如图27.2-4，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。△ADE与△ABC有什么关系？
（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？
（2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？
（3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB）
你能证明AE:AC=DE:BC吗？
（4）写出△ABC∽△ADE的证明过程。










（5）结论：判定三角形相似的定理1：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
四、反馈练习

五、小结提高：
六、作业





27.2.1相似三角形的判定2

学习目标：
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
学习重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点：会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似会证明。
教具：三角板
学习过程：
一、引入：
(1)两个三角形全等有哪些判定方法？
(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
二、自主探究:
1.探究一:任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
思考：通过上述操作我们发现，只要两个三角形的边具备什么条件时，这两个三角形就相似？


三角形相似的判定方法2：
（1）内容：___　　　　　　　　　 __的两个三角形相似.
（2）几何语言表述：∵
∴△ABC∽△A′B′C′
2.探究二:（认真阅读教材P33页）

证明：


三角形相似的判定方法3：
（1）内容：___　　　　　　　　　 __的两个三角形相似.
（2）几何语言表述：
三、合作交流：
1.根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由：
（1）∠A=120°,AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm;
（2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=21cm.



小结：利用判定3证明的步骤：（1）将三边按大小排序；（2）计算；（3）判断
2.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．






3.完成教材P34页练习1,2，3题

四、小结提高

五、作业布置













27.2.1相似三角形的判定3

学习目标：
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”．
学习难点:三角形相似的判定方法4的运用．
教具:三角板
学习过程：
一、复习引入:
1.我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
2.如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．

二、自主探究：
问题1：观察两副三角板其中同样度数的两个三角尺相似吗？说说理由。
问题2：作△ABC和△A/B/C/使得∠A=∠A/ ,∠B=∠B/，这时它们的第三个角满足∠C=∠C/ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算△ABC和△A/B/C/的对应边的比是否相等？
小结：三角形相似的判定方法4：
（1）内容：　　　　　　　　　　　　的两个三角形相似．
（2）几何语言：



（3）证明：



三、巩固提升
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.
解：





由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足_______或_____，那么这两个直角三角形相似.
2.对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?
已知：如图，Rt△ABC与Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，
AB：A/B/=AC：A/C/
求证：Rt△ABC∽Rt△A/B/C/
证明：




结论：_________________________________________________
四、反馈练习：
1.P36页练习（做在书上）

2.已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：．





五、小结提高
六、作业布置














27.2.2　相似三角形的性质

【学习目标】
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．能用三角形的性质解决简单的问题．
【学习重点】相似三角形的性质与运用．
【学习难点】相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
【学习过程】
一、引入
问题：前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么如果两个三角形相似，它们的周长之间、面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?
二、自主学习与合作交流
阅读教材P37-38页内容，完成下列问题的理解：
1.相似三角形对应高的比等于相似比
如图27－57所示，如果△ABC∽△A′B′C′，且＝k，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为k，过A作AD⊥BC，过A′作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D，D′，在△ABD与△A′B′D′中，∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以Rt△ABD∽Rt△A′B′D′，所以＝k，即相似三角形对应高的比等于相似比k．
2.相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
如图27－58所示，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的中线，BE，B′E′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线，若△ABC∽△A′B′C′，则＝k．
3.相似三角形周长的比等于相似比
如果△ABC∽△A′B′C′，并且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么＝k，则AB＝k·A′B′，BC=k·B′C′，AC＝k·A′C′，因此
，即相似三角形周长的比等于相似比．
例如：已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，则这两个三角形的相似比为，且，因为AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，所以A′B′＝18 cm，BC＝20 cm，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．
4.相似多边形周长的比等于相似比
如果多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′相似，并且多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′的相似比为k，则
＝k，∴A1A2＝kA1′A2′，A2A3＝kA2′A3′，…，AnA1＝kAn′A1′，∴A1A2+A2A3+…+AnA1＝k(A1′A2′+A2′A3′+…+An′A1′)，∴＝k，即相似多边形周长的比等于相似比.
5.相似三角形面积的比等于相似比的平方
若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD，A′D′分别是BC与B′C′边上的高，则 =k·k=k2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6.相似多边形面积的比等于相似比的平方
对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．
规律方法小结：
（1）如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．
（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方．
（3）类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
三、反馈练习
1.(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为 ；
(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为 ；
(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC的周长为 .
2.如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
3.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
四、反思





27.2.3相似三角形应用举例

【学习目标】
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
【学习难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
【学习过程】
一、引入
问题：王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?
二、问题的解决
分析： 由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，PC＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD，由相似三角形的性质可知，即，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．
解：



三、合作交流
1.如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．




2.古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．




3.如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?


四、反思
27.3 位似图形

学习目标：
1.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
2.有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯.
学习重点：掌握位似图形的特点。
学习过程：
一、引入
在日常生活中我们常见到这样的一类相似的图形，如放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形广大到屏幕上。这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的。因此我们可得到真实的图片和照片。
二、自主学习
阅读教材P47－48页相关内容，完成下列问题：
（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的类型？



（2）位似图形的特点：



A.位似图形是相似图形；
B.每组对应点的连线相交于一点（该点叫位似中心）
C.对应边互相平行或在一条直线上.

三、合作交流
探究1：观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，如何作？小组间互相交流，看一看有几种方法？


总结归纳：
1.“利用位似将图形放大或缩小”的作图步骤：
第一步:在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P作为位似中心。（即：选点）
第二步:以点P为端点向各关键点作射线.（或以各关键点为端点向P作射线）（即：作射线）
第三步:分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.（即：定对应点）
第四步:顺次连接截取点.（即：连线）
即可得到符合要求的新图形.
2.作位似图形的几种可能：
放大 　　　　　　　 缩小

同侧 　　　　 正像


异侧 　　　　　 倒像

探究2：小明想把△ABC进行适当的缩小和放大，他设计了以下几种方案，都可行吗？
1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.（如图1所示.）

图1 图2
2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.（如图2所示）
3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.（如图3所示:）
图3
四、课堂检测
1.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )
A.9倍 B.3倍　　　　　C.81倍 D.18倍
2.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A.= B.=　　　　C.= D.=
3.练习：P48页练习1,2题（画在书上）

五、反思
回想本节所学内容，你学到了什么？还有什么疑问？
27.3　位似图形的应用

学习目标：
1.能利用坐标的变化将一个图形放大或缩小，并了解位似变换中对应点的坐标的变化规律。
2.培养观察、分析、归纳能力，发展学生的作图能力；
3.通过观察操作归纳探索过程成功的体验，感受到数学天地无处不在，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。
学习重点：利用坐标的变化将一个图形放大或缩小
学习过程：
一、引入
在直角坐标系中可利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转（中心对称）.类似地，位似也可用两个图形坐标之间的关系来表示.
（1）回忆学过的“变化的鱼”，坐标的变化带来图形的怎样变化。


（2）利用位似如何放缩图形？
二、自主学习
阅读教材P48－50页内容，完成下列问题：
1.在同一个直角坐标系中，怎样通过改变一个图形上各点的坐标来的得到与原图形位似的图形？说说你的方法。

2.探究1：
在平面直角坐标系内描O(0,0),A(5,4),B(3,0),C(5,1),D(5,-1),B(3,0),E(4,-2),O(0,0)用线段把这些点顺次连接，得到什么图形？将这些点的横坐标、纵坐标都乘以2，再用线段将它们顺次连接。

（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度各是多少？

（2）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的比各是多少？它们相等吗？

（3）在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？

（4）如果把图（1）中的“鱼”画到同一个直角坐标系中，它们是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪一个点？

探究2直角坐标系中，将一个图形上各点的横坐标和纵坐标都乘同一个数k，当k是一个不等于1的正数时，得到的图形与原来的图形是位似图形吗？如果是位似图形，位似中心是哪个点？位似比等于多少？当k是一个负数时呢？

三、合作交流
1．三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.



2、P50页　练习1.2题

3.在下面的网格图中按要求画出图形.
先画出△ABC关于X轴对称的△A1B1C1，再画出以点O为位似中心，与△ABC位似且位似比为2的△A2B2C2；







4.归纳：关于原点位似作图的两个步骤：（1）描点――根据原图形关键点的坐标与相似比确定所作图形对应点的坐标描点；（2）连线――按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
四、反思
回想本节所学内容，你学到了什么？还有什么疑问？



A

B

C

·