人教版八年级数学下册第19章函数初步讲义（含解析）


 帅壮变形记



定 义
示 例 剖 析
常量、变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为常量.
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中是自变量，是因变量，是的函数．如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值.
表示函数关系的式子叫做函数解析式.
圆的面积与半径之间存在相应的关系：，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量，是的函数，当时，函数值；当时，函数值，
这里等式为函数解析式
总结
示 例 剖 析
函数自变量的取值范围，初中阶段主要包括：
⑴ 整式：一般为全体实数
⑵ 根式：根指数为偶数时被开方数为非负数
⑶ 分式: 分母不为零
⑷ 实际问题：符合实际意义
函数、、
自变量取值范围分别为：全体实数、、

⑴判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并指出其中的自变量.
① 三角形的面积S与长为5的边上的高h之间.
② 某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为0.4元，票价y元与经过的车站数x之间.
⑵下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）
（人大附中期中）
⑴ ① 是，，自变量为高h.
② 是，，自变量为车站数x.
⑵ C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断.本道例题旨在加强学生对函数定义的理解.
判断下列式子中是否是的函数，若是，请指出自变量的取值范围:
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；
⑸ ； ⑹ ； ⑺ ； ⑻ .
⑶ ⑸不是，其余均是.其中：
⑴ 为全体实数； ⑵ ； ⑷ 全体实数 ；
⑹ ； ⑺ 且； ⑻ 全体实数.

⑴ 三角形的周长是，三边长分别为，，，则以为自变量表示的函数关系式为_________，自变量的取值范围是 .

⑵ 矩形周长为30，则面积与一条边长之间的函数关系式为____________，其中的取值范围是___________.
⑶ 一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米，则小球的速度随时间变化的函数关系式为_______________；第秒时小球的速度为________.
⑷ 某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过立方米，按每立方米元收费；若超过立方米，则超过部分每立方米按元收费，某户居民五月份交水费（元）与用水量（立方米）（）之间的关系式为 ，若该月交水费元，则这个月的实际用水 立方米．
⑴ ，；
⑵ ，.
⑶ ，5米/秒.
⑷ ,.

函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横
纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
画函数图象的步骤：列表—描点—连线（平滑的曲线）
函数解析式与其图象的关系：
⑴ 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
⑵ 函数图像上点的坐标满足函数解析式．

在同一平面直角坐标系中描点画出函数①；②的图象，并解决以下问题：
⑴ 判断下列哪些点分别在函数①②的图象上：；；；
；；.
⑵ 观察两个函数的图象，当时，函数①和函数②中，是随着的增大而增大，还是随着的增大而减小？当时呢？
列表略，图象如下，注意强调几点：⑴自变量在定义域内取值；⑵连线时按照横坐标由小到大的顺序用平滑曲线连接；⑶由定义域判断图象是否有端点.
⑴ 点A、B、E均不在两个图象上，点在②上，点在①上，点在①和②上；
⑵ 当时，函数①②中，均随着的增大而增大，当时，函数①中随的增大而增大，函数②中随的增大而减小.

⑴某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出．那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（　　）
（海淀期末练习）
⑵小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”.如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）

A B C D
⑶水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间关系如图2所示，某天0点到6点该水池的蓄水量与时间关系如图3所示，下列论断：①0点到1点，打开2个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭2个进水口和1个出水口；③3点到4点，关闭2个进水口，打开出水口；④5点到6点，同时打开2个进水口和1个出水口．其中可能正确的论断是（　　）
（人大附统练）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
⑷某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度V（米/分钟）是时间t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ）
A B C D
⑴啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以表现在图象上为直线，故选A；
⑵C；
⑶由图中可以看出，一个进水管的速度为1；一个出水管的速度为2．从0点到1点，蓄水量由5增加到6，如果打开2个进水管关闭出水口的话，就要增加2，所以①不对，排除A、B． 3点到4点，蓄水量由6变为5，关闭2个进水口，打开出水口的话就应该减少2．③不对．故选D．
⑷A，此题易错在将函数当做路程．
下面的图象反映的过程是：李明从家跑去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中表示时间，表示李明离家的距离.
请根据以上图象信息回答下列问题：
⑴ 体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？
⑵ 体育场离文具店有多远？
⑶ 李明在文具店停留了多久？
⑷ 李明从文具店回家的平均速度是多少？
⑴ 2.5千米，15分钟；
⑵ 1千米；
⑶ 20分钟；
⑷ （千米/分）.
已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm．⑴求y关于x的函数解析式；⑵求自变量x的取值范围；⑶当较短边长为4cm时，求较长边的长．
【解析】⑴∵2（x+y）=24，
∴y=12-x；
⑵∵
∴6＜x＜12；
⑶当y=4时，y=12-x=4，解得：x=8cm．
【备注】此题难度不大，但是需要老师重点讲解自变量的取值范围，这是一个易错点，在初学函数时如果不注重对自变量取值范围的强调，对后面学习一、二次函数及反比例函数会有不利影响，容易造成学生失分。
程度好的班级，教师可带领学生探讨下面的函数动态问题。
【探究对象】探讨函数动态问题
【探究目的】函数与几何结合的动态问题，是近年来中考题型中的“新宠”，这样的题以几何为背景，赋运动、函数于一体，集开放、探索于一身，考察学生观察图形及举一反三运用知识点的能力．
【探究1】如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ C　）
分析：此题比较好理解，可以看出OP的长随P点从O到A逐渐变大，而P点弧AB上运动时OP为半径保持不变，P点从B到O过程中OP逐渐减少直至为0．重点是老师可以引导学生关注临界点，过临界点后发生变化，为以后更复杂的题提供做题思路．
【探究2】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ A　）
分析：此题与上题为同类型题目，有了上题的铺垫，老师可以发现部分学生已经学会运用临界点（或临界状态）做题，此题正方形左右两条边作为临界边，小正方形完全进入大正方形内部时会运动一段时间，而这段时间阴影部分的面积是保持不变的，故选A
【探究3】有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm，如图(1)，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿AB方向平移，如图(2)，设平移的长为xcm(0≤ x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2．
（1）当时，S= ；当时，S= ；
（2）当时，求S与x的函数关系式；
（3）当时，求S与x的函数关系式．
【解析】（1）当x=0时，∵阴影部分是等腰直角三角形，∴阴影部分的面积为S=2cm2；
当x=10时，直尺运动到最右边，阴影部分的面积为S=2cm2 ．
当直尺继续移动时，首先先引导学生，重叠部分阴影部分面积还是不是一直保持为是一个等腰直角三角形，通过画图发现，阴影部分的图形是在不断变化的，其形状变化为：三角形→梯形→五边形→梯形→三角形，画出各图形如下：
⑴1.1km,15分；
⑵10分；
⑶0.9千米，12分；
⑷18分；
⑸2千米，0.08千米/分.


知识模块一 常量、变量、函数 课后演练
⑴ 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
⑵ 在函数中，自变量的取值范围是_______.
⑶下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）

A B C D
⑴ A
⑵
⑶ C.应有唯一值与对应.
⑴等腰三角形顶角与底角之间的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 .
⑵汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系为_____________，自变量的取值范围是___________，当函数值时，自变量.
⑶在同一平面内，1条直线可以把平面分成2个部分，2条直线最多可以把平面分成4个部分，则3条直线最多可以把平面分成 个部分…… 若条直线最多可以把平面分成个部分，则与之间的关系式为_______________.

⑴ ，.
⑵ ，，250.
⑶ 7；，本题旨在提示学生，很多规律性结果都是其中项数的函数.
知识模块二 函数的图象 课后演练
⑴ 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15?km/h，水流速度为5?km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（ ）

⑵ 甲、乙两人准备在一段长为1200m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离(m)与时间 (s)的函数图象是（ ）
⑴ C；⑵ C.
一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是( )
A.摩托车比汽车晚到1 h B. A,B两地的路程为20 km
C.摩托车的速度为45 km/h D.汽车的速度为60 km/h
C.
如图所示，该曲线是某一函数的完整图象，请根据图象求：
⑴ 自变量的取值范围是__________．
⑵ 函数的对应值范围是__________．
⑶ 当时，函数的值是________．
⑷ 当时，的值是_______ ．
⑸ 当______时，的值最大．当______时，的值最小．
⑹ 当的值__________时，随的增大而增大.
（人大附中测试题）
⑴ ； ⑵ ；
⑶ 2 ； ⑷ ；
⑸ 1.5，； ⑹ .

购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量、变量与自变量，写出函数解析式并画出图象.
（清华附期中试题）
变量为，自变量为x，常量为0.2，函数解析式为.图象略.
正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，求y随x变化的函数解析式，并求当时函数的值.
化简得
当时函数值分别为：.
说明：因有学生尚未学习乘法公式，解析式不化简也可以.
将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，
现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的
高度与注水时间的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.
B.