人教版八年级数学上册第14章因式分解的高端方法及恒等变形讲义（含解析）

小人物与大人物

换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．
分解因式：
令，
原式
又∵
∴原式
分解因式：
⑴；
⑵；
⑶．
⑴解法一：令，则
原式
解法二：令，则
原式
；
⑵令，则
原式
．
备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了．
⑶原式
，
设，则
原式
．
分解因式：
⑴
⑵
⑴原式，设，
原式
⑵原式
设，原式
基本方法
示例剖析
拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.
常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.
2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.

例如：因式分解：

分解因式：
解法一：原式
．
解法二：原式
．
解法三：原式
．
解法四：原式
．
【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．
⑴因式分解：若，则的值等于( )
A B C D
⑵若点的坐标满足，求点的坐标．
⑴
故选C．
⑵原式

或
点的坐标为或
分解因式：
⑴
⑵
⑶
⑴ 原式
⑵ 原式
⑶法一




法二
分解因式：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴ 原式
⑵ 原式
⑶ 法一：原式
法二：原式
法三：原式
⑷法一：原式
法二：原式
【探究对象】 对拆项、添项法的探究
【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解.
【探究1】因式分解：
原式=．
点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，
如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式
子，整理完后在继续分解.
【探究2】因式分解：
原式=．
点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.
【探究3】因式分解：
原式=
点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方
法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.
例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.
【备选例题】
【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.
原式
点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为，因为没有学十字相乘法
分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学
习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.
矩形的周长28cm，两边长为、，且，求矩形的面积．
由题得，则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
⑴设，试判断的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；
⑵证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数；
⑶已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值．
⑴把进行因式分解得：
把代入式子得原式是定值为0；
⑵ 原式
∴一定是10的倍数；
⑶
∵及有公因式
∴
∴ 即
即
∴及的公因式为
即，．
【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．
【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方
差公式外，还用到下面的公式及变形：
【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究.
【探究1】若，，求证：.
由可知，
故有．
又，故，即．
若，则，；
若，同理有；
若，则，同理也有．
【探究2】已知，且，求证中至少有一个为1.
设，则.
由可知，
故中至少有一个为0，即中至少有一个为0
故中至少有一个为1.
【备选例题】 设，求证：.
原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设，则要证明的结论变为，已知条件变为. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为，而，故原式得证.
【探究3】若，，，
求：①的值；②的值.
①由可知，
又，故
而，
故．
又，故．
　②，
a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2ab2c-2abc2-2a2bc=-2abc(a+b+c)
，
　 从而可知，．
阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，，则，其中为整式，即是多项式的一个因式，若要确定整式，则可用竖式除法．
∴．
填空：
⑴ 分解因式___________
⑵ 观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ；
⑶ 已知：，其中为整式，则分解因式： ．
（海淀期末）
⑴
⑵ 1；；
⑶
此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.

⑴若，为有理数，且，则 ．
⑵求的最值． （北大附中测试题）
⑴ ，
所以，则．
⑵ ，所以有最小值．
计算
分析：可将用表示．
解法一：原式
解法二：原式
备注：是一种常用的变形．又如．
因式分解
小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是岁和岁，并且，试求王琼和王倩的年龄．
∵
∴
∵a为王琼的年龄
∴有实际情况得
∴
∴王琼9岁，王倩4岁．

题型一 换元法 巩固练习
分解因式：
原式
，
令，则
原式
．
题型二 拆、添项及配方法 巩固练习
分解因式：
分解因式：
题型三 恒等变形 巩固练习
已知，，求的值.
由可知，，
故
.
已知，，求的值．
∵，
∴
原式=
已知，求的值．
∵，∴
∴，∴，∴，∴
因式分解：

因式分解
原式=