第2节 描述交变电流的物理量 学案 Word版含答案

第2节描述交变电流的物理量
1．周期和频率描述交变电流变化的快慢，我国日常生活用电的频率为50 Hz。
2．有效值是根据电流的热效应进行定义的，对于正弦交变电流来说，有效值和峰值的关系为：I＝，U＝。
3．不同的交流发电机在向同一个电网供电时，它们的相位差必须为零。
一、周期和频率
1．周期、频率、角速度和转速
物理量
定义
单位
公式
意义
周期
交变电流完成一次周期性变化所需的时间
T＝
周期越大，则交流电变化越慢
频率
交变电流在1 s内完成周期性变化的次数
单位是赫兹，符号是Hz
f＝
Tf＝1
频率越大，则交流电变化越快
角速度
产生交变电流的线圈单位时间转过的弧度
弧度每秒(rad/s)
ω＝
＝2πf
角速度越大，则交变电流变化越
转速
产生交变电流的线圈转动的快慢
转每秒
(r/s)
n＝f
转速越大，则交变电流变化越
2．我国民用交变电流的周期和频率
(1)周期：T＝0.02 s。
(2)频率：f＝ Hz。
ω＝100π rad/s，电流方向每秒钟改变100次。
二、峰值、有效值和相位
1．峰值
(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大数值。
(2)应用：电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值。
2．有效值
(1)定义：让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫做这个交流的有效值。
(2)应用
①交流用电设备上所标的额定电压和额定电流。
②交流电压表测量的数值。
③无特别说明时提到的交变电流的数值。
3.峰值和有效值的关系
对于正弦式交变电流，有效值I、U与峰值Im、Um之间的关系：I＝，U＝。
4．相位
(1)正弦式交变电流瞬时值表达式中正弦符号“sin”后面的量“ωt＋φ”叫做交变电流的相位，“φ”叫初相位。
(2)两支交流的相位之差叫做它们的相位差；当它们的频率相同时，相位差是个常数。
1．自主思考——判一判
(1)各国交变电流的周期都是0.02 s。(×)
(2)若交变电流是线圈在匀强磁场中匀速转动形成的，则交变电流的周期也是线圈做圆周运动的周期。(√)
(3)我国提供市电的发电机转子的转速为3 000 r/min。(√)
(4)交变电流的有效值总是小于峰值。(×)
(5)交变电流的峰值为有效值的 倍。(×)
(6)当线圈从中性面位置开始转动时，初相为0。(√)
2．合作探究——议一议
(1)为什么打点计时器总是每0.02 s打一次点？
提示：打点计时器接的是交变电流，f＝50 Hz，T＝0.02 s，所以每0.02 s打一次点。
(2)理解交变电流的有效值应注意什么问题？
提示：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，定义有效值时要注意“三同”，即电阻相同、通电时间相同、产生热量相同。
(3)如果电路中含有电容器，对电路的电压有什么要求？
提示：把交变电流接到电容器两端时，交流电压的峰值应小于电容器所能承受的最大电压(又叫电容器的耐压值、击穿电压)，否则电容器就有被击穿的危险。
描述交变电流的物理量
1．线圈转动一周，交变电流恰好完成一次周期性变化。
2．从线圈转动的角度来说，周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间；频率就是线圈在磁场中一秒钟内转动的圈数。
3．线圈在匀强磁场中转动一周，电动势、电流都按正(余)弦规律变化一次。
1．关于交变电流的周期和频率，下列说法中正确的是(　　)
A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s
解析：选C　根据周期的定义知选项A、B错误。因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期。交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，所以选项C正确。由T＝＝ s＝0.02 s，知选项D错误。
2．[多选]某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)，对此电动势，下列表述正确的是(　　)
A．最大值是50 V　　　 B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
解析：选CD　由交变电动势的表达式可知，电动势的最大值Em＝50 V，有效值为E＝＝25 V，周期T＝＝0.02 s，频率f＝＝50 Hz，故C、D正确。
3．[多选]一矩形线圈，在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴转动，形成如图所示的交变电动势图像，根据图像提供的信息，以下说法正确的是(　　)
A．线圈转动的角速度为 rad/s
B．电动势的最大值为20 V
C．t＝1.0×10－2s时，线圈平面和磁场方向的夹角为30°
D．t＝1.5×10－2s时，穿过线圈平面的磁通量最大
解析：选ABC　周期T＝6×10－2s，角速度ω＝＝rad/s，A项正确；由题图可知电动势的最大值为20 V，B项正确；电动势的瞬时值表达式为e＝20sint(V)，将t＝1.0×10－2s代入t，解得θ＝，这是线圈从中性面开始转过的角度，故线圈平面和磁场方向的夹角为30°，C项正确；t＝1.5×10－2s时，线圈平面与磁场平行，磁通量最小，D项错误。
交变电流有效值的计算
1．交变电流有效值的定义
(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应定义的。
(2)等效是指恒定电流和交变电流，在相同的时间内，在相同的电阻上产生的热量相同。
(3)通常所说的交变电流的电压、电流，用电表测量的交变电流的电压、电流，以及用电器的额定电压、额定电流，还有保险丝的熔断电流，都是指其有效值。
2．交变电流有效值的计算
(1)若是正弦式交变电流，可利用交变电流的有效值与峰值间的关系求解，即E＝，U＝，I＝。
(2)若不是正弦式交变电流，则必须根据电流的热效应来求解其有效值，且时间取一个周期。
(3)求解思路：假设让交变电流通过电阻R，计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)，其中热量Q用相应的物理量I或U来表示如Q＝I2Rt或Q＝，则I或U为交变电流的相应有效值。
[典例]　如图所示是一交变电流随时间而变化的图像，此交变电流的有效值是(　　)
A．5 A B．5 A
C．3.5 A D．3.5 A
[思路点拨]
[解析]　根据交变电流有效值的定义可得
I12Rt1＋I22Rt2＝I2RT
即(4)2R×0.01＋(3)2R×0.01＝I2R×0.02
解得I＝5 A。
[答案]　B
求解有效值时应注意的问题
(1)要分析清楚交变电流的变化规律，在一个交变电流中可能存在几种形式的交流电。
(2)对一个交变电流中存在几种形式的，在一个周期内可分段求出产生的热量，再求其和。
(3)正弦式电流的最大值和有效值的关系是I＝，U＝，非正弦式电流不符合此关系。
(4)分段不同恒定电流的交流电的有效值不是算术平均值，而是分段用焦耳定律求解。　　　　
1.一个匝数为100匝，电阻为R＝0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，从某时刻起穿过线圈的磁通量按如图所示规律变化，则线圈中产生交变电流的有效值为(　　)
A．5 A B．2 A
C．6 A D．5 A
解析：选B　0～1 s内线圈中产生的感应电动势E1＝n＝100×0.01 V＝1 V,1～1.2 s内线圈中产生的感应电动势E2＝n＝100× V＝5 V，对电阻为R＝0.5 Ω的线圈，在一个周期内产生的热量Q＝Q1＋Q2＝t1＋t2＝12 J，根据交变电流有效值的定义得Q＝I2R(t1＋t2)，得I＝2 A，故选项B正确，选项A、C、D错误。
2．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，图甲的有效值为I1＝，图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得＝，B正确。
交变电流的四值比较
正弦式交变电流的四值对比
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值、电压值
E＝
U＝
I＝
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
＝n
＝
计算通过电路横截面的电荷量
[典例]　在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。
[思路点拨]　解答本题的思路如下：
→
→
→
[解析]　(1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝＝314 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，即P外＝＝ W＝1.97×104 W。
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为e＝Emsin 30°＝314 V
感应电流的瞬时值为 i＝＝ A＝31.4 A。
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为＝N
平均感应电流为＝N
故通过导线横截面的电荷量为
q＝Δt＝N＝＝0.1 C。
[答案]　(1)1.97×104 W　(2)314 V　31.4 A　(3)0.1 C
应用交变电流四值时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。　　　　
1．[多选](2017·天津高考)在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图示正弦规律变化。设线圈总电阻为2 Ω，则(　　)
A．t＝0时，线圈平面平行于磁感线
B．t＝1 s时，线圈中的电流改变方向
C．t＝1.5 s时，线圈中的感应电动势最大
D．一个周期内，线圈产生的热量为8π2 J
解析：选AD　t＝0时，磁通量为零，磁感线与线圈平面平行，A正确；当磁感线与线圈平面平行时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，画出感应电动势随时间变化的图像如图，由图可知，t＝1 s时，感应电流没有改变方向，B错误；t＝1.5 s时，感应电动势为0，C错误；感应电动势最大值Em＝NBSω＝NΦm＝100×0.04×(V)＝4π(V)，有效值E＝×4π(V)＝2π(V)，Q＝T＝8π2(J)，D正确。
2.如图所示，线圈abcd的面积是0.05 m2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R为9 Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速旋转时，求：
(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)线圈转过 s时电动势的瞬时值多大？
(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？
(4)从中性面开始计时，经 s通过电阻R的电荷量为多少？
解析：(1)e＝Emsin ωt＝NBS2πfsin(2πft)
＝100××0.05×2π×sinV
＝50sin(10πt)V。
(2)当t＝ s时，e＝50sin V≈43.3 V。
(3)电动势的有效值为
E＝＝ V≈35.4 V，
电流表示数I＝＝ A＝3.54 A。
电压表示数U＝IR＝3.54×9 V＝31.86 V。
(4) s内线圈转过的角度
θ＝ωt＝×2π×＝，
该过程，ΔΦ＝BS－BScos θ＝BS，
所以由＝，＝，＝。
得q＝＝＝ C＝ C。
答案：(1)e＝50sin(10πt)V　(2)43.3 V
(3)31.86 V　3.54 A　(4) C
1．在阻值为70 Ω的电阻中通以正弦交变电流，测得在10 min内放出的热量为2.1×104 J，则此交变电流的最大值为(　　)
A．0.24 A　　　　　　　 B．0.5 A
C．0.707 A D．1 A
解析：选D　根据Q＝I2Rt得I＝ A，所以Im＝I＝1 A。
2．如图所示是一个正弦式交变电流的图像，下列说法正确的是(　　)
A．周期是0.2 s，电流的峰值是10 A
B．周期是0.15 s，电流的峰值是10 A
C．频率是5 Hz，电流的有效值是10 A
D．频率是0.2 Hz，电流的有效值是7.07 A
解析：选A　由图像可知T＝0.2 s，Im＝10 A，故频率f＝＝5 Hz，I＝＝5 A＝7.07 A，选项A正确，B、C、D错误。
3．匝数为100的线圈通有如图所示的交变电流(图中曲线为余弦曲线的一部分)，单匝线圈电阻r＝0.02 Ω，则在0～10 s内线圈产生的焦耳热为(　　)
A．80 J B．85 J
C．90 J D．125 J
解析：选B　由交变电流的有效值定义知2R·＋(2 A)2R·＝I2RT，该交变电流的有效值I＝A，线圈的总电阻R总＝100×0.02 Ω＝2 Ω，由Q＝I2R总t得Q＝85 J，选项B正确。
4．[多选]有两支交变电流表达式分别是：u1＝110·sinV，u2＝220sinV。下列说法正确的是(　　)
A．它们的峰值相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的变化步调一致
解析：选BC　u1代表的交流的电压峰值为110 V，角速度为ω＝2πf＝100π，则频率f＝50 Hz，初相位为。u2代表的交流的电压峰值为220 V，角速度为ω＝2πf＝100π，则频率f＝50 Hz，初相位为。所以它们的峰值不同，A错误；由于频率相同，故T均为0.02 s，B正确；其相位差ΔΦ＝－＝为定值，C正确，D错误。
5．如图甲是阻值为5 Ω的线圈与阻值为15 Ω的电阻R构成的回路。线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，产生的电动势随时间变化的规律如图乙所示。则(　　)
A．电压表的示数为14.14 V
B．通过电阻R的电流为0.707 A
C．电阻R上消耗的功率为3.75 W
D．通过电阻R的电流方向每秒变化100次
解析：选B　由图像可得Em＝20 V，则有效值E＝10 V，电压表示数U＝R＝10.6 V，A错误；通过电阻R的电流I＝＝0.707 A，B正确；R上消耗的功率P＝I2R＝7.5 W，C错误；T＝0.04 s，f＝25 Hz，电流方向每秒变化50次，D错误。
6．电阻R1、R2和交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω。合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t的变化情况如图乙所示。则(　　)
A．通过R1的电流的有效值是1.2 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流的有效值是1.2 A
D．R2两端的电压有效值是6 V
解析：选B　通过R1和R2的电流的有效值都是0.6 A，故A、C错；R1两端的电压有效值U1＝IR1＝6 V，故B正确；R2两端的电压有效值U2＝IR2＝12 V，故D错。
7．两个相同的定值电阻1、2分别接在正弦交流电源和直流电源的两端，直流电压恒为U0。当电阻1、2的通电时间分别为t和2t时，两个电阻上产生的热量均为Q。则该正弦交流电源电压的最大值是(　　)
A.U0 B．2U0
C.U0 D.U0
解析：选B　设两电阻的阻值均为R，正弦交流电源电压的最大值为Um，则Q＝t，Q＝·2t，解得Um＝2U0，选项B正确。
8．[多选]如图所示，N匝矩形导线框以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中绕轴OO′匀速转动，线框面积为S，线框的电阻、电感均不计，外电路接有电阻R、理想电流表○和二极管D。二极管D具有单向导电性，即正向电阻为零，反向电阻无穷大。下列说法正确的是(　　)
A．交流电流表的示数为NBS
B．一个周期内通过R的电荷量为
C．R两端电压的有效值为NBS
D．图示位置电流表的示数为0
解析：选AB　设回路中电流的有效值为I，由电流的热效应可知，2RT＝I2RT，I＝，A正确，D错误。在一个周期内只有半周期的时间有电流通过R，其中ΔΦ＝2BS，则通过R的电荷量q＝＝，B正确。电阻R两端电压U＝IR＝，C错误。
9.如图所示是某小型交流发电机的示意图，其矩形线圈abcd的面积为S＝0.03 m2，共有10匝，线圈总电阻为r＝1 Ω，线圈处于磁感应强度大小为 T的匀强磁场中，可绕与磁场方向垂直的固定对称轴OO′转动，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路电阻R＝9 Ω的连接。在外力作用下线圈以恒定的角速度ω＝10π rad/s绕轴OO′匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．电阻R的发热功率是3.6 W
B．理想交流电流表的示数是0.6 A
C．用该交流发电机给电磁打点计时器供电时，打点的时间间隔一定为0.02 s
D．如果将电阻R换成标有“6 V　3 W”字样的小灯泡，小灯泡能正常工作
解析：选B　线圈中的感应电动势最大值为Em＝nBSω＝6 V，所以电动势有效值为E＝6 V，电流表的示数I＝＝0.6 A，电阻R的发热功率P＝I2R＝3.24 W，所以选项A错误，选项B正确；T＝＝0.2 s，故用该电源给电磁打点计时器供电时，打点的时间间隔是0.2 s，因此选项C错误；电动势有效值是6 V，但由于线圈有电阻，所以“6 V　3 W”的小灯泡不能正常工作，选项D错误。
10．[多选](2016·全国卷Ⅲ)如图，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面。现使线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)
A．两导线框中均会产生正弦交流电
B．两导线框中感应电流的周期都等于T
C．在t＝时，两导线框中产生的感应电动势相等
D．两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等
解析：选BC　两导线框匀速转动切割磁感线产生感应电动势的大小不变，选项A错误；导线框的转动周期为T，则感应电流的周期也为T，选项B正确；在t＝时，切割磁感线的有效长度相同，两导线框中产生的感应电动势相等，选项C正确；M导线框中一直有感应电流，N导线框中只有一半时间内有感应电流，所以两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值不相等，选项D错误。
11.如图所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转。已知匀强磁场的磁感应强度B＝ T。若线框以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V　12 W”的小灯泡供电，则：
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)从图示位置开始，线框转过90°的过程中，流过导线横截面的电荷量是多少？该电荷量与线框转动的快慢是否有关？
(3)由题所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
解析：(1)线框转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝10 V，
则感应电动势的瞬时值表达式
e＝Emcos ωt＝10cos 100πt(V)。
(2)线框转过90°的过程中，产生的平均电动势
＝＝，
灯泡电阻R＝＝3 Ω，
故流过的电荷量q＝·T＝＝ C；
与线框转动的快慢无关。
(3)线框产生的电动势的有效值E＝＝10 V，
灯泡两端电压U＝R＝5 V<6 V，
故灯泡不能正常发光，其实际功率
P＝＝ W。
答案：(1)e＝10cos 100πt(V)　(2) C　无关　
(3)不能　 W
12.如图所示，边长为L的正方形线圈abcd的匝数为n，线圈电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界上，磁感应强度为B，现在线圈以OO′为轴，以角速度ω匀速转动，求：
(1)闭合电路中电流瞬时值的表达式；
(2)线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R上产生的热量；
(3)线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R上通过的电荷量；
(4)电阻R上的最大电压。
解析：(1)线圈转动时，总有一条边切割磁感线，且ad边和bc边转动的线速度大小相等，当线圈平行于磁场时，产生的感应电动势最大，为
Em＝nBLv＝nBL·ω·L＝nBL2ω。
由闭合电路欧姆定律可知Im＝，当以图示位置为计时起点时，流过R的电流表达式为
i＝Imsin ωt＝sin ωt。
(2)在线圈由图示位置匀速转动90°的过程中，用有效值来计算电阻R产生的热量，
Q＝I2R，其中I ＝＝，T＝，即
Q＝I2R＝。
(3)在转过90°的过程中感应电动势的平均值为
＝n＝＝，
流过R的平均电流＝＝，
所以流过R的电荷量q＝·＝。
(4)由部分电路欧姆定律可知电阻R上的最大电压
Um＝ImR＝。
答案：(1)i＝sin ωt　(2)
(3)　(4)