【华师大版八年级下册进阶培优训练】第八讲 反比例函数的实际应用培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级下册进阶培优训练】第八讲 反比例函数的实际应用培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-14 20:13:32 | ||
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文档简介
第八讲 反比例函数的实际应用培优辅导
一、知识点
一、反比例函数的定义：
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是 的一切实数，函数的取值范围也是一切 实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy= ， 的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是 ，它的两个分支与两轴 交点. 它的图象既是 图形（有 条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是 图形（对称中心是： ）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第 、第 象限，在每个象限内y随x的增大而 ； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第 、第 象限，在每个象限内y随x的增大而 .
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的 。 五、反比例函数的应用：
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
二、方法
反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.
三、经典考题
经典基础巩固
1、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
2、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
3、已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是
A．11 D．x<3
4、一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5、如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
6、设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<07、在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
8、如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值 .
经典例题
【例1】反比例函数在实际问题中的应用
与某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【例2】运用反比例函数、一次函数解决实际问题
教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【例3】 反比例函数与几何图形、面积有关的问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
【变式题组】
如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【例4】反比例函数与 一次函数的综合应用
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐 标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.
(1) 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
(2) 求△DOC的面积；
(3) 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
【变式题组】
1、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴，垂足为，且△的面积等于4.（1）求的值；（2）求、两点的坐标；（3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得△为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
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1、如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为 。
如图若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则k= 。
4、如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 。
5、如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不
存在，请说明理由。
6、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
7、一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA＝，AD＝OD，点B的横坐标为
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在坐标轴是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
第八讲 反比例函数的实际应用培优辅导答案
一、知识点
一、反比例函数的定义：
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy=k，的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支与两轴没有交点. 它的图象既是轴对称图形（有两条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是中心对称图形（对称中心是：原点）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 五、反比例函数的应用：
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
二、方法
反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.
三、经典考题
经典基础巩固
1、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( B )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
2、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（C）
1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
3、已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是 A
A．11 D．x<3
4、一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一直角坐标系中的大致图象是（ A ）
A． B． C． D．
5、如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ B ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
6、设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<07、在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
8、如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值 ．
经典例题
【例1】反比例函数在实际问题中的应用
与某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价
x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量
y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【答案】（1）；（2）余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；(3) 新的售价最高可以定为6元/千克.
【解析】解：（1）y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为.
（2）①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，
水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，
由题意得， （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃（千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.
【点评】（1）观察表格不难发现x与y的积是定值，由此即可解决问题；（2）①根据销售天数=即可解决问题；②由题意可知每天必须至少销售150千克，把y=150代入y=即可解决问题．
【例2】运用反比例函数、一次函数解决实际问题
教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【答案】（1）7；（2） ；（3）6分钟（4）8：29开机
【解析】解：（1）由题意可得，
a=（100-30）÷10=70÷10=7，
故答案为：7；
（2）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，
，
得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y=10x+30，
当x＞30时，设y=，
100=，得a=700，
即当x＞30时，y关于x的函数关系式为y=，
当y=30时，x=，
∴y与x的函数关系式为：y=，
（3）将y=70代入y=10x+30，得x=4，
将y=70代入y=，得x=10，
∵10-4=6，
∴饮水机有6分钟能使水温保持在70℃及以上；
（4）由题意可得，
6+（70-20）÷10=11（分钟），
∴40-11=29，
即8：29开机接通电源比较合适．
【点评】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；（2）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（3）根据（2）中的函数解析式可以解答本题；（4）根据题意和（3）中的结果可以解答本题．
【例3】 反比例函数与几何图形、面积有关的问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ B. ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
【变式题组】
如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（A ）
12 B. 10 C. 8 D. 6
【例4】反比例函数与 一次函数的综合应用
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐 标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.
(1) 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
(2) 求△DOC的面积；
(3) 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
解：（1）?； （2）； （3）存在，利用点C、D关于直线对称
或。
【变式题组】
如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴，垂足为，且△的面积等于4.（1）求的值；（2）求、两点的坐标；（3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得△为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
解：
（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x，
∵B（x，y）在反比例函数y=k/x的图象上，
∴xy=k，因S△BOC=4，
1/2BC?CO=1/2(-x)?(-y)=12xy=4，
∴k=8；
（2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为y=8/x，
解方程组：
y=12x
y=8x，
得：x1=4，y1=2；
x2=-4，y2=-2，
∴点A（4，2），B（-4，-2）；
（3）存在．
当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0），
当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D，
由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4，
在Rt△ADO中，AO^2=AD^2+DO^2=20，
在Rt△ADP中，AP^2=AD^2+DP^2=4+（m-4）^2，
在Rt△AOP中，PO^2=AO^2+AP^2，
即：20+[4+（m-4）^2]=m^2，
解得m=5，
所以P（5，0），
综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．
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1、如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =___4_____
2、如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为_（2，0）_．
3、如图若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则k= -6 。
4、如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
5、如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：把A（-1,2）代入y=，得k2=-2， ∴反比例函数的表达式为y=。 ∵B（m,-1）在反比例函数的图象上， ∴m=2。 由题意得，解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+1。 （2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=3 ①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1, ∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去） ②当AP=AB时，22+（n+1）2=(3)2 ∵n>0，∴n=-1+ ③当BP=BA时，12+（n-2）2=(3)2 ∵n>0，∴n=2+ 所以n=-1+或n=2+。
【点评】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值；（2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
6、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
7、一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA＝，AD＝OD，点B的横坐标为
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在坐标轴是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD2+AD2=OA2， 代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），反比例函数的解析式为y=。
（2）设B点纵坐标为h，已知B点横坐标为， 则（-2）×1=h， 解得h=-4， 故B（，-4）， 设直线AB解析式为y=kx+b，则， 得， 直线AB解析式为y=-2x-3，由此可得C（-，0）， 所以，S△AOB=S△AOC+S△BOC=××（1+4）=； （3）存在点P使△OAP为等腰三角形， 此时，P点坐标为（，0），（0，），（-4，0），（0，2），（-，0），（，0），（0，），（0，-）．
（4）存在点P使△OAP为等腰三角形，，P点坐标为（-1，2），（1，-2），（2，-1）.
一、知识点
一、反比例函数的定义：
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是 的一切实数，函数的取值范围也是一切 实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy= ， 的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是 ，它的两个分支与两轴 交点. 它的图象既是 图形（有 条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是 图形（对称中心是： ）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第 、第 象限，在每个象限内y随x的增大而 ； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第 、第 象限，在每个象限内y随x的增大而 .
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的 。 五、反比例函数的应用：
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
二、方法
反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.
三、经典考题
经典基础巩固
1、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
2、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
3、已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是
A．1
4、一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5、如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
6、设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0
8、如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值 .
经典例题
【例1】反比例函数在实际问题中的应用
与某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【例2】运用反比例函数、一次函数解决实际问题
教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【例3】 反比例函数与几何图形、面积有关的问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
【变式题组】
如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【例4】反比例函数与 一次函数的综合应用
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐 标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.
(1) 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
(2) 求△DOC的面积；
(3) 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
【变式题组】
1、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴，垂足为，且△的面积等于4.（1）求的值；（2）求、两点的坐标；（3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得△为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
培优升级 奥赛检测
1、如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为 。
如图若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则k= 。
4、如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 。
5、如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不
存在，请说明理由。
6、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
7、一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA＝，AD＝OD，点B的横坐标为
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在坐标轴是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
第八讲 反比例函数的实际应用培优辅导答案
一、知识点
一、反比例函数的定义：
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1. 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2. 反比例函数的解析式还可以写成xy=k，的形式；
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支与两轴没有交点. 它的图象既是轴对称图形（有两条对称轴：直线y=x和 y=-x）又是中心对称图形（对称中心是：原点）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小； 2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 五、反比例函数的应用：
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
二、方法
反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.
三、经典考题
经典基础巩固
1、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数,且该图象与y＝x图象无交点，则m 的值是 ( B )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. －
2、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y= 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（C）
1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
3、已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是 A
A．1
4、一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一直角坐标系中的大致图象是（ A ）
A． B． C． D．
5、如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为（ B ）
A. k1＞k2＞k3 B. k3＞k2＞k1 C. k2＞k3＞k1 D. k3＞k1＞k2
6、设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0
8、如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值 ．
经典例题
【例1】反比例函数在实际问题中的应用
与某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价
x（元/千克）
20
18
15
12
10
9
销售量
y（千克）
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【答案】（1）；（2）余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；(3) 新的售价最高可以定为6元/千克.
【解析】解：（1）y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为.
（2）①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，
水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，
由题意得， （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃（千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.
【点评】（1）观察表格不难发现x与y的积是定值，由此即可解决问题；（2）①根据销售天数=即可解决问题；②由题意可知每天必须至少销售150千克，把y=150代入y=即可解决问题．
【例2】运用反比例函数、一次函数解决实际问题
教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【答案】（1）7；（2） ；（3）6分钟（4）8：29开机
【解析】解：（1）由题意可得，
a=（100-30）÷10=70÷10=7，
故答案为：7；
（2）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，
，
得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y=10x+30，
当x＞30时，设y=，
100=，得a=700，
即当x＞30时，y关于x的函数关系式为y=，
当y=30时，x=，
∴y与x的函数关系式为：y=，
（3）将y=70代入y=10x+30，得x=4，
将y=70代入y=，得x=10，
∵10-4=6，
∴饮水机有6分钟能使水温保持在70℃及以上；
（4）由题意可得，
6+（70-20）÷10=11（分钟），
∴40-11=29，
即8：29开机接通电源比较合适．
【点评】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；（2）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（3）根据（2）中的函数解析式可以解答本题；（4）根据题意和（3）中的结果可以解答本题．
【例3】 反比例函数与几何图形、面积有关的问题
如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=9，点C在函数y=（x＞0）的图象上，当点C的横坐标为4时，△OAC与△OBC的面积相等，k的值为（ B. ）
A. 16 B. 24 C. 30 D. 36
【变式题组】
如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（A ）
12 B. 10 C. 8 D. 6
【例4】反比例函数与 一次函数的综合应用
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐 标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.
(1) 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
(2) 求△DOC的面积；
(3) 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
解：（1）?； （2）； （3）存在，利用点C、D关于直线对称
或。
【变式题组】
如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴，垂足为，且△的面积等于4.（1）求的值；（2）求、两点的坐标；（3）在轴的正半轴上是否存在一点，使得△为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
解：
（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x，
∵B（x，y）在反比例函数y=k/x的图象上，
∴xy=k，因S△BOC=4，
1/2BC?CO=1/2(-x)?(-y)=12xy=4，
∴k=8；
（2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为y=8/x，
解方程组：
y=12x
y=8x，
得：x1=4，y1=2；
x2=-4，y2=-2，
∴点A（4，2），B（-4，-2）；
（3）存在．
当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0），
当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D，
由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4，
在Rt△ADO中，AO^2=AD^2+DO^2=20，
在Rt△ADP中，AP^2=AD^2+DP^2=4+（m-4）^2，
在Rt△AOP中，PO^2=AO^2+AP^2，
即：20+[4+（m-4）^2]=m^2，
解得m=5，
所以P（5，0），
综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．
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1、如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =___4_____
2、如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为_（2，0）_．
3、如图若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则k= -6 。
4、如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
5、如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：把A（-1,2）代入y=，得k2=-2， ∴反比例函数的表达式为y=。 ∵B（m,-1）在反比例函数的图象上， ∴m=2。 由题意得，解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+1。 （2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=3 ①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1, ∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去） ②当AP=AB时，22+（n+1）2=(3)2 ∵n>0，∴n=-1+ ③当BP=BA时，12+（n-2）2=(3)2 ∵n>0，∴n=2+ 所以n=-1+或n=2+。
【点评】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值；（2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
6、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
7、一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA＝，AD＝OD，点B的横坐标为
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在坐标轴是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD2+AD2=OA2， 代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），反比例函数的解析式为y=。
（2）设B点纵坐标为h，已知B点横坐标为， 则（-2）×1=h， 解得h=-4， 故B（，-4）， 设直线AB解析式为y=kx+b，则， 得， 直线AB解析式为y=-2x-3，由此可得C（-，0）， 所以，S△AOB=S△AOC+S△BOC=××（1+4）=； （3）存在点P使△OAP为等腰三角形， 此时，P点坐标为（，0），（0，），（-4，0），（0，2），（-，0），（，0），（0，），（0，-）．
（4）存在点P使△OAP为等腰三角形，，P点坐标为（-1，2），（1，-2），（2，-1）.