章末分层突破
[自我校对]
①垂直
②Emsin ωt
③Emcos ωt
④nBSω
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨无关⑩增大
?减小?＝＝
?＝?I2n2＋I3n3＋…
?I2r线
交变电流的四值对比
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝NBSω
Im＝
确定用电器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值
E＝
U＝
I＝
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所夹面积与时间的比值
＝n
＝
计算通过电路截面的电荷量
例1 如图2-1所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B.M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计．求：
图2-1
(1)从图示位置起转过转的时间内负载电阻R上产生的热量；
(2)从图示位置起转过转的时间内通过负载电阻R的电荷量；
(3)电流表的示数.
【解析】 线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流．
此交变电动势的最大值为
Em＝BSω＝B··2πn＝π2Bnr2.
(1)在线圈从图示位置转过转的时间内，电动势的有效值为E＝＝
电阻R上产生的热量
Q＝·＝.
(2)在线圈从图示位置转过转的时间内，电动势的平均值为＝.
通过R的电荷量q＝·Δt＝·Δt＝＝.
(3)设此交变电动势在一个周期内的有效值为E′，由有效值的定义得·＝T
解得E′＝
故电流表的示数为I＝＝.
【答案】 (1) (2) (3)
理想变压器的分析
1.电压思路
变压器原、副线圈的电压之比为＝；当变压器有多个副线圈时＝＝＝…
2．功率思路
理想变压器的输入、输出功率为P入＝P出，即P1＝P2；当变压器有多个副线圈时，P1＝P2＋P3＋…
3．电流思路
由I＝知，当变压器有多个副线圈时n1I1＝n2I2＋n3I3＋…，对只有一个副线圈的变压器才有＝.
4．制约思路(变压器动态问题)
(1)电压制约
当变压器原、副线圈的匝数比()一定时，输出电压U2由输入电压决定，即U2＝.
(2)电流制约
当变压器原、副线圈的匝数比一定，且输入电压U1确定时，原线圈中的电流I1由副线圈中的输出电流I2决定，即I1＝，可简述为“副制约原”．
(3)负载制约
①变压器副线圈中的功率P2由用户负载决定，P2＝P负1＋P负2＋…
②变压器副线圈中的电流I2由用户负载电阻R2确定，I2＝.
③总功率P总＝P线＋P2.
【答案】 D
例2 用一理想变压器给负载供电，变压器输入端的电压不变，如图2-4所示．开始时开关S是断开的．现将开关S闭合，则图中所有交流电表的示数以及输入功率的变化情况是( )
图2-4
A．V1、V2的示数不变，A1的示数增大，A2的示数减小，P入增大
B．V1、V2的示数不变，A1、A2的示数增大，P入增大
C．V1、V2的示数不变，A1、A2的示数减小，P入减小
D．V1的示数不变，V2的示数增大，A1的示数减小，A2的示数增大，P入减小
【解析】 电压表V1的示数由输入电压决定，电压表V2的示数由输入电压U1(大小等于电压表V1的示数)和匝数比n1/n2决定，电流表A2的示数由输出电压U2(大小等于电压表V2的示数)和负载电阻R负决定；电流表A1的示数即I1由变压器的匝数比n2/n1和输出电流I2决定；P入随P出而变化，由P出决定．因输入电压不变，所以电压表V1的示数不变．据公式U2＝n2U1/n1，可知U2也不变，即电压表V2的示数不变．又根据I2＝U2/R负知，S闭合后R负减小，故I2增大，电流表A2的示数增大．输入电流I1随输出电流I2增大而增大，故电流表A1的示数增大．因P出＝U2I2，故P出增大，P入随P出变化，故P入也增大．可见本题的正确选项为B.
【答案】 B
变压器的动态分析
1．根据题意弄清变量与不变量．
2．弄清变压器动态变化的决定关系．
(1)原线圈与副线圈电压的决定关系．
(2)输入功率与输出功率的决定关系．
(3)原线圈与副线圈电流的决定关系．
远距离输电问题
1.输电示意图(如图2-5所示)
图2-5
2．正确理解几个基本关系
(1)功率关系：P1＝P2，P2＝P损＋P3，P3＝P4.
(2)电压关系：＝，U2＝U线 ＋U3，＝.
(3)电流关系：＝，I2＝I线＝I3，＝.
(4)输电电流：I线＝＝＝.
(5)输电导线上损耗的电功率：P损＝P2－P3＝IR线＝＝U线I线．
(6)输电导线上的电压损失：U线＝I线·R线＝U2－U3.
3．处理思路
(1)根据具体问题画出输电线路示意图．
(2)研究三个回路，分析其中的已知量、可求量、待求量．
(3)研究两个变压器，分析其中的已知量、可求量、待求量．
(4)确定求解思路，根据回路及变压器上的电压、电流、功率关系列式求解．
例3 (多选)如图2-6为远距离输送交流电的示意图，变压器均为理想变压器．随着用户负载增多，发电机F达到额定功率时，降压变压器输出功率仍然不足，用户的用电器不能正常工作．那么，在发电机以额定功率工作的情况下，为了适当提高用户的用电功率，可采取的措施是( )
图2-6
A．适当减小输电线的电阻r
B．适当提高
C．适当提高的同时，降低
D．适当降低的同时，提高
【解析】 当发电机输出功率一定时，为使远距离用户得到更多的功率，需减小输电线上的功率损失，根据ΔP＝I2r，可以减小输电线的电阻r，A正确；也可以通过提高输电电压，减小输送电流，即提高，这样使线圈n3两端电压变大，为使用户的用电器正常工作需要适当降低，C正确．
【答案】 AC
1．一含有理想变压器的电路如图2-7所示，图中电阻R1、R2和R3的阻值分别为3 Ω、1 Ω和4 Ω，为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定．当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I.该变压器原、副线圈匝数比为( )
图2-7
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 设原、副线圈的匝数比为k，根据变压器匝数比与电流成反比的关系，则原线圈电流为I时，副线圈电流为kI；原线圈电流为4I时，副线圈电流为4kI.根据变压器的输入功率等于输出功率得
UI－I2R1＝(kI)2(R2＋R3)
4UI－(4I)2R1＝(4kI)2R2
联立两式代入数据解得k＝3，选项B正确．
【答案】 B
2．(多选)如图2-8所示，理想变压器原、副线圈分别接有额定电压相同的灯泡a和b.当输入电压U为灯泡额定电压的10倍时，两灯泡均能正常发光．下列说法正确的是( )
图2-8
A．原、副线圈匝数比为9∶1
B．原、副线圈匝数比为1∶9
C．此时a和b的电功率之比为9∶1
D．此时a和b的电功率之比为1∶9
【解析】 设灯泡的额定电压为U0，输入电压为灯泡额定电压的10倍时灯泡正常发光，则变压器原线圈的电压为9U0，变压器原、副线圈的匝数比为9∶1，选项A正确，选项B错误；由9U0Ia＝U0Ib得，流过b灯泡的电流是流过a灯泡电流的9倍，根据P＝UI，a、b灯泡的电功率之比为1∶9，选项C错误，选项D正确．
【答案】 AD
3.一理想变压器的原、副线圈的匝数比为3∶1 ，在原、副线圈的回路中分别接有阻值相同的电阻，原线圈一侧接在电压为220 V的正弦交流电源上，如图2-9所示．设副线圈回路中电阻两端的电压为U.原、副线圈回路中电阻消耗的功率的比值为k，则( )
图2-9
A．U＝66 V，k＝ B．U＝22 V，k＝
C．U＝66 V，k＝ D．U＝22 V，k＝
【解析】 设原线圈中电流为I，由＝知副线圈中的电流I2＝3I，由题意知副线圈中电阻两端的电压U＝3IR，则原线圈回路中R两端的电压U′＝IR＝，原线圈两端的电压U1＝3U，由闭合电路中电压关系可知U1＋U′＝220 V，即＋3U＝220 V，U＝66 V，原线圈回路中电阻消耗的功率P1＝I2R，副线圈回路中电阻消耗的功率P2＝(3I)2R，＝k＝＝，选项A正确．
【答案】 A
4．(多选)如图2-11所示，理想变压器的原线圈连接一只理想交流电流表，副线圈匝数可以通过滑动触头Q来调节，在副线圈两端连接了定值电阻R0和滑动变阻器R，P为滑动变阻器的滑动触头，在原线圈上加一电压为U的正弦交流电，则( )
图2-11
A．保持Q的位置不动，将P向上滑动时，电流表读数变大
B．保持Q的位置不动，将P向上滑动时，电流表读数变小
C．保持P的位置不动，将Q向上滑动时，电流表读数变大
D．保持P的位置不动，将Q向上滑动时，电流表读数变小
【解析】 保持Q的位置不动，则U2不变，将P向上滑动时，R接入电路的电阻变大，根据I2＝知，I2变小，由＝得I1也变小，即电流表读数变小，选项A错误，选项B正确；保持P的位置不动，将Q向上滑动时，U2变大，则根据P2＝知副线圈输出功率变大，由P1＝P2知，变压器原线圈输入功率P1变大，而P1＝I1U，输入电压U一定，故I1变大，即电流表读数变大，选项C正确，选项D错误．
【答案】 BC
5.图2-12为气流加热装置的示意图，使用电阻丝加热导气管，视变压器为理想变压器．原线圈接入电压有效值恒定的交流电并保持匝数不变，调节触头P，使输出电压有效值由220 V降至110 V．调节前后( )
图2-12
A．副线圈中的电流比为1∶2
B．副线圈输出功率比为2∶1
C．副线圈的接入匝数比为2∶1
D．原线圈输入功率比为1∶2
【解析】 根据欧姆定律I＝，U2由220 V降至110 V，副线圈上的电流变为原来的，即调节前后，副线圈上电流之比为2∶1，选项A错误；根据P＝UI知，U、I均变为原来的时，副线圈上输出的功率变为原来的，即调节前后副线圈的输出功率之比为4∶1，选项B错误；根据理想变压器电压与匝数的关系＝，当U2由220 V降至110 V时，n2变为原来的，即调节前后副线圈接入的匝数比为2∶1，选项C正确；根据理想变压器P入＝P出，所以原线圈输入功率等于副线圈的输出功率，即调节前后原线圈输入功率之比为4∶1，选项D错误．
【答案】 C
6．(多选)如图2-13所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表?接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端．假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大．用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为Uab和Ucd，则( )
图2-13
A．Uab∶Ucd＝n1∶n2
B．增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小
C．负载电阻的阻值越小，cd间的电压Ucd越大
D．将二极管短路，电流表的读数加倍
【解析】 变压器的变压比＝，其中U1、U2是变压器原、副线圈两端的电压．U1＝Uab，由于二极管的单向导电特性，Ucd≠U2，选项A错误；增大负载电阻R的阻值，负载的电功率减小，由于P入＝P出，且P入＝I1Uab，所以原线圈上的电流I1减小，即电流表的读数变小，选项B正确；c、d端的电压由输入电压Uab决定，负载电阻R的阻值变小时，Ucd不变，选项C错误；根据变压器上的能量关系有E输入＝E输出，在一个周期T的时间内，二极管未短路时有UabI1T＝·＋0(U为副线圈两端的电压)，二极管短路时有UabI2T＝T，由以上两式得I2＝2I1，选项D正确．
【答案】 BD
教案 章末总结
一、交变电流“四值”的计算和应用
1．最大值：线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动所产生的交变电流的电动势最大值Em＝nBSω，在考虑电容器的耐压值时应根据交流电的最大值．
2．有效值：正弦式交流电的有效值E＝、I＝，其他交变电流的有效值应根据有效值的定义计算，求电功、电功率，确定保险丝的熔断电流，要用到有效值；没有特殊说明时，交流电的电流、电压、电动势指有效值，交流电表的测量值是有效值，交流用电设备上所标的额定电压、额定电流是有效值．
3．瞬时值：当线圈平面处于中性面时开始计时，瞬时电动势的表达式为e＝Emsin ωt.瞬时值对应某一时刻的电压、电流值．
4．平均值：平均值需用＝n和＝进行计算，求一段时间内通过导体横截面的电荷量时要用平均值．
q＝·Δt＝n.
例1 如图1所示，交流发电机的矩形线圈abcd中，ab＝cd＝50 cm，bc＝ad＝30 cm，匝数n＝100匝，线圈电阻r＝0.2 Ω，外电阻R＝4.8 Ω.线圈在磁感应强度B＝0.05 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴OO′匀速转动，角速度ω＝100π rad/s.
图1
(1)求产生感应电动势的最大值．
(2)若从图示位置开始计时，写出感应电流随时间变化的函数表达式．
(3)交流电压表和交流电流表的示数各为多少？
(4)此发电机的功率为多少？
(5)从图示位置起，转过90°过程中，平均电动势为多少？通过线圈截面的电荷量为多少？
解析 (1)设ab＝l1，bc＝l2，则交流电动势的最大值Em＝nBl1l2ω≈235.5 V
(2)根据闭合电路欧姆定律，电流的最大值Im＝＝47.1 A
在题图所示位置时，电流有最大值，则电流的瞬时值表达式为i＝Imcos ωt，代入数值得i＝47.1cos (100πt) A
(3)电流的有效值为I＝≈33.3 A
路端电压的有效值为U＝IR≈160 V
即电压表的示数为160 V，电流表的示数为33.3 A.
(4)电动势的有效值为
E＝≈166.5 V
则发电机的功率为P＝IE≈5 544 W
(5)平均电动势为
＝n＝n＝n＝150 V
通过线圈截面的电荷量
q＝Δt＝Δt＝n＝n＝0.15 C
答案 (1)235.5 V (2)i＝47.1cos (100πt) A
(3)160 V 33.3 A (4)5 544 W (5)150 V 0.15 C
二、交变电流图象的应用
交流电的图象反映了交变电动势、交变电流随时间的变化特征，对正弦式交流电来说，我们可以从图象中获取如下信息：
1．交流电的周期(T)
一个完整的正弦波对应的时间段，知道了周期便可以算出线圈转动的角速度ω＝.
2．交流电的最大值(Em、Im)
图象上的峰值，知道了最大值，便可计算出交变电动势(交变电流)的有效值．
3．任意时刻交流电的瞬时值
图象上每个“点”表示某一时刻交流电的瞬时值．
例2 如图2所示是某正弦式交变电压的波形图，由图可确定该电压的 ( )
图2
A．周期是0.01 s
B．最大值是311 V
C．有效值是220 V
D．表达式为u＝220sin (πt) V
解析 由题图知：最大值Um＝311 V，且为正弦交流电，有效值U＝≈220 V，周期T＝0.02 s，表达式为u＝311sin (100πt) V，故B、C选项正确．
答案 BC
三、变压器电路的动态问题分析
处理此类问题的关键是分清变量和不变量，弄清理想变压器中各物理量之间的联系和相互制约关系，大致有两种情况：
1．负载电阻、原线圈电压不变，副线圈的电压、原副线圈的电流、功率随匝数的变化而变化．
2．匝数比、原线圈电压不变，原副线圈的电流、功率随负载电阻的变化而变化．
动态分析该类问题的思路可表示为
例3 用一理想变压器给负载供电，变压器输入端的电压不变，如图3所示．开始时开关S是断开的．现将开关S闭合，则图中所有交流电表的示数以及输入功率的变化情况是 ( )
图3
A.、的示数不变，的示数增大，的示数减小，P入增大
B.、的示数不变，、的示数增大，P入增大
C.、的示数不变，、的示数减小，P入减小
D.的示数不变，的示数增大，的示数减小，的示数增大，P入减小
解析 电压表的示数由输入电压决定；电压表的示数由输入电压U1(大小等于电压表的示数)和匝数比决定；电流表的示数由输出电压U2(大小等于电压表的示数)和负载电阻R负决定；电流表的示数即I1由变压器的匝数比和输出电流I2决定；P入随P出而变化，由P出决定．因输入电压不变，所以电压表的示数不变．据公式U2＝n2，可知U2也不变，即电压表的示数不变．又据I2＝知，S闭合后R负减小，故I2增大，电流表的示数增大；输入电流I1随输出电流I2的增大而增大，故电流表的示数增大．因P出＝U2I2，故P出增大．P入随P出变化而变化，故P入也增大．故选B.
答案 B
四、远距离输电线路的分析与计算
解决远距离输电问题要注意以下两点：
1．首先画出输电示意图，包括发电机、升压变压器、输电线、降压变压器、负载等，在图中标出相应物理量符号，利用输电电流I＝，输电线上损失电压U损＝IR线，输电线损失功率P损＝I2R线＝2R线及其相关知识解答．
2．分别在“三个回路”以及“两个变压器”上找各物理量之间的关系，特别注意以升压变压器的副线圈、输电线、降压变压器的原线圈组成的回路，在此回路中利用电路知识分析电压关系和功率关系．
例4 发电机输出功率为40 kW，输出电压400 V，用变压比(原、副线圈匝数比)为1∶5的变压器升压后向远处供电，输电线的总电阻为5 Ω，到达用户后再用变压器降压为220 V，求：
(1)输电线上损失的电功率是多少？
(2)降压变压器的变压比是多少？
解析 输电线路如图所示
(1)发电机输出的电压为400 V，经升压变压器后电压为U＝×400 V＝2×103 V，由P＝UI得输电线上的电流I＝＝ A＝20 A，输电线上损失的功率ΔP＝I2R＝202×5 W＝2×103 W.
(2)输电线上的电压损失
ΔU＝IR＝20×5 V＝100 V
加在降压变压器原线圈两端的电压U1＝U－ΔU＝2×103 V－100 V＝1.9×103 V，降压变压器副线圈两端的电压(用户所需的电压)U2＝220 V，故降压变压器的变压比＝＝＝.
答案 (1)2×103 W (2)95∶11
1．(变压器电路的动态问题分析)如图4所示，是通过街头变压器降压给用户供电的示意图．输入电压是市区电网的电压，负载变化时输入电压不会有大的波动．输出电压通过输电线输送给用户，每条输电线总电阻用R0表示．当负载增加时，则 ( )
图4
A．电压表的示数减小
B．电流表的示数减小
C．电流表的示数减小
D．电压表、的示数之差增大
答案 AD
解析 输入电压是市区电网的电压，不随负载的增加而变化，变压器原、副线圈的匝数不变，由变压器的变压原理＝可得，电压表的示数U2保持不变，当负载增加时，意味着并联了更多的用电器，即负载的总阻值减小，而I2＝，所以副线圈中的电流增大，即电流表的示数增大，根据变压器的功率原理P出＝P入即U2I2＝U1I1可知，由于输出功率增大，输入电流I1增大，B、C错误；由于输电导线与负载串联，随着负载阻值的减小电流增大，输电导线上的电压U0＝2I2R0增大，所以负载两端的电压U负载＝U2－U0减小，即电压表的示数减小，A正确；电压表与电压表的示数之差为输电线上的电压，即U0增大，D正确．
2．(远距离输电线路的分析与计算)图5为远距离输电示意图，发电机的输出电压U1和输电线的总电阻、理想变压器的匝数均不变，且n1∶n2＝n4∶n3.当用户消耗的功率增大时，下列表述正确的是( )
图5
A．用户的总电阻增大
B．用户的电压U4增大
C．U1∶U2＝U4∶U3
D．用户消耗的功率等于发电机的输出功率
答案 C
解析 对两个变压器：＝，＝，所以＝，选项C正确；由能量守恒定律可知，发电机的输出功率等于用户消耗的功率和输电导线消耗的功率之和，选项D错误；输出电压U1一定，U2也一定，当用户消耗的功率P出增大时，负载增多，并联支路增加，用户的总电阻减小，P出＝IR负载，降压变压器的输出电流I4增大，由＝知，降压变压器的输入电流I3增大，即I2增大，则U3＝U2－I2r减小，用户的电压U4减小，选项A、B错误．
3．(交变电流“四值”的应用)如图6所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈abcd共100匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω，求：
图6
(1)转动过程中感应电动势的最大值；
(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°角时的瞬时感应电动势；
(3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势；
(4)交流电压表的示数；
(5)线圈转动一周外力所做的功；
(6)从图示位置起周期内通过R的电荷量为多少？
答案 (1)3.14 V (2)1.57 V (3)2.6 V (4)1.78 V
(5)0.99 J (6)0.086 6 C
解析 (1)感应电动势的最大值为
Em＝nBSω＝3.14 V
(2)转过60°时的瞬时感应电动势为
e＝Emcos 60°＝3.14×0.5 V＝1.57 V.
(3)转过60°角过程中产生的平均感应电动势为
＝n＝n＝100× V≈2.6 V.
(4)电压表示数为外电路电压的有效值
U＝·R＝×4 V≈1.78 V
(5)线圈转动一周外力所做的功等于电流产生的热量
W＝Q＝()2··T≈0.99 J
(6)周期内通过电阻R的电荷量为
q＝·＝·＝·＝≈0.086 6 C.
