课件68张PPT。?第二章 相交线与平行线例1 下列说法正确的是?( )
A.两条直线不平行就相交
B.在同一平面内,没有交点的两条直线是平行线
C.不相交的两条直线叫平行线
D.同一平面内,两条直线不相交就重合解析 选项A没有说明两直线在同一平面内,故错误;选项B正确;选项C 没有说明两直线在同一平面内,故错误;选项D中两条直线不相交还可以 平行,故错误.答案????B解析 根据对顶角的定义知选D.答案????D知识点三????余角和补角
1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.
注意:(1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时, 不能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐 角一个钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关 系,而不是位置关系.例3 一个角的余角等于这个角的补角的?,求这个角.分析 用方程解决这个问题要好理解一些,我们可以设这个角为α,列方 程求解.解析 设这个角为α,依题意得90°-α=?×(180°-α),解得α=67.5°.答:这个角
为67.5°.知识点四????垂线
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线 互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
注意:(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况;(2)遇到线段、射线 的垂直问题,都指的是它们所在的直线互相垂直.
2.垂线的画法
过一点画已知直线的垂线有三种方法:
(1)用三角板画垂线.
(2)用量角器画垂线.
(3)借助网格纸画垂线.解析 因为∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=90°,所以OD⊥OE.分析 因为∠AOF与∠BOF互为补角,又知∠AOF=3∠BOF,可求出
∠BOF.根据对顶角相等,得∠AOE=∠BOF,又因为∠AOC=90°,故∠EOC= 90°-∠AOE.解析 由题意知∠BOF+∠AOF=180°(补角定义),∠AOF=3∠BOF,所以 ∠BOF+3∠BOF=180°(等量代换),
解得∠BOF=45°.
所以∠AOE=∠BOF=45°(对顶角相等).
所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°.
点拨 应用对顶角时要紧扣定义;除了互补的两个角和为180°外,由平 角的定义也可以得到和为180°.分析 分别从M,N点向AB引垂线,垂足即为P,Q点.知识点一????相交线与平行线
1.已知直线AB及一点P,若过点P作一直线与AB平行,则这样的直线?(???? )
A.有且只有一条 ????B.有两条
C.不存在 ???? D.不存在或者只有一条答案????D 如果P是直线AB外的一点,则只可以作一条;如果P是直线AB 上的一点,则不存在.2.a、b、c是平面内任意三条直线,交点可以有?( )
A.1个或2个或3个
B.0个或1个或2个或3个
C.1个或2个
D.都不对答案????B 分情况讨论:①三条直线平行,此时有0个交点;②只有两条直 线平行,此时有2个交点;③三条直线都不平行,此时有1个交点或3个交 点.答案????B 根据对顶角的定义可知只有②③中的∠1与∠2是对顶角.4.下列关于对顶角的语句中,正确的是?( )
A.对顶角不一定相等
B.两条直线相交所成的角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
D.两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点,无公共边的两个角是对 顶角答案????D 结合对顶角的定义和性质来判断.对顶角相等,选项A错;两条 直线相交所成的角中既有邻补角,也有对顶角,选项B错;对于选项C,若 两个角的边不互为反向延长线,则不是对顶角,选项C错;选项D正确.答案 55°;35°;∠2与∠4解析 ∵∠AOC=90°,∴∠BOC=180°-∠AOC=90°,
∵∠1=35°,∴∠2=90°-∠1=55°,∵∠EOD=90°,
∴∠3=90°-∠2=90°-55°=35°,∴∠1=∠3.
∵∠3+∠4=90°,∴∠1+∠4=90°,
∴和∠1互余的角为∠2和∠4.6.一个角的补角是它的余角的10倍,求这个角.解析 设这个角的大小是x,则180°-x=10(90°-x),解得x=80°.所以这个角 为80°.答案????B ∵OA⊥AB,∴线段OA即为点O到直线AB的垂线段,根据点到 直线的距离的定义可知选B.8.点P为直线l外的一点,点A,B,C是直线l上的三个点,且PA=4 cm,PB=5 cm,
PC=2 cm,则点P到直线l的距离是?( )
A.2 cm B.小于2 cm
C.不大于2 cm D.4 cm答案????C 点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段的长度,由垂线段 最短,知点P到l的距离小于或等于2 cm,故选C.答案????A 跳远的成绩是点B到起跳线的距离,即垂线段的长度为4.6米. 结合题图知AB的长大于4.6米.答案????C2.在同一平面内,两条直线的位置关系有?( )
A.两种:平行和相交
B.两种:平行和垂直
C.三种:平行、垂直和相交
D.两种:垂直和相交答案????A 垂直是相交的特殊情况.3.下列说法正确的是?( )
A.在同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
B.在同一个平面内,两条线段不相交就重合
C.在同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线答案????C 在同一平面内,两条直线只有一个公共点时相交,有两个及两 个以上的公共点时重合,没有公共点时平行,故选C.答案????C ∵∠1+∠2=180°,∠1=145°,∴∠2=180°-145°=35°,又∵CO⊥ DO,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=90°-35°=55°.5.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互补,若∠A=50°,则∠C的度数是?(???? )
A.40° ????B.50° ????C.130° ????D.140°答案????D ∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°,
又∵∠A=50°,∴∠B=90°-50°=40°.
∵∠B与∠C互补,∴∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-∠B=180°-40°=140°.答案 ∠3与∠2,∠2与∠1;∠1与∠3;同角的余角相等解析 ∵∠1∶∠3=3∶1,∴设∠1=3k,∠3=k(k>0°),则3k+20°+k=180°,解 得k=40°.
∴∠1=3k=120°.∴∠COF=∠1+∠2=120°+20°=140°.
∴∠DOE=∠COF=140°.③点B到AC的垂线段是线段CA;
④点C到AB的距离是线段CD;
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离.
A.2个 ????B.3个 ????C.4个 ????D.5个答案????A 由∠ACB=90°可知AC与CB互相垂直,∴①正确;∵CD⊥AB, ∴CD和BC不互相垂直,∴②错误;点B到AC的垂线段是线段BC,∴③错 误;点C到AB的距离应是线段CD的长度,而不是线段CD本身,∴④错误; ⑤正确.答案????BC⊥BD解析 由折叠得∠ABC=∠A'BC,
∵BD平分∠A'BE,∴∠A'BD=∠DBE.
又∵∠ABC+∠A'BC+∠A'BD+∠DBE=180°,
∴∠A‘BC+∠A’BD=?×180°=90°,即∠CBD=90°,∴BC⊥BD.3.一个角的补角加上10°后,等于这个角的余角的3倍,则这个角是 ????°.答案 40解析 设这个角为x°,则180-x+10=3(90-x),解得x=40.所以这个角为40°.解析 因为OE⊥CD,所以∠AOE+∠AOC=90°,
因为∠AOE=40°,
所以∠AOC=90°-∠AOE=90°-40°=50°,
所以∠BOD=∠AOC=50°,
因为OF平分∠BOD,
所以∠BOF=?∠BOD=?×50°=25°.1.下列说法正确的有?( )
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在同一平面内,过一点可以画一条直线垂直于已知直线;
④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 ????B.2个 ????C.3个 ????D.4个答案????C ①②③的说法都正确,④的说法是错误的,在同一平面内有无 数条直线垂直于已知直线,故选C.答案????A 对于选项A,PQ⊥MN,Q是垂足,故线段PQ的长为点P到直线 MN的距离.答案 ①④解析 点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度.4.一个角的余角比这个角的补角的?大26°,求这个角的度数.解析 设这个角的度数为x°,则其补角为(180-x)°,根据题意,得90-x=?(180-
x)+26,解得x=35.
答:这个角的度数为35°.解析 ∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°(垂直的定义).又∵∠DOE=50°,∴∠BOD
=∠BOE-∠DOE=90°-50°=40°(余角定义),∴∠AOC=∠BOD=40° (对顶角相等),∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°(平角定义).又∵OF ⊥CD,∴∠DOF=90°(垂直的定义),∴∠BOF=90°-∠BOD=90°-40°=50° (余角定义).答案????C ∠2=180°-90°-∠1=180°-90°-65°=25°.2.(2016广东汕头潮南月考,1,★☆☆)同学,你一定练过跳远吧!在测量跳 远成绩时,从落地点拉向起跳线的皮尺,应当与起跳线?( )
A.平行 ???? B.垂直
C.成45°角 ????D.以上都不对答案????B ∵点到直线的垂线段的长叫做点到直线的距离,∴测量跳远 成绩时,从落地点拉向起跳线的皮尺应当与起跳线垂直.解析 ∵OA⊥OC,OB⊥OD,
∴∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°.
∴∠1=∠3=24°,∠2=90°-24°=66°.1.(2017福建厦门双十中学二模,3,★☆☆)若∠A与∠B互为补角,则∠A+ ∠B=?( )
A.180° ????B.120° ????C.90° ????D.60°答案????A 由补角定义可知.答案 80°解析 由∠2与∠BOF是对顶角得∠BOF=∠2=60°,所以∠BOC=∠1+
∠BOF=20°+60°=80°.答案????C ∵∠BOC与∠AOC互为邻补角,∴∠BOC+∠AOC=180°,
又∵∠BOC=60°,∴∠AOC=180°-∠BOC=120°.答案????B 点P到直线l的距离就是过点P的直线l的垂线段PB的长度.答案????A 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.答案????D 能表示点到直线距离的线段有BA,CA,AD,BD,CD,共5条,故 选D.答案????B 根据点到直线的距离的定义,结合图形即可判定线段CD的 长是点C到直线AB的距离,故选B.答案????A ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,即∠2+∠1=90°,∵∠1=55°,∴∠2 =35°,故选A.4.(2015江西南昌中考,7,★☆☆)一个角的度数为20°,则它的补角的度数 为 ????.答案 160°解析 互补的两个角的度数和为180°,所以所求角的度数为180°-20°=160°.答案 对顶角相等解析 (1)∠AOD与∠BOC互补.理由如下:
因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,∠BOD=90°-∠BOC,所以
∠AOD=90°+90°-∠BOC,
即∠AOD+∠BOC=180°.
所以∠AOD与∠BOC互补.
(2)猜想仍然成立.理由如下:
因为∠AOB,∠COD都是直角,
所以∠AOB+∠COD=180°,
又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,
所以∠BOC+∠AOD=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.图2-1-17解析 (1)∠AOD;∠EOC和∠DOB.
(2)设这个角的度数为x,
若这个角是锐角,则它的反余角为(90°+x),
由题意,得90°+x=?(180°-x),
解得x=18°.
若这个角是钝角,则它的反余角为(x-90°),
由题意,得x-90°=?(180°-x),
解得x=126°.
综上所述,这个角的度数为18°或126°.课件66张PPT。分析 根据平角定义得到∠AOD+∠BOD=180°,又∠AOD+∠C=180°, 则有∠BOD=∠C,根据“同位角相等,两直线平行”可得到AB∥CE.解析 直线AB与CE一定平行.理由如下:
因为∠AOD+∠BOD=180°,而∠AOD+∠C=180°,
所以∠BOD=∠C.
所以AB∥CE.例2 在同一平面内,直线m、n相交于点O,且l∥n,则直线l和m的关系是
?( )
A.平行 ????B.相交
C.重合 ????D.以上都有可能解析 由m、n相交于点O,得O点在直线n上,又l∥n,所以点O不在直线l 上.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,所以m与l相交.故 选B.答案????B解析????A.∵∠1=∠2,∴a∥b(内错角相等,两直线平行);B.∵∠1=∠3,
∴a∥b(同位角相等,两直线平行);C.∠1+∠4=180°与a,b的位置无关;D.
∵∠2+∠4=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).答案????C点拨 对于实际问题,先转化为数学问题,再根据已知条件解决.题型二????构造辅助线解决问题分析 从本题中无法找出能直接判定AB∥EF的角,我们可以从辅助线 入手,找到能判定直线平行的角,把问题转化到“三线八角”中解答.所以∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°.
所以∠CNB=∠EMD.
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).点拨 有些探究性问题直接证明很难,我们可以根据平行线的判定定 理,添加辅助线,把问题转化到“三线八角”中解决.错解 平行,因为∠ACE=∠BDF,所以CE∥DF(同位角相等,两直线平行).错因分析 错误地认为∠ACE和∠BDF是直线CE和DF被直线AB所截 形成的一组同位角,其实仔细观察图形可以发现,∠ACE和∠BDF是不 能构成同位角的关系的,所以用来判断两直线平行显然是错误的.正解????CE∥DF.理由如下:
因为∠ACE=∠BDF,
又因为∠ACE+∠ECB=180°,∠BDF+∠FDA=180°,
所以∠ECB=∠FDA(等角的补角相等),
所以CE∥DF(内错角相等,两直线平行).答案????D 根据同位角的定义可知选D.答案????D ∠2与∠3的和角与∠4是同位角,根据同位角相等,两直线平 行,知当∠2+∠3=∠4时,可判定a∥b.答案 同位角相等,两直线平行;a;c;平行于同一条直线的两条直线平行答案????C????A.∠2与∠4是AB,CD被AC所截得到的内错角,根据∠2=∠4 可以判定AB∥CD,不能判定AD∥BC;B.∠4与∠D不可能互补,因而B错 误;D.∠4与∠B不是同旁内角,无法根据∠4+∠B=180°判定AB∥CD,故 D错误;正确的是C,根据的是“内错角相等,两直线平行”.故选C.答案 内错角相等解析 ∵∠ABC=∠BCD=30°,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).解析 可知AD∥BC,AB∥DC.
理由:因为∠1=∠D,
所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
因为∠1+∠A=180°,∠1=∠D,
所以∠D+∠A=180°,
所以AB∥DC(同旁内角互补,两直线平行).答案????A 选项A,因为∠1=∠2,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平 行);选项B应改为∠3+∠4=180°,才能判定AB∥CD;选项C中∠1与∠4是 对顶角,不能判定两直线平行;选项D中,∠2与∠3是邻补角,也不能判定 两直线平行.答案????C ∠1和∠3是l1和l2被l3所截形成的同旁内角,若它们互补,则l1与 l2平行,故C符合.解析 ∵∠A=120°,∠B=60°(已知),
∴∠A+∠B=120°+60°=180°(等式性质).
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
∵∠EFC=∠DCG(已知),
∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行).
∴AD∥EF(平行于同一条直线的两直线平行).答案 (1)∠C (2)∠FED (3)∠EFC (4)∠AED解析 利用平行线的判定方法解题.答案 平行;同位角相等,两直线平行解析 (1)∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴2(∠1+∠2)=180°,
∴∠1+∠2=90°.
(2)在△FCD中,∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC,
∴BE∥DF.答案????A????A项,∠1=∠3,不能判定直线l1∥l2,故此选项符合题意;B项,
∠1=∠4,根据“内错角相等,两直线平行”,可判定直线l1∥l2,故此选项不 合题意;C项,∠2+∠3=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”,可判定 直线l1∥l2,故此选项不合题意;D项,∠3=∠5,根据“同位角相等,两直线 平行”,可判定直线l1∥l2,故此选项不合题意.故选A.答案 ①④;②③⑤解析 ①∵∠1=∠2,∴AD∥BC;
②∵∠B=∠5,
∴AB∥DC;
③∵∠3=∠4,
∴AB∥CD;
④∵∠5=∠D,
∴AD∥BC;
⑤∵∠B+∠BCD=180°,
∴AB∥CD,
∴能够得到AD∥BC的条件是①④,能够得到AB∥CD的条件是②③⑤.解析????MN与EF的位置关系是MN∥EF.
理由:∵∠1=∠A(已知),
∴MN∥AB(内错角相等,两直线平行).
∵∠2=∠B(已知),
∴EF∥AB(同位角相等,两直线平行).
∴MN∥EF (平行于同一条直线的两条直线平行).答案????C????解析????∵∠1=72°,∠3=72°(已知),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴l1∥l3(内错角相等,两直线平行),
∵∠2=108°(已知),
∴∠2+∠3=108°+72°=180°,
∴l2∥l3(同旁内角互补,两直线平行),
∴l1∥l2(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴l1∥l2∥l3.答案????B 因为∠1与∠3是同位角,所以由∠1=∠3可得l1∥l2.答案????D????3.(2017甘肃武威二十三中月考,5,★☆☆)下列命题中,不正确的是?(???? )
A.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
B.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截,那么这两条直线平行
D.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行答案????C????答案 同位角(内错角)相等或同旁内角互补,两直线平行(写出一种即可)解析 ∵∠1=∠4(对顶角相等),∠1+∠2=180°,∴∠4+∠2=180°,∴b∥c (同旁内角互补,两直线平行);∵∠2+∠3=180°,∠1+∠2=180°,∴∠1=∠3,
∴b∥c(同位角相等,两直线平行);∵∠1=∠4,∠2+∠3=180°,∠1+∠2= 180°,∴∠4=∠3,∴b∥c(内错角相等,两直线平行).答案 ∠A+∠ABC=180°(答案不唯一)解析 若∠A+∠ABC=180°,则BC∥AD;
若∠C+∠ADC=180°,则BC∥AD;
若∠CBD=∠ADB,则BC∥AD;
若∠C=∠CDE,则BC∥AD.答案 同位角相等,两直线平行答案 ∠1=∠2(答案不唯一)解析 根据“同位角相等,两直线平行”可得当∠1=∠2时,a∥b.本题 答案不唯一,还可以是∠3+∠4=180°或∠1+∠4=180°或∠2=∠3.解析????OA∥BC,OB∥AC.
理由:∵∠1=50°,∠2=50°,
∴∠1=∠2,∴OB∥AC.
∵∠2=50°,∠3=130°,
∴∠2+∠3=180°,∴OA∥BC.答案????D????答案????B 若∠2=∠6,则a∥b(同位角相等,两直线平行),故选B.答案????C ∵∠ABC=150°,∠BCD=30°,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥ DC(同旁内角互补,两直线平行).故选C.答案????C 对于题图①,测得∠1=∠2,根据“内错角相等,两直线平行” 可得a∥b.
对于题图②,测得∠1=∠2且∠3=∠4,由∠1+∠2=180°及∠3+∠4=180°, 得∠1=∠2=90°,∠3=∠4=90°,所以∠1=∠4=90°,根据“内错角相等,两 直线平行”得到a∥b.
对于题图④,测得∠1+∠2=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”得 到a∥b.故A、B、D一定能判定a∥b,故选C.解析 小红的依据是“同位角相等,两直线平行”.
小华的依据是“内错角相等,两直线平行”.
其他结论(写出一组即可):
(1)∠ECA=∠CED,AC∥DE(内错角相等,两直线平行);
(2)∠BAC=∠ECA,AB∥CE(内错角相等,两直线平行);
(3)∠DCE=∠AEC,CD∥AE(内错角相等,两直线平行).解析????AB与CD平行.理由如下:∵∠ABM和∠CDN均为30°,∠MBF和∠ NDF均为90°,∴∠ABF=∠ABM+∠MBF=30°+90°=120°,∠CDF=∠CDN +∠NDF=30°+90°=120°,∴∠ABF=∠CDF,∴AB∥CD(同位角相等,两直 线平行).解析 因为直线a与长方形木板的长边平行,而木板的长边紧贴在墙壁 上,则直线a与墙壁平行.
当直线a与OP重合时,OP与墙壁平行.
又因为铅垂线OP是竖直的,所以墙壁是竖直的.课件82张PPT。知识点????平行线的性质解析 因为a∥b,
所以∠2=∠1=107°(两直线平行,内错角相等).
因为c∥d,
所以∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补),
所以∠3=180°-∠1=180°-107°=73°.解析 (1)∠AED=∠BAE+∠CDE.
理由如下:
过点E作EG∥AB,如图2-3-3.
因为AB∥CD,所以AB∥EG∥CD.
所以∠AEG=∠BAE,∠DEG=∠CDE,
因为∠AED=∠AEG+∠DEG,
所以∠AED=∠BAE+∠CDE.
图2-3-3
?知识点????平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截,不一定相等的角是?( )
A.对顶角 B.内错角
C.同位角 D.同旁内角答案????D 两条平行线被第三条直线所截,根据对顶角相等和平行线的 性质可得不一定相等的角是同旁内角.答案????A 因为AB∥CD,所以∠MND=∠AMN=56°,又因为NH是∠MND 的平分线,所以∠MNH=?∠MND=?×56°=28°.3.如果两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的度数之比是2∶7, 那么这两个角分别为 ????°, ????°.答案 40;140解析 设其中的一个角为2α,则另一个角是7α,由题意得2α+7α=180°,所 以α=20°,所以2α=40°,7α=140°.答案 35°答案 90答案 70解析 直尺的对边互相平行,∠COF与∠AEF是同位角,又∠COF=70°, 根据“两直线平行,同位角相等”,得∠AEF=70°.即∠EBA+∠ABC+∠BCF=180°,
因为∠EBA=70°,∠BCF=45°,
所以∠ABC=65°,
又因为∠ACB=∠ACF+∠FCB=75°,
所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°.解析 垂直的定义;同位角相等,两直线平行;
两直线平行,同位角相等;∠BAD=∠2;
内错角相等,两直线平行.解析 ∵∠1=72°,∠2=108°,∴∠1+∠2=72°+108°=180°,∴c∥d,∴∠4= ∠3.∵∠3=69°,∴∠4=69°.1.如果两条平行线被第三条直线所截,那么一组内错角的平分线?(???? )
A.互相垂直 B.互相平行
C.互相重合 D.以上均不正确答案????B 如图,∵AB∥CD,∴∠BMG=∠DGM.
∵MN平分∠BMG,∴∠1=∠2=?∠BMG,
∵GF平分∠DGM,∴∠4=∠3=?∠DGM.
∴∠1=∠4,∴MN∥FG.故选B.
? 答案????A 因为a∥b,所以∠1=∠2+∠3=120°,
又因为∠2=80°,所以∠3=120°-∠2=120°-80°=40°.答案 140°5.如图,直线AD∥BE,AC、BC分别平分∠BAD、∠ABE,∠CAD=55°,则 ∠CBE= ????.答案 35°解析 ∵AD∥BE,∴∠DAB+∠ABE=180°,
∵AC、BC分别平分∠BAD、∠ABE,
∴∠DAB=2∠CAD=110°,∠ABE=2∠CBE,
∴∠ABE=180°-∠DAB=70°,
∴∠CBE=?∠ABE=35°.解析 ∠B和∠D相等.
因为AB∥CD,AD∥BC(已知),
所以∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠ B=∠D(同角的补角相等).答案 95解析 ∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°,由翻折的性质得∠BMN=?∠BMF=50°.同理,∠BNM=?∠BNF=35°.则∠B=180°-50°-35°=95°.答案 ∠AED;∠BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等, 两直线平行解析 因为∠BAE+∠AED=180°,
所以GB∥CD,
所以∠BAE=∠AEC.
又因为AM平分∠BAE,EN平分∠AEC,
所以∠MAE=?∠BAE,∠AEN=?∠AEC.
所以∠MAE=∠AEN,所以AM∥NE,所以∠M=∠N.解析????AE∥DC.理由:∵AB∥DE(已知),
∴∠1=∠AED(两直线平行,内错角相等),
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠AED(等量代换),
∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行).解析 因为两个镜子是平行放置的,所以∠2=∠3,又因为∠1=∠2,∠3= ∠4,所以180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4),即∠5=∠6,因此进入潜望镜 的光线和离开潜望镜的光线是平行的.解析 因为AB∥CD∥EF,
所以∠B=∠C,∠E=∠D(两直线平行,内错角相等).
又BC∥DE,
所以∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
所以∠B+∠E=180°(等量代换).
因为∠B=70°,
所以∠E=180°-∠B=180°-70°=110°.一、选择题
1.(2017福建南平育才中学期末,1,★☆☆)如图2-3-14,AB∥EF,则∠A、 ∠C、∠D、∠E满足的数量关系是?( )
?
图2-3-14
A.∠A+∠C+∠D+∠E=360° B.∠A+∠D=∠C+∠E
C.∠A-∠C+∠D+∠E=180° D.∠E-∠C+∠D-∠A=90°答案 70°解析 ∵CD∥AB,
∴∠A+∠ACD=180°,
∴∠ACD=180°-∠A=180°-40°=140°,
∵CB平分∠ACD,∴∠BCD=70°,∴∠B=∠BCD=70°.∵AB∥CD∥GH(已知),
∴∠1=∠3,
∠2=∠4( ????).
∵AB∥CD(已知),
∴∠BEF+( ????)=180°( ????).
又∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD(已知),
∴∠1=?∠BEF,
∠2=?∠EFD( ????).
∴∠1+∠2=?( ????+ ????).
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=90°,即∠EGF=90°.解析 两直线平行,内错角相等;∠EFD;两直线平行,同旁内角互补;角平 分线的定义;∠BEF;∠EFD.解析 ∵∠B=∠ADE(已知),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠DCB(两直线平行,内错角相等).
∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BDC=90°,∠BFG=90°,
∴CD∥FG(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠DCB(两直线平行,同位角相等).
∴∠1=∠2(等量代换).答案????A ∠2=90°-∠1=90°-35°=55°.答案????C ∵AB∥CD,∴∠3=∠1=100°,∴∠2=180°-∠3=80°,故选C.
? 答案 32°解析 因为CD⊥AB(已知),FE⊥AB(已知),所以EF∥CD(同一平面内,垂 直于同一条直线的两直线平行),所以∠2=∠DCB(两直线平行,同位角相 等),又因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠DCB(等量代换),所以DH∥BC(内 错角相等,两直线平行),所以∠3=∠ACB(两直线平行,同位角相等),所以 ∠4=∠3-∠DCB=84°-30°=54°.答案????B ∵a∥b,∴∠3=∠4.答案????C ∵AC⊥BA,
∴∠BAC=90°,
∴∠ACB=90°-∠1=90°-58°=32°.
∵直线a∥b,
∴∠ACB=∠2,
∴∠2=∠ACB=32°.
故选C.答案????C 如图所示,过点C作CF∥AB,
?
∴∠ACF=∠A=45°,
∵AB∥DE,∴CF∥DE,
∴∠DCF=∠D=30°.
∴∠1=∠ACF+∠DCF=45°+30°=75°.图2-3-22答案 60°解析 ∵AB∥CD,∠ABF=40°,
∴∠CFB=180°-∠ABF=140°,
又∵∠CFE∶∠EFB=3∶4,
∴∠CFE=?∠CFB=60°,
∵AB∥CD,
∴∠BEF=∠CFE=60°.答案 200°解析 ∵直线AB∥CD,∠1=65°,∴∠ABC=∠1=65°.
∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=130°.∵直线AB∥CD,∴∠ABD+ ∠BDC=180°,∴∠2=∠BDC=180°-∠ABD=180°-130°=50°.答案????D ∵∠CDE=40°,∠C=90°,
∴∠CED=50°,
又∵DE∥AF,∴∠CAF=∠CED=50°,
∵∠BAC=60°,∴∠BAF=60°-50°=10°.答案????B ∵AB∥DE,∠CDE=40°,
∴∠B=∠CDE=40°,
又∵FG⊥BC,
∴∠FGB=90°-∠B=50°.答案 40解析 ∵a∥b,
∴∠1+∠2=180°,
∵∠1=140°,
∴∠2=180°-∠1=40°,故答案为40.答案 20答案 15°解析 如图,可分别得到下列关系:
①∠AEC=∠A+∠C;②∠AEC+∠A+∠C=360°;
③∠AEC=∠C-∠A;④∠AEC=∠A-∠C;
⑤∠AEC=∠A-∠C;⑥∠AEC=∠C-∠A.
理由:
①过点E作EF∥AB,如图a.∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,
∴∠A=∠AEF,∠C=∠FEC,
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+∠C.
②过点E作EF∥AB,如图b.∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,
∴∠AEF+∠CEF+∠A+∠C=360°,即∠AEC+∠A+∠C=360°.
③延长DC交AE于点F,如图c.
∵AB∥CD,∴∠A+∠AFC=180°,
∴∠AEC=∠AFC-∠FCE
=(180°-∠A)-(180°-∠C)
=∠C-∠A.
④如图d.∵AB∥CD,∴∠A=∠AFC,
∴∠AEC=∠AFC-∠C=∠A-∠C.
⑤延长EA交CD于点F,如图e.
∵AB∥CD,∴∠EAB=∠AFD.
∴∠AEC=∠AFD-∠C=∠EAB-∠C.解析 (1)∠2=∠1+∠3;不变化.
(2)①如图,当P点在l1上方时,∠2=∠3-∠1.
理由:过P点作PF∥l1,则∠FPA=∠1.
∵l1∥l2,∴PF∥l2,
∴∠FPB=∠3,
∴∠2=∠FPB-∠FPA=∠3-∠1.
?
②如图,当P点在l2下方时,∠2=∠1-∠3.课件31张PPT。知识点????用尺规作一个角等于已知角
1.尺规作图的意义
在几何中,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.实际上,我们 经常用的是有刻度的直尺和三角板,在严格的尺规作图中,只能用直尺 来画直线,不能用其刻度来度量长度,圆规则用来作圆(或弧)或截取一定 长度的线段.②以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
③以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
④以点C'为圆心,CD长为半径画弧,交前面的弧于点D';
⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角,如图2-4-2.分析 先作一个角等于已知的∠1,以∠1的一边为一边,在∠1的外部再 作一个角等于已知的∠2即可.分析 实际上是以OD为一边作一个角等于∠AOC.点拨 生活中会遇到很多作一个角等于已知角的问题,常用的方法是借 助量角器,但是有些问题需要利用尺规作图解决.平行线性质与判定综合运用中的逻辑推理
素养解读 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命 题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有 归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的 基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能掌握逻辑推理的基本形式, 学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关 联,把握事物发展的脉络;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质 和理性精神,增强交流能力.解析 ∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2,
∵∠E=∠1,∴∠E=∠2,
∴AE∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
∵∠3+∠ABC=180°,
∴∠A=∠3,
∴DF∥AB.素养呈现 这是一个利用平行线的性质与判定的典型题目,要得到平 行,先说明角的数量关系,要得到角的数量关系,先找平行.由角平分线的 性质和∠E=∠1得到∠E=∠2,进而判定BC与AE平行,再利用平行线的 性质得出∠A与∠ABC互补,再根据∠3与∠ABC互补,得到∠A=∠3,即 可得到DF∥AB.知识点????用尺规作一个角等于已知角
1.下列关于尺规的功能说法不正确的是?( )
A.直尺的功能:在两点间连接一条线段,将线段向两方延长
B.直尺的功能:可作平角和直角
C.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一个圆
D.圆规的功能:以任意长为半径,任意点为圆心作一段弧答案????B 尺规作图中的直尺不含单位长度和角度,不能用直尺作直角, 直尺的功能是作直线、射线或线段.2.下列作图属于尺规作图的是?( )
A.用量角器画出∠AOB的平分线OC
B.已知∠α,作∠AOB,使∠AOB=2∠α
C.用刻度尺画线段AB=3 cm
D.用三角板过点P作AB的垂线答案????B????3.下列语句是有关几何作图的叙述.
①以O为圆心作弧;②延长射线AB到点C;③作∠AOB,使∠AOB=∠1;④ 作直线AB,使AB=a;⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线.其 中正确的为 ????(填序号即可).答案 ③⑤解析 ①以O为圆心作弧可以画出无数条弧,因为半径不固定,所以叙述 错误;②射线AB是由A向B无限延伸的,所以叙述错误;③根据作一个角等 于已知角的作法,可以作∠AOB,使∠AOB等于∠1,所以叙述正确;④直 线可以向两方无限延伸,所以叙述错误;⑤根据平行公理:过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行,知可以过三角形ABC的顶点C作它 的对边AB的平行线,所以叙述正确.所以正确的为③⑤.解析 作∠COB=∠β,在∠β的内部以OB为一边,作∠AOB=∠α,则
∠AOC就是所要求作的角,如图所示.
? 答案????D 分两种情况讨论.答案????D 画出的角与已知角是内错角.故选D.(1)求作∠AOB,使∠AOB=∠α+∠β;
(2)求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β.(不写作法,保留作图痕迹)1.只用无刻度直尺就能作出的是?( )
A.延长线段AB至C,使BC=AB
B.过直线l上一点A作l的垂线
C.作已知角的平分线
D.已知点O,P,作射线OP答案????D 使用的是无刻度的直尺,作图时不能作出BC=AB,所以A不符 合题意;过直线l上一点A作l的垂线时,要有直角三角板、量角器或圆规, 只用无刻度直尺是不能作出垂线的,所以B不符合题意;作已知角的平分 线,需用圆规,只用无刻度直尺是作不出角平分线的,所以C不符合题意; 已知点O,P,作射线OP,可以只用无刻度直尺作出,故选D.2.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了CN∥OA,作图痕迹中?
是?( )
A.以点C为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM长为半径的弧答案????D 由CN∥OA知∠AOD=∠NCB,则?是以点E为圆心,DM长为
半径的弧,故选D.解答题
(2018河北保定十七中期中,25,★☆☆)已知∠1,如图2-4-4.求作∠ABC, 使∠ABC=2∠1.(不写作法)
?
图2-4-4(2018甘肃景泰四中期中,23,★☆☆)作图题.(不写作法,保留作图痕迹)
已知:∠α.请你用直尺和圆规画∠BAC,使∠BAC=∠α.
?
? ????? 解析 ∠BAC为所求作的角.
? ????? 选择题
1.(2017湖北宜昌中考,4,★☆☆)谜语:干活两腿脚,一腿勤,一腿懒,一脚 站,一脚转.打一数学学习工具,谜底为?( )
A.量角器 ????B.直尺 ????C.三角板 ????D.圆规答案????D 圆规有两只脚,一只脚固定,另一只脚旋转.图2-4-52.(2017广西南宁中考,7,★☆☆)如图2-4-5,△ABC中,AB>AC,∠CAD为 △ABC的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是?????(???? )
A.∠DAE=∠B ????B.∠EAC=∠C
C.AE∥BC ??? ?D.∠DAE=∠EAC答案????D????根据作图痕迹可知,题图是用尺规作一个角等于已知角,即∠ DAE=∠B,进而得到AE∥BC,从而有∠EAC=∠C,故选项A、B、C均正 确;因为AB>AC,所以∠ABC≠∠ACB,即∠DAE≠∠EAC,故选项D错误.答案????D????答案????D 作∠OBF=∠AOB的作法:①以点O为圆心,任意长为半径画 弧,分别交射线OA,OB于点C,D;②以点B为圆心,以OC长为半径画弧,交 BO于点E;③以点E为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于点F,连接BF即 可得到∠OBF,则∠OBF=∠AOB.由此可知选D.
