上海中学高三校本【理科实验班专用】

1



上海历年高考经典真题专题汇编

校 本 作 业

科 目 : 高中数学

版 本 ：学生用书

姓 名 ：

学 校 ：

年 级 ： 高 三



2



3

目录
01---前序 ： 版本科目········································（第 01～02 页）
02---专题 1：立体几何········································（第 05～10 页）
03---专题 2：解析几何········································（第 11～19 页）
04---专题 3： 数 列···········································（第 19～25 页）
05---专题 4：三角函数········································（第 26～30 页）
06---专题 5： 函 数··········································（第 31～36 页）
07---专题 6：集合、方程、不等式、条件··················（第 37～40 页）
08---专题 7：复数、矩阵、行列式、平面向量···············（第 41～44 页）
09---专题 8： 排列、组合、概率、二项式定理、极坐标····（第 45～48 页）









4



5
专题 1：立体几何
1、若正三棱柱的所有棱长均为 a ，且其体积为 316 ，则 =a .

2、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 1:2π ，则其母线与轴的夹角的大小为

3、若圆锥的侧面积是底面积的
.
3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

4、在 xOy 平面上，将两个半圆弧 2 2( 1) 1( 1)x y x? + = ≥ 和 2 2( 3) 1( 3)x y x? + = ≥ 、两条直线 1y = 和 1y = ? 围
成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为?，过 (0, )(| | 1)y y ≤ 作?的水平
截面，所得截面面积为
24 1 8yπ π? + ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出?的体积值为
__________.






5、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 π2 的半圆面，则该圆锥的体积为 .


6、如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD中互相垂直的棱， 2=BC ，若 cAD 2= ，且 aCDACBDAB 2=+=+ ，
其中 a 、 c为常数，则四面体 ABCD的体积的最大值是 .







7、若圆锥的侧面积为 2π ，底面积为π ，则该圆锥的体积为 .




6
P
2
P
5
P6
P
7
P
8
P
4
P
3
P1
B
A
8、如图所示，在边长为 4 的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去 AOB? ,将剩余部分沿OC、OD折叠，
使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
1 1 1 1ABCD A B C D?
.






9、如图，若正四棱柱 的底面连长为 2，高为 4，则异面直线 1BD 与 AD 所成角的大小是
______________（结果用反三角函数表示）.



10、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， ( 1 , 2 , , 8)iP i = ? 是上底面上其余的八
个点，则 ( 1, 2, , 8)iAB AP i? =
???? ????
? 的不同值的个数为 （ ）

(A) 1. (B) 2 .

(C) 4 . (D) 8 .


11、如图，在长方体 1111 DCBAABCD ? 中， 2,11 === ADABAA ，E、F 分别是 AB、BC 的中点，
证明： EFCA ,,, 11 四点共面，并求直线 1CD 与平面 FECA 11 所成角的大小。








7
12、底面边长为 2 的正三棱锥 -P ABC ，其表面展开图是三角形 1 2 3PP P ，如图. 求 1 2 3PP P△ 的各边长及此三
棱锥的体积V .








13、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1
到平面D1

AC的距离.







14、在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点.已知 AB=2，AD=2 2 ，PA=2.
求：（1）三角形 PCD 的面积；
（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.












B
A C
P3
P1 P2
D1
C1
B1
A1
D C
BA
8
15、已知 1 1 1 1ABCD A B C D? 是底面边长为 1 的正四棱柱， 1O 是 1 1AC 和 1 1B D 的交点。
（1）设 1AB 与底面 1 1 1 1A B C D 所成的角的大小为α ，二面角 1 1 1A B D A? ? 的大小为 β 。
求证： tan 2 tanβ α= ；
（2）若点C 到平面 1 1AB D 的距离为
4
3
，求正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的高。








16、如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底
面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到 0.01 平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线 1 3A B
与 3 5A B 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）.










9
17、如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中， 1 2AA BC AB= = = , AB BC⊥ ,求二面角 1 1 1B AC C? ? 的大小？










18、如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，E 是 1BC 的中点。求直线 DE 与平面 ABCD所成角
的大小（结果用反三角函数值表示）.











19、体积为 1 的直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中， 90ACB∠ = °， 1AC BC= = ，求直线 1AB 与平面 1 1BCC B 所成角。
















A
E
B1
D1
D
C1
A1
B
C
10
20、在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ?，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ?．
（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积；
（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．





































P
A
B
C
D
O
E
11
专题 2：解析几何
1、抛物线 ( )022 >= ppxy 上的动点Q到其焦点距离的最小值为 1，则 =p


2、已知点 P 和 Q 的横坐标相等，P 点的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线
.
1C 和 2C ，若 1C
的渐近线方程为 xy 3±= ，则 2C 的渐近线方程为

3、若抛物线 2 2y px= 的焦点与椭圆
2 2
1
9 5
x y
+ = 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .

4、设 AB 是椭圆Γ的长轴，点 C 在Γ上，且
4
CBA π∠ = ，若 AB=4， 2BC = ，则Γ的两个焦点之间的距离为
_______.

5、设m 为常数，若点 (0,5)F 是双曲线
2 2
1
9
y x
m
? = 的一个焦点，则m =
P
.

6、动点 到点 (2,0)F 的距离与它到直线 2 0x + = 的距离相等，则 P 的轨迹方程为
2 2: 2 4 4 0C x y x y+ ? ? + =
.

7、圆 的圆心到直线l: 3 4 4 0x y+ + = 的距离 d =
2
2: 1
4
yλΓ ? =
.

8、如图所示，直线x=2 与双曲线 的渐近线交于 1E , 2E 两点，记 1 1 2 2,OE e OE e= =
????? ?????
?? ???
，任取双曲线Γ
上的点P，若 1 2, ( )OP ae be a b R= + ∈
????
???? ????
、 ，则a、b满足的一个等式是

.







9、已知 1F 、 2F 是椭圆 1: 2
2
2
2
=+
b
y
a
xC （ a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且 21 PFPF ⊥ .若 21FPF?
的面积为 9，则b =____________.
12

10、某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 2a ,短轴长为
2b 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 1 2,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两
个焦点上。现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1 2θ θ、 ，那么
船只已进入该浅水区的判别条件是___________________.




11、方程 2 2 1 0x x+ ? = 的解可视为函数 2y x= + 的图像与函数 1y
x
= 的图像交点的横坐标。若方程
4 4 0x ax+ ? = 的各个实根 1 2, , ( 4)kx x x k ≤? 所对应的点 ??
?
?
??
?
?
1
4,
x
xi （I=1,2,…，k）均在直线 y x= 的同侧，则实
数 a 的取值范围是___________________.




12、已知双曲线
2 2
1
4 5
x y
? = ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 _____ .



13、已知圆的方程 ( )22 1 1x y+ ? = ，P 为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP 的倾斜角为θ 弧度，OP d= ，
则 ( )d f θ= 的图象如下图所示，则 OP 为 _____ .


14、已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程
是 ．



15、若曲线 2y ＝| x |＋1 与直线 y ＝ kx ＋b 没有公共点，则 k 、b 分别应满足的条件是 ．




13
16、如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 q 分别是 M 到
直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对（ p ， q ）是点 M 的“距离坐标”．
已知常数 p ≥0， q ≥0，给出下列命题：
① 若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的
点有且仅有 1 个；
② 若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为
（ p ， q ）的点有且仅有 2 个；
③ 若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．



17、过圆 2 2( 1) ( 1) 1C x y? + ? =： 的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， AOB? 被圆分成四部分（如图），
若这四部分图形面积满足 ||| ,S S S SΙ ∏+ = +? 则直线 AB 有（ ）
（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条




18、如图，在平面直角坐标系中，?是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点C D、 的定圆所围成的
区域（含边界），A B C D、、、 是被圆的四等分点。若点 ( , )P x y 、点 '( ', ')P x y )满足 'x x≤ 且 'y y≥ ，则称 P 优
于 'P 。如果? 中的点 Q 满足：不存在? 中的其它点优于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧
（ ）
（A）?AB （B）?BC （C）?CD （D）?DA


1l

2l
O
M（ p ， q ）
14
19、已知椭圆 12 22 =+ yx ，过原点的两直线 1l 和 2l 分别与椭圆相交于 A、B 和 C、D，记得到的平行四边形 ACBD
的面积为 S。
（1）设 ( ) ( )2211 ,, yx、CyxA ，用 A、C 点的坐标表示 C 点到直线 1l 的距离，并证明 12212 yxyxS ?= ；
（2）设直线 1l 和 2l 的斜率之积为 2
1
? ，求 S 的值。













20 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 对 于 直 线 : 0l ax by c+ + = 和 点 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , )P x y P x y ， 记
1 1 2 2( )( )ax by c ax by cη = + + + + . 若 0η < ，则称点 1 2,P P 被直线 l 分割. 若曲线C 与直线 l 没有公共点，且曲线
C 上存在点 1 2,P P 被直线 l 分割，则称直线 l 为曲线C 的一条分割线.
(1) 求证：点 (1 , 2) , ( 1 , 0)A B ? 被直线 1 0x y+ ? = 分割；
(2) 若直线 y kx= 是曲线 2 24 1x y? = 的分割线，求实数 k 的取值范围；
(3) 动点M 到点 (0 , 2)Q 的距离与到 y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线 E . 求证：通过原点的直线中，
有且仅有一条直线是 E 的分割线.













15
21、如图，已知曲线 21 : 12
xC y? = ，曲线 2 :| | | | 1C y x= + ，P是平面上一点，若存在过点P的直线与 1 2,C C 都有
公共点，则称P为“C1—C2

型点”．
(1)在正确证明 1C 的左焦点是“C1—C2
试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
型点”时，要使用一条过该焦点的直线，
(2)设直线 y kx= 与 2C 有公共点，求证 | | 1k > ，进而证明原点不是“C1—C2
2 2 1
2
x y+ =
型点”；
(3)求证：圆 内的点都不是“C1—C2
xOy
型点”．








22、在平面直角坐标系 中，已知双曲线 12: 221 =? yxC .
（1）过 1C 的左顶点引 1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为 1 的直线 l 交 1C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 1
22 =+ yx 相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆 14: 222 =+ yxC . 若 M、N 分别是 1C 、 2C 上的动点，且 OM⊥ON，
求证：O 到直线 MN 的距离是定值.












16
23、已知平面上的线段 l 及点 P ，在 l 上任取一点Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，
记作 ( , )d P l 。
（1）求点 (1,1)P 到线段 : 3 0(3 5)l x y x? ? = ≤ ≤ 的距离 ( , )d P l ；
（2）设 l 是长为 2 的线段，求点集 { | ( , ) 1}D P d P l= ≤ 所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段 1 2,l l 距离相等的点的集合 1 2{ | ( , ) ( , )}P d P l d P l? = = ，其中
1 2,l AB l CD= = ，
, , ,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2 分，②
6 分，③8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1,0)A B C D? ? 。
② (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1, 2)A B C D? ? ? 。
③ (0,1), (0,0), (0,0), (2,0)A B C D 。























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24、已知椭圆Γ的方程为
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
+ = > > ，点 P 的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足
1PM = ( PA + PB)
2
→ → →
,求点M 的坐标；
（2）设直线 1 1:l y k x p= + 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线 2 2:l y k x= 于点 E .若
2
1 2 2
bk k
a
? = ? ，证明：E 为CD
的中点；
（3）对于椭圆 Γ上的点 Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆 Γ上存在不同的两个交点 1P 、 2P 满足
1 2PP + PP = PQ
→ → →
,写出求作点 1P 、 2P 的步骤，并求出使 1P 、 2P 存在的 θ 的取值范围.







25、已知双曲线
2
2: 1,
2
xc y? = 设过点 ( 3 2,0)A ? 的直线 l 的方向向量 (1, )e k=
?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1） 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离；
（2） 证明：当 k > 2
2
时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 .














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26、设 ( , )( 0)P a b b ≠ 是平面直角坐标系 xOy 中的点，l 是经过原点与点 (1, )b 的直线，记Q 是直线 l 与抛物线
2 2x py= （ p ≠0）的异于原点的交点.
（1）已知 1, 2, 2a b p= = = .，求点Q的坐标；
（2）已知点 ( , )( 0)P a b ab ≠ 在椭圆
2
2 11 , .
4 2
x y p
ab
+ = =上 求证：点 Q 落在双曲线 2 24 4x y? =1 上；
（3）已知动点 ( , )P a b 满足 0ab ≠ ， 1
2
p
ab
= ，若点Q始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上，试问动点 P 的
轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由.









27 、 已 知 半 椭 圆 ( )
2 2
2 2 1 0
x y x
a b
+ = ≥ 与 半 椭 圆 ( )
2 2
2 2 1 0
y x x
b c
+ = ≤ 组 成 的 曲 线 称 为 “ 果 圆 ” ， 其 中
2 2 2 , 0, 0a b c a b c= + > > > 。如图，设点 0F ， 1F ， 2F 是相应椭圆的焦点， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 是“果圆” 与 x，
y 轴的交点，
（1）若三角形 0 1 2F F F 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若 1 1A A B B> ，求
b
a
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ，使得斜率为 k 的直线交果圆于
两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，说明理由。







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28、在平面直角坐标系 x O y 中，直线 l 与抛物线 2y ＝2 x 相交于 A、B 两点．
（1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么
→??
OA
→??
?OB ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．









专题 3：数列
1、 设无穷等比数列{ }na 的公比为 q ，若 ( )1 3 4lim nna a a a→∞= + + +? ，则 q =
20lim ______
3 13n
n
n→∞
+
=
+
.


2、计算： .


3、有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、
2
1
为公比的等比数列，体积分别记为 ?? ，，，， nVVV 21 ，则
=+++
∞→
)(lim 21 nn VVV ? .


4、已知点 (0,0)O ． 0 (0,1)Q 和 0 (3,1)R ，记 0 0Q R 的中点为 1P ，取 0 1Q P 和 1 0PR 中的一条，记其端点为 1Q ． 1R ，
使之满足 1 1(| | 2)(| | 2) 0OQ OR? ? < ；记 1 1Q R 的中点为 2P ，取 1 2Q P 和 2 1P R 中的一条，记其端点为 2Q ． 2R ，
使之满足 2 2(| | 2)(| | 2) 0OQ OR? ? < ；依次下去，得到点 1 2, , , ,nP P P? ?，则 0lim | |nn Q P→∞ = .


20
5、将直线 2 : 0l nx y n+ ? = 、 3 : 0l x n yn+ ? = （
*n N∈ ， 2n ≥ ）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为 nS ，
则 lim nn S→∞ = 。

6、计算：
1
lim 3
3
+∞→ n
Cn
n
＝ ．
7、已知函数 xxxf tansin)( += .项数为 27 的等差数列 { }na 满足 ?
?
?
?
?
??∈
22
ππ
，na ，且公差 0≠d .若
0)()()( 2721 =+…++ afafaf ，则当 k =____________时， 0)( =kaf .

8、设 ( )nnn yxP , 是直线 ( )?∈+=? Nnn
nyx
1
2 与圆 222 =+ yx 在第一象限的交点，则极限 =
?
?
∞→ 1
1
lim
n
n
n x
y
（ A ）

A、 1? B、
2
1
? C、1 D、2

9、在数列{ }na 中， 2 1
n
na = ? ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 ,i j i j i ja a a a a= ? + + ，
（ 1,2, ,7; 1,2, ,12i j= =? ? ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 （ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63

10、设
25
sin1 πn
n
an = ， nn aaaS +++= ?21 ，在 10021 ,,, SSS ? 中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100

11、设{ }na 是各项为正数的无穷数列， iA 是边长为 1,i ia a + 的矩形面积（ 1,2,i = ?），则{ }nA 为等比数列的充要
条件为 （ ）
A．{ }na 是等比数列
B． 1 3 2 1, , , ,na a a ?? ?或 2 4 2, , , ,na a a? ?是等比数列
C． 1 3 2 1, , , ,na a a ?? ?和 2 4 2, , , ,na a a? ?均是等比数列
D． 1 3 2 1, , , ,na a a ?? ?和 2 4 2, , , ,na a a? ?均是等比数列，且公比相同

21
12\若数列{ }na 是首项为 l，公比为
3
2
a ? 的无穷等比数列，且{ }na 各项的和为 a ，
则a 值是 （ ）
（A）1. (B)2. (C) .
2
1
(D) .
4
5


13、已知数列{ }na 和{ }nb 满足 ( )nnnn bbaa ?=? ++ 11 2 ， ?∈Nn ，
（1）若 53 += nbn ，且 11 =a ，求{ }na 的通项公式；
（2）设{ }na 的第 0n 项是最大项，即 ）N（naa nn ?∈≥ ,0 ，求证：{ }nb 的第 0n 项是最大项；
（3）设 01 <= λa ， ( )?∈= Nnb nn ,λ ，求 λ 的取值范围，使得{ }na 有最大值 M 与最小值 m，且 ( )2,2?∈m
M
。










14、已知数列{ }na 满足 1
1 3
3 n n n
a a a+≤ ≤ ，
*n∈N ， 1 1a = .
(1) 若 2 3 42 , , 9a a x a= = = ，求 x 的取值范围；
(2) 设{ }na 是公比为 q 的等比数列， 1 2n nS a a a= + + +? . 若 1
1 3
3 n n n
S S S+≤ ≤ ，
*n∈N ，求 q的取值范围；
(3) 若 1 2, , , ka a a? 成等差数列，且 1 2 1000ka a a+ + + =? ，求正整数 k 的最大值，以及 k 取最大值时相应数
列 1 2, , , ka a a? 的公差.











22
15、给定常数 0c > ，定义函数 ( ) 2 | 4 | | |f x x c x c= + + ? + ，数列 1 2 3, , ,a a a ?满足
*
1 ( ),n na f a n N+ = ∈ .
（1）若 1 2a c= ? ? ，求 2a 及 3a ；（2）求证：对任意
*
1, n nn N a a c+∈ ? ≥ ，；
（3）是否存在 1a ，使得 1 2, , ,na a a? ?成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ，若不存在，说明理由.








16 、 对 于 数 集 },,,,1{ 21 nxxxX ??= ， 其 中 nxxx <<<< ?210 ， 2≥n ， 定 义 向 量 集
},),,(|{ XtXstsaaY ∈∈== . 若对于任意 Ya ∈1 ，存在 Ya ∈2 ，使得 021 =?aa ，则称 X 具有性质 P.
例如 }2,1,1{?=X 具有性质 P.
（1）若 x＞2，且 },2,1,1{ x? ，求 x 的值；（4 分）
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1 时，x1=1；（6 分）
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2 nxxx ,,, 21 ?=q（q为常数），求有穷数列 的通项公式.（8 分）











23
17、已知数列{ }na 和{ }nb 的通项公式分别为 3 6na n= + ， 2 7nb n= + （
*n N∈ ），将集合
* *{ | , } { | , }n nx x a n N x x b n N= ∈ = ∈? 中的元素从小到大依次排列，构成数列 1 2 3, , , , ,nc c c c? ?。
（1）求 1 2 3 4, , ,c c c c ；
（2）求证：在数列{ }nc 中．但不在数列{ }nb 中的项恰为 2 4 2, , , ,na a a? ?；
（3）求数列{ }nc 的通项公式。










18、已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 5 85n nS n a= ? ? ， *n N∈
（1）证明：{ }1na ? 是等比数列；
（2）求数列{ }nS 的通项公式，并求出 n 为何值时， nS 取得最小值，并说明理由。














24
19、已知{ }na 是公差为 d 的等差数列，{ }nb 是公比为 q 的等比数列。
（1） 若 3 1na n= + ，是否存在
*m k N∈、 ，有 1 ?m m ka a a++ = 说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 找出所有数列{ }na 和{ }nb ，使对一切 *n N∈ , 1n n
n
a b
a
+ = ,并说明理由；
（3） 若 1 15, 4, 3,a d b q= = = = 试确定所有的 p ，使数列{ }na 中存在某个连续 p 项的和是数列{ }nb 中的一
项，请证明。












20、已知 1a 为首项的数列{ }na 满足: 1
, 3,
, 3,
n n
n n
n
a c a
a a a
d
+
+ ?= ?
≥??
.
(1)当 1 1, 1, 3a c d= = = 时，求数列{ }na 的通项公式；
（2）当 10 1, 1, 3a c d< < = = 时，试用 1a 表示数列{ }na 前 100 项的和 100S ；
（3）当 1
10 ,a
m
< < （m 是正整数）， 1c
m
= ，正整数 3d m≥ 时，求证：数列 2
1a
m
? ，
3 2
1
ma m+
? ， 6 2
1
ma m+
? ， 9 2
1
ma m+
? 成等比数列当且仅当 3d m= 。







25
21、若有穷数列 1 2, ... na a a （ n 是正整数），满足 1 2 1 1, ....n n na a a a a a?= = = 即 1i n ia a ? +=
（ i 是正整数，且1 i n≤ ≤ ），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{ }nb 是项数为 7 的对称数列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成等差数列， 1 42, 11b b= = ，试写出{ }nb 的每一项
（2）已知{ }nc 是项数为 ( )2 1 1k k? ≥ 的对称数列，且 1 2 1, ...k k kc c c+ ? 构成首项为 50，公差为 4? 的等差数列，数
列{ }nc 的前 2 1k ? 项和为 2 1kS ? ，则当 k 为何值时， 2 1kS ? 取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数 1m > ，试写出所有项数不超过 2m 的对称数列，使得 2 11, 2, 2 ...2m? 成为数列中的连续项；
当 1500m > 时，试求其中一个数列的前 2008 项和 2008S









22、已知有穷数列{ na }共有 2 k 项（整数 k ≥2），首项 1a ＝2．设该数列的前 n 项和为 nS ，
且 1+na ＝ nSa )1( ? ＋2（ n ＝1，2，┅，2 k －1），其中常数 a ＞1．
（1）求证：数列{ na }是等比数列；
（2）若a ＝2 12
2
?k ，数列{ nb }满足 nb ＝ )(log
1
212 naaan
??? （ n ＝1，2，┅，2 k ），
求数列{ nb }的通项公式；
（3）若（2）中的数列{ nb }满足不等式| 1b － 2
3
|＋| 2b － 2
3
|＋┅＋| 12 ?kb － 2
3
|＋| kb2 － 2
3
|≤4，求 k 的值．








26
专题 4：三角函数
1、已知函数 ( ) xxf sin= ，存在 mxxx ?,, 21 ，满足 π60 21 ≤<<<≤ mxxx ? ，
且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?? ∈≥=?++?+? Nmmxfxfxfxfxfxf mm ,2,1213221 ? ，则m的最小值为
21 2cos (2 )y x= ?
.

2、函数 的最小正周期是 .

3、设常数a 使方程 sin 3 cosx x a+ = 在闭区间[0 , 2 ]π 上恰有三个解 1 2 3, ,x x x ，
则 1 2 3x x x+ + = .

4、已知 △ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c，若 2 2 23 2 3 3 0a ab b c+ + ? = ，则角 C 的大小是________.
（结果用反三角函数值表示）

5、若
1 2cos cos sin sin ,sin 2 sin 2
2 3
x y x y x y+ = + = ，则 sin( ) ________x y+ = .

6、函数
1sin
cos2
)(
?
=
　　
　　　
x
x
xf 的值域是 .

7、函数 sin( ) cos( )
2 6
y x xπ π= + ? 的最大值为 .
cos sin
3 6
sin cos
3 6
π π
π π

8、行列式 的值是
22cos sin 2y x x= +
.

9、函数 的最小值是_______.

10、当 时10 ≤≤ x ，不等式 kxx ≥
2
sin π 成立，则实数 k 的取值范围是__________.

11、函数 ( ) 3 sin sin
2
f x x xπ? ?= + +? ?
? ?
的最大值是________.
12、函数 ( ) sin sin
3 2
f x x xπ π? ? ? ?= + +? ? ? ?
? ? ? ?
的最小正周期是 _____T =
27
13、如果 αcos ＝
5
1
，且α 是第四象限的角，那么 )
2
cos( πα + ＝ ．

14、“ ( )2
4
x k k Zππ= + ∈ ”是“ tan 1x = ”成立的 （ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.

15、在 ABC? 中，若 CBA 222 sinsinsin <+ ，则 ABC? 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定


16、已知点 A 的坐标为 ( )1,34 ，将 OA 坐标原点 O 逆时针方向旋转
3
π
至 OB，则 B 点的纵坐标为（ ）
A、
2
33 B、
2
35 C、
2
11 D、
2
13


17、某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
1 1 1, ,
13 11 5
，则此人能 （ ）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形


18、已知0
2
x π< < ，化简： 2lg(cos tan 1 2sin ) lg[ 2 cos( )] lg(1 sin 2 )
2 4
xx x x xπ? + ? + ? ? + .






19、求函数 2cos( )cos( ) 3sin24 4y x x x
π π= + ? + 的值域和最小正周期．






28
20、在三角形 ABC 中， 2 52, ,cos
4 2 5
Ba C π= = = ，求三角形 ABC 的面积 S 。






21、海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴
正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海
里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
2
49
12 xy = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当 5.0=t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分）






22、如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ?，相距 10 海里 C 处的乙
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1°）？










x O
y
P
A
29
A
β
C B
α
D
23、如图，某公司要在 A B、 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD，其中 D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米.
设点 A B、 在同一水平面上，从 A和 B 看 D 的仰角分别为α 和 β .
(1) 设计中CD是铅垂方向. 若要求 2α β≥ ，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
(2) 施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得 38.12α = °， 18.45β = °，求CD的长（结果精确到
0.01米）.












24、（2015 年上海高考*理科）如图，A、B、C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米，现甲、
乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 ( )tf （单位：千米），甲的路线是 AB，
速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB，速度为 8 千米／小时，乙到 B 地后在原地等待，设 1tt = 时乙到达 C 地，
（1）求 1t 及 ( )1tf 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 11 ≤≤ tt 时，求 ( )tf 的表达式，并判断 ( )tf 在 [ ]1,1t 上的最大
值是否超过 3？说明理由。
















30
25、已知函数 ( ) 2sin( )f x xω= ，其中常数 0ω > ；
（1）若 ( )y f x= 在 2[ , ]
4 3
π π
? 上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令 2ω = ，将函数 ( )y f x= 的图像向左平移
6
π
个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 ( )y g x= 的图像，
区间[ , ]a b （ ,a b R∈ 且 a b< ）满足： ( )y g x= 在[ , ]a b 上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的[ , ]a b 中，
求b a? 的最小值．







26、已知函数 ( ) sin 2f x x= ， ( ) cosg x = ?
?
?
?
?
? +
6
2 πx ,直线 ( )x t t R= ∈ 与函数 ( ) ( )f x g x、 的图像分别交于 M、N
两点。
(1) 当
4
t π= 时，求 | |MN 值；
(2) 求 | |MN 在 0,
2
t π? ?∈ ? ?? ?
时的最大值.






27、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 o120 的扇形 AOB。小区的两个出入口设置在点 A及点C 处，且小区
里有一条平行于 BO的小路CD。已知某人从C 沿CD走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA走到 A用了 6 分钟。若
此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径OA的长（精确到 1 米）








A
O
D
B
C
31
专 题 5：函 数
1、设
2
, ( , ),
( )
, [ , ).
x x a
f x
x x a
∈ ?∞?
= ?
∈ +∞?
若 (2) 4f = ，则 a的取值范围为 .
2、设 a 为实常数， ( )y f x= 是定义在 R 上的奇函数，当 0x < 时，
2
( ) 9 7af x x
x
= + + ，若 ( ) 1f x a≥ + 对一切
0x ≥ 成立，则 a 的取值范围为________.


3、对区间 I 上有定义的函数 ( )g x ，记 ( ) { | ( ), }g I y y g x x I= = ∈ ，已知定义域为[0,3]的函数 ( )y f x= 有反函
数
1( )y f x?= ，且 1 1([0,1)) [1,2), ((2, 4]) [0,1)f f? ?= = ，若方程 ( ) 0f x x? = 有解 0x ，则 0 _____x = .


4、已知函数 ||)( axexf ?= （ a 为常数）.若 )(xf 在区间 ),1[ +∞ 上是增函数，则 a 的取值范围是 .


5、已知 2)( xxfy += 是奇函数，且 1)1( =f ，若 2)()( += xfxg ，则 =? )1(g .


6、已知函数 )(xfy = 的图象是折线段 ABC ，其中 )0,0(A 、 )5,
2
1(B 、 )0,1(C ，
函数 )(xxfy = （ 10 ≤≤ x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .

7、函数
1( )
2
f x
x
=
?
的反函数为
1( )f x? = .

8、设 ( )g x 是定义在 R 上．以 1 为周期的函数，若 ( ) ( )f x x g x= + 在[3, 4]上的值域为[ 2,5]? ，
则 ( )f x 在区间[ 10,10]? 上的值域为 .

9、对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= log ( 3)a x + 的反函数的图像都经过点 P，则点 P 的坐标是 .

10、将函数 264 2 ??+= xxy [ ])60( ，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ )0( αθ ≤≤ ，得到曲线C .
若对于每一个旋转角θ ，曲线C 都是一个函数的图像，则α 的最大值为__________.
32
11、函数 ( ) ( )
lg 4
3
x
f x
x
?
=
?
的定义域为
( )
1
xf x
x
=
?
.

12、函数 的反函数 ( )1 _____f x? =

13、若函数 )(xf ＝ xa （ a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 a ＝ ．


14、已知 ( )f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k ，若 ( ) 2f k k≥ 成立，则 ( ) ( )21 1f k k+ ≥ +
成立，下列命题成立的是( )
A、若 ( )3 9f ≥ 成立，则对于任意 1k ≥ ，均有 ( ) 2f k k≥ 成立；
B、若 ( )4 16f ≥ 成立，则对于任意的 4k ≥ ，均有 ( ) 2f k k< 成立；
C、若 ( )7 49f ≥ 成立，则对于任意的 7k < ，均有 ( ) 2f k k< 成立；
D、若 ( )4 25f = 成立，则对于任意的 4k ≥ ，均有 ( ) 2f k k≥ 成立。




15、 设
2( ) , 0,
( ) 1 , 0.
x a x
f x
x a x
x
? ? ≤
?= ?
+ + >??
若 (0)f 是 ( )f x 的最小值，则 a的取值范围为（ ）
(A) [ 1 , 2]? . (B) [ 1 , 0]? . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] .







16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, )+∞ 上单调递减的函数为 （ ）
A．
1ln
| |
y
x
= B． 3y x= C． | |2 xy = D． cosy x=

33
17、已知函数 )1lg()( += xxf .
（1）若 1)()21(0 （2）若 )(xg 是以 2 为周期的偶函数，且当 10 ≤≤ x 时，有 )()( xfxg = ，求函数 )(xgy = ])2,1[( ∈x 的反
函数.（8 分）









18、已知函数 ( ) 2 ( 0, )af x x x a R
x
= + ≠ ∈
（1）判断 ( )f x 的奇偶性 （2）若 ( )f x 在[ )2,+∞ 是增函数，求实数 a 的范围









19、设常数 0a ≥ ，函数 2( )
2
x
x
af x
a
+
=
?
.
(1) 若 4a = ，求函数 ( )y f x= 的反函数 1( )y f x?= ；
(2) 根据 a 的不同取值，讨论函数 ( )y f x= 的奇偶性，并说明理由.







34
20、（2015 年上海高考*理科*压轴题）对于定义域为 R 的函数 ( )xg ，若存在正常数 T，使得 ( )xgcos 是以 T 为周期
的函数，则称 ( )xg 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 ( )xf 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域
为 R，设 ( )xf 是单调递增， ( ) ( ) π4,00 == Tff ，
（1）验证 ( )
3
sin xxxg += 是以 6π 为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设 ba < ，证明对任意 ( ) ( )[ ]bfafc ,∈ ，存在 [ ]bax ,0 ∈ ，使得 ( ) cxf =0 ；
（3）证明：“ 0u 为方程 ( ) 1cos =xf 在区间［0，T］上的解”的充要条件是“ Tu +0 为方程 ( ) 1cos =xf 在区间［T，2T］
上的解”，并证明对任意 [ ]Tx ,0∈ 都有 ( ) ( ) ( )TfxfTxf +=+ 。








21、甲厂以 x 千克 /小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1 10x≤ ≤ ），每小时可获得利润是
3100(5 1 )x
x
+ ? 元.
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.





22、已知函数 ( ) 2 3x xf x a b= ? + ? ，其中常数 ,a b满足 0ab ≠ 。
（1）若 0ab > ，判断函数 ( )f x 的单调性；
（2）若 0ab < ，求 ( 1) ( )f x f x+ > 时 x 的取值范围。




35
23、若实数 x 、 y 、m 满足 x m y m? ?＞ ，则称 x 比 y 远离m .
（1）若 2 1x ? 比 1 远离 0，求 x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 a 、b ，证明： 3 3a b+ 比 2 2a b ab+ 远离 2ab ab ；
（3）已知函数 ( )f x 的定义域 kD= x |x + k Z x R
2 4
ππ
｛≠，∈，∈｝ .任取 x D∈ ， ( )f x 等于 sin x 和 cos x中远
离 0 的那个值.写出函数 ( )f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.













24、 已知函数 ( )y f x= 的反函数。定义：若对给定的实数 ( 0)a a ≠ ，函数 ( )y f x a= + 与 1( )y f x a?= + 互为
反函数，则称 ( )y f x= 满足“ a 和性质”；若函数 ( )y f ax= 与 1( )y f ax?= 互为反函数，则称 ( )y f x= 满足“ a 积
性质”。
（1） 判断函数 2( ) 1( 0)g x x x= + > 是否满足“1 和性质”，并说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 求所有满足“2 和性质”的一次函数；
（3） 设函数 ( )( 0)y f x x= > 对任何 0a > ，满足“ a 积性质”。求 ( )y f x= 的表达式。











36

25、有时可用 函数
0.1 15ln , ( 6)
( )
4.4 , ( 6)
4
a x
a xf x
x x
x
? + ≤?? ?= ? ?? >
? ??

描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ *x N∈ ）， ( )f x 表示对该学科知识的掌
握程度，正实数 a 与学科知识有关。

（1） 证明：当 7x ≥ 时，掌握程度的增加量 ( 1) ( )f x f x+ ? 总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127], (121,133]。当学习某学科
知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。







26、已知函数 y ＝ x ＋
x
a
有如下性质：如果常数 a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ]上是减函数，
在[ a ，＋∞ ) 上是增函数．
（1）如果函数 y ＝ x ＋
x
b2
（ x ＞0）的值域为[ 6，＋∞ ) ，求b 的值；
（2）研究函数 y ＝ 2x ＋ 2x
c
（常数 c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 y ＝ x ＋
x
a
和 y ＝ 2x ＋ 2x
a
（常数 a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 )(xF
＝
n
x
x )1( 2 + ＋ nx
x
)1( 2 + （ n 是正整数）在区间[ 2
1
，2]上的最大值和最小值（可利
用你的研究结论）．





37
专题 6：集合、方程、不等式、条件
1、设全集U=R，若集合 { }4,3,2,1=A ， { }32| ≤≤= xxB ，则 =BCA U?
2、方程
.

( ) ( ) 223log59log 1212 +?=? ?? xx 的解为

.
3、记方程①： 011
2 =++ xax ，方程②： 012
2 =++ xax ，方程③： 013
2 =++ xax 其中 321 a、a、a 是正实数，
当 321 a、a、a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A、方程①有实根，方程②有实根 B、方程①有实根，方程②无实根
C、方程①无实根，方程②有实根 D、方程①无实根，方程②无实根

4、若实数 ,x y 满足 1xy = ，则 2 22x y+ 的最小值为 .

5、 若
2 1
3 2( )f x x x
?
= ? ，则满足 ( ) 0f x < 的 x 的取值范围是 .


6、已知互异的复数 ,a b 满足 0ab ≠ ，集合{ } { }2 2, ,a b a b= ，则 a b+ = .


7、方程 1
3 1 3
3 1 3
x
x
?+ =
?
的实数解为________.


8、若集合 }012|{ >+= xxA ， }2|1||{
9、若全集U R= ，集合 { | 1} { | 0}A x x x x= ≥ ≤? ，则 UC A = .

10、不等式
1 3x
x
+
< 的解为 .

11、不等式
2 0
4
x
x
?
>
+
的解集是 .

12、已知集合 { }| 1A x x= ≤ ， { }|B x x a= ≥ ，且 A B R∪ = ，则实数 a 的取值范围是_________ .
38
13、不等式 1 1x ? ＜ 的解集是___________.
14、设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 (0, )x∈ +∞ 时， ( ) lgf x x= ，
则满足 ( ) 0f x > 的 x 的取值范围是______________.
15、若集合 { | 2} { | }A x x B x x a= ≤ = ≥、 满足 {2}A B =? ，则实数 a = .
16、方程9 6 3 7 0x x? ? ? = 的解是
,x y R+∈
.

17、已知 ，且 4 1x y+ = ，则 x y? 的最大值为 _____ .

18、若 ,a b为非零实数，则下列四个命题都成立：
①
1 0a
a
+ ≠ ② ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ③若 a b= ，则 a b= ±
④若
2a ab= ，则 a b= 。则对于任意非零复数 ,a b，上述命题仍然成立的序号是
{
.


19、已知集合 A＝ －1，3，2 m －1}，集合 B＝{ 3， 2m }．若 B?A，则实数m ＝ ．

20、三个同学对问题“关于 x 的不等式 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥ ax在[1，12]上恒成立，求实数 a
的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 ；


21、设常数a R∈ ，集合 { | ( 1)( ) 0}, { | 1}A x x x a B x x a= ? ? ≥ = ≥ ? ，若 A B R∪ = ，则a 的取值范围为（ ）
(A) ( , 2)?∞ (B) ( , 2]?∞ (C) (2, )+∞ (D) [2, )+∞
22、钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 （ ）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
39
23、若 ,a b R∈ ，且 0ab > ，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A． 2 2 2a b ab+ > B． 2a b ab+ ≥
C．
1 1 2
a b ab
+ > D． 2b a
a b
+ ≥

24、若 0x 是方程
1
31( )
2
x x= 的解，则 0x 属于区间 （ ）
(A)(
2
3
,1) (B)(
1
2
,
2
3
) (C)(
1
3
,
1
2
) (D)(0,
1
3
)


25、已知 ,a b为非零实数，且 a b< ，则下列命题成立的是 （ ）
A、 2 2a b< B、 2 2ab a b< C、 2 2
1 1
ab a b
< D、
b a
a b
<

26、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件；

27、若关于 x 的不等式 xk )1( 2+ ≤ 4k ＋4 的解集是 M，则对任意实常数 k ，总有（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2?M，0?M； （C）2∈M，0?M； （D）2?M，0∈M；


28、设 ,a b∈R，则“ 4a b+ > ”是“ 2a > 且 2b > ”的 （ ）
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.

29、已知 1 1 1( , )P a b 与 2 2 2( , )P a b 是直线 1y kx= + （ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组
1 1
2 2
1,
1
a x b y
a x b y
+ =?
? + =?
的解的情况是 （ ）
(A) 无论 1 2, ,k P P 如何，总是无解. (B) 无论 1 2, ,k P P 如何，总有唯一解.
(C) 存在 1 2, ,k P P ，使之恰有两解. (D) 存在 1 2, ,k P P ，使之有无穷多解.
40

30、已知函数 | |
1( ) 2
2
x
xf x = ? .
(1) 若 ( ) 2f x = ，求 x 的值；
(2) 若 2 (2 )t f t + ( )mf t ≥0 对于 [1, 2]t∈ 恒成立，求实数m 的取值范围？








31、近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 2002 年全球太阳能年生产量为 670 兆瓦，年增长率为 34%。
在此后的四年里，增长率以每年 2%的速度增长（例如 2003 年的年生产量增长率为 36%）
（1）求 2006 年的太阳能年生产量（精确到 0.1 兆瓦）
（2）已知 2006 年太阳能年安装量为 1420 兆瓦，在此后的 4 年里年生产量保持 42%的增长率，若 2010 年的年安
装量不少于年生产量的 95%，求 4 年内年安装量的增长率的最小值（精确到 0.1%）












41
专题 7：复数、矩阵、行列式、平面向量
1、在锐角三角形 ABC 中，
2
1tan =A ，D 为 BC 边上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为 2 和 4，过 D 作 DE⊥AB
于 E，DF⊥AC 于 F，则 =?DFDE .

2、若复数 z 满足 izz +=+ 13
_
，其中 i 为虚数单位，则 z= .


3、若线性方程组的增广矩阵为 ??
?
?
??
?
?
2
1
1
3
0
2
c
c
，解为
?
?
?
=
=
5
3
y
x
，则 =? 21 cc .
4、若复数 1 2z i= + ，其中 i 是虚数单位，则 1z z
z
? ?+ ? =? ?
? ?
.

5、已知曲线 2: 4C x y= ? ? ，直线 : 6l x = . 若对于点 ( , 0)A m ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得
0AP AQ+ =
???? ???? ?
，则m 的取值范围为 .


6、设m R∈ ， 2 22 ( 1)im m m+ ? + ? 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 ________m =

7、若
2 2
1 1
x xx y
y y
=
??
，则 ______x y+ =

8、计算：
3-i =
1+i
（ i 为虚数单位）.


9、若 )1,2(?=n 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

10、在平行四边形 ABCD中，
3
π
=∠A ，边 AB 、AD 的长分别为 2、1，若M 、N 分别是边 BC 、CD上的点，
且满足
||
||
||
||
CD
CN
BC
BM
= ，则 ANAM ? 的取值范围是 .
42
11、行列式
a b
c d
（ , , , { 1,1,2}a b c d ∈ ? ）的所有可能值中，最大的是 .

12、在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点， 3, 1AB BD= = ，则 AB AD? =
???? ????
.
13、若复数 1 2z i= ? （ i 为虚数单位），则 z z z? + = .

14、若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数 z =________ .

15、某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条
街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 )22( ，? ， )13( ，， )43( ， ， )32( ，? ， )54( ， ， )66( ， 为报刊零售点.请确定
一个格点（除零售点外）__________为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. W.w【

16、若行列式
4
1
7
5 x
x 3
8 9
中，元素 4 的代数余子式大于 0，
则 x 满足的条件是____________ . w.w.w.k.s.5.u.

17、某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x

满足的关系式是________________ .

18、若复数 z 满足 (2 )z i z= ? ( i 是虚数单位)，则 z = .
19、若向量a b
? ?
、满足 1, 2,a b= =
? ?
且 a
?
与b
?
的夹角为
3
π
，则 a b+
? ?
＝_________.
20、若复数 z 同时满足 z －
?
z ＝2 i ，
?
z ＝ iz （ i 为虚数单位），则 z ＝ ．


21、若 i21+ 是关于 x 的实系数方程 02 =++ cbxx 的一个复数根，则（ ）
A． 3,2 == cb B． 3,2 =?= cb C． 1,2 ?=?= cb D． 1,2 ?== cb

43
22、在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）
（A） AB DC=
???? ????
； （B） AD AB AC+ =
???? ???? ????
；
（C） AB AD BD? =
???? ???? ????
； （D） 0AD CB+ =
???? ???? ?
；


23、在直角坐标系 xOy 中， ,i j
? ?
分别是与 x 轴， y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中， 2AB i j= +
???? ? ?
，
3AC i k j= +
???? ? ?
，则 k 的可能值有 （ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个


24、已知2 ,ai b i+ + 是实系数一元二次方程 2 0x px q+ + = 的两根，则 ,p q的值为 （ ）
A、 4, 5p q= ? = B、 4, 5p q= = C、 4, 5p q= = ? D、 4, 5p q= ? = ?


25、给定空间中的直线 l 及平面α 。条件“直线 l 与平面α 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面α 垂直”的
（ ）
（A）充要条件. （B）充分非必要条件.
（C）必要非充分条件. （D）既非充分又非必要条件


26、 ”“ 22 ≤≤? a 是“实系数一元二次方程 012 =++ axx 有虚根”的 （ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件


27、直线 l 的参数方程是
x=1+2t
( )
y=2-t
t R? ∈?
?
，则 l 的方向向量是 d 可以是 （ ）
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
44
28、设 1 2 3 4 5, , , ,A A A A A 是空间中给定的 5 个不同的点，则使 1 2 3 4 5 0MA MA MA MA MA+ + + + =
????? ????? ????? ????? ????? ?
成立的点M 的
个数位 （ ）
A．0 B．1 C.5 D．10




29、在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a
?? ??? ??? ??? ???
；以 D
为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1 2 3 4 5, , , ,d d d d d
??? ??? ??? ??? ???
.若 ,m M 分别为 ( ) ( )i j k r s ta a a d d d+ + ? + +
?? ??? ??? ??? ??? ???
的最小值、
最大值，其中{ , , } {1,2,3,4,5}i j k ? ,{ , , } {1,2,3,4,5}r s t ? ,则 ,m M 满足（ ）.
(A) 0, 0m M= > (B) 0, 0m M< > (C) 0, 0m M< = (D) 0, 0m M< <






30、设 Czz ∈21, ，则“ 21 z、z 中至少有一个是虚数”是“ 21 zz ? 是虚数”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件下 D、既不充分也不必要条件






31、已知复数 1z 满足 1( 2)(1 ) 1z i i? + = ? （ i 为虚数单位），复数 2z 的虚部为 2 ， 1 2z z? 是实数，求 2z ？





45
专题 8：排列、组合、二项式定理、统计与概率、极坐标
1、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连
续3天的概率是 （结果用最简分数表示）.
2、某游戏的得分为1, 2 , 3 , 4 , 5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若 ( ) 4.2E ξ = ，则小白得5分的概率至
少为
a R∈
.
3、设常数 ，若
5
2 ax
x
? ?+? ?
? ?
的二项展开式中
7x 项的系数为 10? ，则 ______a = .

4、马老师从课本上抄录一个随机变量ε 的概率分布律如下表：


请小牛同学计算ε 的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯
定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 Eε = .

5、随机抽取 9 个同学中，至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 . （默认每月天数相同，结果精确到
0.001）。

6、随机变量ξ的概率分布率由下图给出：
X 7 8 9 10
( )P Xξ =
0.3 0.35 0.2 0.15

则随机变量ξ的均值是 .



7、从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得为黑桃”，

则概率 P（A∪ B）= .（结果用最简分数表示）



?!?
321
P(ε=
x
46
8、以集合 U={ }a b c d，，， 的子集中选出 2 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有A B B A? ?或 ，那么共有 种不同的选法。



9、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ 表示选出的志愿者中女
生的人数，则数学期望 Eξ ____________（结果用最简分数表示）.

10、在平面直角坐标系中，从六个点： (0,0) (2,0) (1,1) (0,2) (2,2) (3,3)A B C D E F、、、、、 中任取三个，这三
点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）.


11、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5.若
要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别是________.


12、有数字1 2 3 4 5、、、、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________.


13、两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它们任意地排成
一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 .（结果用分数表示）

14、在
10
2015
11 ?
?
?
?
?
? ++
x
x 的展开式中， 2x 项的系数为 （结果用数值表示）.


15、赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1、2、3、4、5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的
数字作为其赌金（单位：元），随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作
为其奖金（单位：元），若随机变量 1ξ 和 2ξ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，
则 =? 21 ξξ EE 元.
47
16、在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的
种数为 （结果用数值表示）.


17、盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶
数的概率是___________（结果用最简分数表示）.


18、设非零常数 d 是等差数列 1 2 3 19, , , ,x x x x? 的公差，随机变量ξ 等可能地取值 1 2 3 19, , , ,x x x x? ，则方差
_______Dξ = .

19、在 6)2(
x
x ? 的二项展开式中，常数项等于 .


20、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全
相同的概率是 （结果用最简分数表示）.

21、在极坐标系中，由三条直线 0=θ ，
3
πθ = ， 1sincos =+ θρθρ 围成图形的面积是________.

22、在极坐标系中，曲线 cos 1ρ θ= + 与 cos 1ρ θ = 的公共点到极点的距离为__________.

23、在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4，
3
π
），B（5，－
6
5π
），则 △OAB 的面积是 ；



24、如图，在极坐标系中，过点 )0,2(M 的直线 l 与极轴的夹角
6
πα = ，
若将 l 的极坐标方程写成 )(θρ f= 的形式，则 =)(θf .




48
25、在极坐标系中，直线 (2cos sin ) 2ρ θ θ+ = 与直线 cos 1ρ θ = 的夹角大小为 .



26、若事件 E 与 F 相互独立，且 ( ) ( ) 1
4
P E P F= = ，则 ( )P E F? 的值等于 （ ）
（A）0 （B） 1
16
（C）
1
4
（D）
1
2





27、在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10
天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的
是 （ ）
（A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0
（C）丙地：中位数为 2，众数为 3 （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3



28、组合数 C rnrnrn 、,1( ≥> ∈Z）恒等于 （ ）
（A） .
1
1 1
1
?
?+
+ r
nCn
r
(B)(n+1)(r+1)C 11
?
?
r
n (C)nrC
1
1
?
?
r
n (D) Cr
n 1
1
?
?
r
n .


29、设 44321 1010 ≤<<<≤ xxxx ，
5
5 10=x ，随机变量 1ξ 取值 54321 xxxxx 、、、、 的概率均为 2.0 ，随机变
量 2ξ 取值 22222
1554433221 xxxxxxxxxx +++++ 、、、、 的概率也均为 2.0 ，若记 21 ξξ DD 、 分别为 21 ξξ、 的方
差，则（ ）
A． 21 ξξ DD > B． 21 ξξ DD =
C． 21 ξξ DD < D． 1ξD 与 2ξD 的大小关系与 4321 xxxx 、、、 的取值有关