19.3.2矩形的判定 同步练习
一.选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
①一组对边相等的四边形是矩形
②两条对角线相等的四边形是矩形
③两条对角线互相垂直的四边形是矩形
④两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC
3. 如图,□ABCD中,对角线AC, BD相交于点O，要是平行四边形ABCD为矩形，需要添加下列一个条件是（ ）
A. OA=OB B. ∠BAC=∠DAC C. AC⊥BD D.AB=BC
4. 下列能判断四边形是矩形的是（ ）
A. 两组对角相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相垂直且相等， D. 对角线互相平分且相等
5. 已知线段AB、BC，∠ABC=90°，求做矩形ABCD以下是甲乙两同学的作业，
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B.两人都不对
C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
二.填空题
1.如图四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O在不添加任何辅助线的前提下，要使它变成矩形，还需要添加一个条件是 .
2.如图连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形.
3.如图在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请添加一个条件 . 使四边形DBCE是矩形.
4. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80厘米，宽为60厘米，对角线为100厘米，则这个桌面 . (填“合格”或“不合格”)
三.解答题
1. 一只如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，AN是△ABC外角∠CAN的平分线，CE∥AD，交AN于点E，求证四边形ADCE是矩形.
2. 如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC，AB，AC的中点，当∠BAC=90°时，想一想四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论.
.
3. 如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，且BE=DF，AC、EF交于O，连接AE 、CF，
(1)求证AE=CF，
(2)若∠FOC=2∠OCE，求证:四边形AECF是矩形.
参考答案
一.1.A 2.B 3.A 4.D 5.A
二.1.AB=BD
2.AC⊥BD
3.EB=DC
4.合格
三
证明:∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD
∵AN是△ABC外角∠CAN的平分线，
∴∠MAN=∠CAN
∴∠DAE=90°
∵CE⊥AN
∴∠AEC=90°
∴四边形ADCE是矩形
解: ∵D、E、F分别为BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC,DF∥AB
∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF是矩形
. 证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BD
∵BE=DF，
∴AF=CE,AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE=CF，
(2) ∵∠FOC=∠OEC+∠OCE=2∠OCE，
∴∠OEC=∠OC
∴OE=OC
∵四边形AECF是平行四边形
∴OA=OC,OE=OF
∴AC=EF
∴四边形AECF是矩形
课件30张PPT。19.3.2矩形的判定沪科版 八年级下新知导入1、矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 、矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等新知导入工人师傅为了检验做的门窗框架、桌面是否为矩形时，不仅测量了四边形的两组对边是否相等，还测量了两条对角线长度是否相等，如果这两个条件都具备相等，则窗框和桌面一定是矩形，你能说出其中的道理吗？新知导入类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.几何语言：新知导入问题1 除了定义以外，还有其它方法判定矩形吗？类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来， “对角线相等的平行四边形是矩形”，你觉得对吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .新知导入已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.命题：对角线相等的平行四边形是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD = BC,
∵ DC = CD,AC = DB,
∴ △ADC≌△BCD ,
∴∠ADC = ∠BCD.
∵AB∥CD,
∴∠ADC + ∠BCD = 180°,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.新知讲解对角线相等的平行四边形是矩形 .符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD∴四边形ABCD是矩形（也就是说对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）（或OA=OC=OB=OD）矩形的判定定理1：新知讲解数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.新知讲解 例1 如图，在 □ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.新知讲解例2：已知，如图．在△ABC中，AB=AC,点D是AC的中点，直线AE // BC，过点D作直线EF // AB,分别交AE，BC于点E、F.求证：四边形AECF是矩形． 四边形AECF是矩形AB=AC分析：AE // BCAE // FC四边形AECF是平行四边形AE ＝CFAD=CD(已知）△ADE≌ △CDF(对顶角相等）点D是AC的中点∠ADE=∠CDF∠1=∠2(已知）AE // BC(已知）(已知）AB=EF四边形AEFB是平行四边形AE // BC对角线相等
AC=EFEF // AB(已知）新知讲解证明： ∵ AE // BC，
∴∠1=∠2在△ADE和△CDF中
∵∠1=∠2，∠ADE=∠CDF，AD=CD
∴△ADE≌ △CDF
∴AE ＝BC
∴四边形AECF是平行四边形∵四边形AEFB是平行四边形
∴AB=EF
∵ AC=AB
∴ AC=EF
∴四边形AECF是矩形新知讲解问题3 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立问题4 至少有几个角是直角的四边形是矩形？猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.新知讲解已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.新知讲解矩形的判定定理2：几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.新知讲解例3 如图， □?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．证明：在□?ABCD 中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE 与BG分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线,∴四边形EFGH是矩形．同理可证∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴ ∠BAE + ∠ABF= ∠DAB + ∠ABC=90°.课堂练习1.判断下列说法是否正确：
对角线相等的四边形是矩形．（ ）
对角线相等的平行四边形是矩形．（ ）
对角线相等且两组对边分别平行的四边形是矩形．（ ）√√×课堂练习2、如图，已知□ ABCD，下列条件：
①AC=BD，②AB=AD，③∠ABO=∠BAO，④AB⊥BC中， 能说明 □ ABCD是矩形的有 （填写序号）①③④课堂练习3.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角 D课堂练习4.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定C课堂练习证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．中考链接1.（2018上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C
C．AC=BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．中考链接解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．中考链接2.（2018青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；中考链接（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=CF．中考链接（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．课堂总结本节课你有什么收获，你能总结吗？矩形的判定方法方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.针对本节课内容，你还有哪些疑惑？板书设计判定矩形的基本方法（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.作业布置1、必做题
（1）课本P97 习题19.3第4题
（2）课本P89 第2题 2、选做题
如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.
求证： AB=DE.
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沪科版数学八年级下册19.3.2矩形的判定 教学设计
课题
19.3.2矩形的判定
单元
第19章第7节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
理解矩形的概念，
掌握矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．
【过程与方法】
探索矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．?
【情感态度与价值观】
体会用矩形来源于生活并服务于生活、利用判定定理解决矩形的计算和证明，培养学生的逻辑思维能力?
重点
矩形的判定
难点
矩形的判定的综合应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，上节课我们学习了矩形矩形的性质，矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
师：矩形有哪些性质？
师：这节课我们来研究如何判定一个四边形是矩形，下面我们来看一个问题，
工人师傅为了检验做的门窗框架、桌面是否为矩形时，不仅测量了四边形的两组对边是否相等，还测量了两条对角线长度是否相等，如果这两个条件都具备相等，则窗框和桌面一定是矩形，你能说出其中的道理吗？
认真复习回顾，
思考老师所提出的问题，
复习巩固，创设情景，引入课题，
讲授新课
师：类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，还有其它方法判定矩形吗？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来， “对角线相等的平行四边形是矩形”，你觉得对吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD = BC,
∵ DC = CD,AC = DB,
∴ △ADC≌△BCD ,
∴∠ADC = ∠BCD.
∵AB∥CD,
∴∠ADC + ∠BCD = 180°,
∴ ∠ADC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）
师：通过证明我们发现这个命题是真的，我们把这个命题称为矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
师：用符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（也就是说对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
（或OA=OC=OB=OD）
问题3 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题4 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
师：我们发现这个命题也是真的，我们把这个命题称为矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
师：几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
师：接下来我们通过几个例题来看一下这两个判定的应用，
例1 如图，在 □ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
例2：已知，如图．在△ABC中，AB=AC,点D是AC的中点，直线AE // BC，过点D作直线EF // AB,分别交AE，BC于点E、F.求证：四边形AECF是矩形．
例3 如图， □?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
在老师的引导下探索知识，并概括总结出判定定理和判定定理2，
在老师的引导下利用知识解决相关例题。
培养学生探索知识的能力，
初步学习应用新知
课堂练习
1.判断下列说法是否正确：
对角线相等的四边形是矩形．（ ）
对角线相等的平行四边形是矩形．（ ）
对角线相等且两组对边分别平行的四边形是矩形．（ ）
2、如图，已知□ ABCD，下列条件：
①AC=BD，②AB=AD，③∠ABO=∠BAO，④AB⊥BC中， 能说明 □ ABCD是矩形的有 （填写序号）
3.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
4.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
组内合作独立完成展示成果，
培养学生独立自主探索知识的能力，进一步巩固所学知识，
中考链接
1.（2018上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C
C．AC=BD D．AB⊥BC
2.（2018青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
在老师的引导下解决中考问题，
进一步利用所学知识解决中考相关问题，培养学生解决问题的能力，
课堂小结
师：本节课你有什么收获，你能总结吗？
矩形的判定方法方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
针对本节课内容，你还有哪些疑惑？
认真回顾概括总结，
培养学生梳理知识的能力，
板书
矩形的判定方法方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
认真笔记，
为学生留下思考的线索，
