第5章 分式与分式方程单元检测试卷A（含解析）

北师大版八年级下第5章分式与分式方程单元检测试卷A
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（10小题，每题3分，共30分)
1．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．m-2n
3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍
4．分式的值为0,则x的取值为( )
A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-1
5．分式方程的解是（ ）
A．0 B．1 C． D．不存在
6．一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲乙两人合作一天的工作量是（ ）
A．a+b B． C． D．
7．下列约分中，正确的是（　　）
A．＝x3 B．＝0 C． D．
8．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的分式方程无解，则m的值是（　　）
A．1 B．0 C．2 D．-2
10．某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分)
11．请你写出一个整数x的值如__________，使分式的值为正整数.
12．分式的最简公分母为 ____________.
13．如果=2，则的值为__________ .
14．乐乐通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为千米/时，则乐乐上学和放学路上的平均速度为_________千米/时．
15．分式有意义时，x的取值范围是_____．
16．计算：的结果是（结果化为最简形式）_____．
三、解答题（10小题，共72分)
17．计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．解分式方程:
(1) (2)
(3) (4)
19．已知对A，B进行加减运算有几种不同的答案，选择其中你认为较简便的式子求值，其中.
20．先化简，再求值：，其中x满足方程.
21．若，对任意自然数n都成立，求实数a，b.
22．已知abc≠0且a+b+c=0，求a（+）+b（+）+c（+）的值．
23．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？花店第一批所购鲜花多少盒？
24．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
25．阅读下列材料：
∵，，，……，
∴
=
= =．
解答下列问题：
（1）在和式中，第6项为______，第n项是__________．
（2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的．
（3）受此启发，请你解下面的方程：
．
26．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
参考答案
1．【考点】最简分式
【分析】根据最简分式的定义即可判断.
解：A. 还有公因式4，不是最简分式；
B. 还有公因式a，不是最简分式；
C. 没有公因式，是最简分式；
D. =还有公因式，不是最简分式；
故选C.
【点睛】此题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式.
2．【考点】分式的定义
【分析】根据分式的性质即可判断.
解：A. 分母没有字母，不是分式；
B. 分母有分式，是分式；
C. 分母没有字母，不是分式；
D. m-2n没有分母不是分式，
故选B.
【点睛】此题主要考查分式的定义，熟知分母中有字母为分式是解题的关键.
3．【考点】分式的性质
【分析】分式中的x和y都扩大2倍变为一个新的分式再进行约分，比较与原分式的大小变化即可.
解：分式中的x和y都扩大2倍变为==,所以大小不变，选C.
【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是对分式进行正确的约分判断.
4．【考点】分式的值为0的条件
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：∵原式的值为0，
∴，
∴（x-1）（x+3）=0，即x=1或x=-3；
又∵|x|-1≠0，即x≠±1．
∴x=-3．
故选：A．
【点睛】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
5．【考点】分式方程的解法
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程两边同乘以2x（x+1）2，约去分母得：2x+2×4=5（x+1），
化简得：3x=3，
得：x=1，
检验：把x=1代入2x（x+1）2，得2x（x+1）2≠0，
所以x=1是分式方程的解．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解分式方程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
6．【考点】分式方程的应用【分析】甲、乙合做一天的工作量=甲一天的工作量+乙一天的工作量，把相关数值代入即可．
解：∵一项工程，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，
∴甲一天的工作量为,乙一天的工作量为，
∴甲、乙合作,一天可以完成的工作量为+.
故答案选D.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用.
7．【考点】约分
【分析】根据分式的基本性质分别对每一项进行约分即可．
解：A、=x4，故本选项错误；
B、=1，故本选项错误；
C、==，故本选项正确；
D、=，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了约分，用到的知识点是分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0．
8．【考点】分式的混合运算
【分析】(1)加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减，用此分析A.
(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式，用此分析B、C.
(3) 分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，用此分析D.
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
解：A. 故此项错误；
B. 不能约分，故此项错误；
C. 故此项正确；
D. 故此项错误.
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．【考点】分式方程的解
【分析】先去分母得出整式方程x﹣2（x﹣1）＝m，根据分式方程无解得出x﹣1＝0，求出x，把x的值代入整式方程x﹣2（x﹣1）＝m，求出即可．
解：，方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2（x﹣1）＝m．
∵关于x的分式方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
把x＝1代入方程x﹣2（x﹣1）＝m得：1﹣2×（1﹣1）＝m，∴m＝1．
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，关键是能根据题意得出方程x﹣1＝0．
10．【考点】分式方程的应用
【分析】设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，根据等量关系“原计划所用天数-实际所用天数=2”列出方程即可.
解：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，
由题意得，．
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出等量关系是解决此类题目的关键.
11．【考点】分式的值
【分析】要想的值为正整数，让的值为1，2,3,6即可，故可求出x的值
解：依题意的值为1，2,3,6，
∴x=0,1,2,5其中一个即可.
【点睛】此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式的运算.
12．【考点】最简公分母
【分析】根据找最简公分母的方法直接写出即可.
解：分式的最简公分母为abx2.
【点睛】此题主要考查最简公分母的定义，解题的关键是依次找出各式的公分母.
13．【考点】分式的化简求值
【分析】由=2，可得a=2b，代入即可求得.
解：∵=2，
∴a=2b，
∴===
【点睛】此题主要考查分式的化简，解题的关键是将已知条件变形再代入所求.
14．【考点】分式的应用
【分析】设去学校的路程为s，由上学时平均速度为千米/时，可求出上学时所用时间t1=，
根据回来的平均速度可求出回来的时间t2=，再利用平均速度=总路程除以总时间即可求出.
解：设去学校的路程为s，∵上学时平均速度为千米/时，
∴上学时所用时间t1=，
∵返回的速度为千米/时
∴回来的时间t2=
∵总时间为+，总路程为2s，
∴乐乐上学和放学路上的平均速度为=.
【点睛】此题主要考查分式的应用，解题的关键是根据题意列出式子进行计算.
15．【考点】分式有意义的条件
【分析】要使代数式有意义时，必有2﹣x＞0，可解得x的范围．
解：根据题意得：2﹣x＞0，
解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
【点睛】考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．
16．【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可得．
解：原式＝[﹣]?
＝?
＝?
＝2a，
故答案为：2a．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的混合运算即可解出，加减需通分，乘除需约分.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
18．【考点】解分式方程
【分析】(1)方程两边同乘x-2，化为整式方程后，求解后进行检验即可；
(2)方程两边同乘2-3x，化为整式方程后，求解后进行检验即可；
(3)方程两边同乘x(x+3)(x-1)，化为整式方程后，求解后进行检验即可；
(4)方程两边同乘(x+1)(x-1)，化为整式方程后，求解后进行检验即可.
解：(1)两边同乘x-2，得
1=x-1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，
所以原分式方程无解；
(2)两边同乘2-3x，得
7-9x-(4x-5)=2-3x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2-3x≠0，
所以原分式方程的解是x=1；
(3)两边同乘经x(x+3)(x-1)，得
5(x-1)-(x+3)=0，
解得：x=2，
检验：当x=时，x(x+3)(x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=2；
(4)两边同乘(x+1)(x-1)，得
2(x-1)+3(x+1)=6，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
所以原分式方程无解.
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
19．【考点】分式运算
【分析】先将A+B进行运算化简，再代入，a=2b即可.
解：A+B=+===-.
当时，
.
【点睛】此题主要考查分式运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
20．【考点】分式的化简求值，解分式方程
【分析】原式括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，解分式方程求得x的值后代入化简后的结果进行计算即可.
解：
=
=
=
= ，
∵，
∴，
解这个方程得=2，
经检验=2是原方程的根，
当=2时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算的法则以及解分式方程的一般步骤是解题的关键.
21．【考点】分式的计算
【分析】先将计算得,由对任意自然数n都成立，可得=1，即2n（a+b）+a﹣b=1，故a+b=0，a﹣b=1，再解得a，b即可.
解：∵=
依题意可得=1
∴2n（a+b）+a﹣b=1，
即.
解得：a=，b=﹣.
【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是依题意找到关于a，b的式子进行求解.
22．【考点】分式的化简求值
【分析】先对原式进行化简，由题干条件可得a+b=-c、b+c=-a、c+a=-b三个式子，再将这三个式子代入原式化简后的式子中，运用分式加减法运算.
解：原式=，
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
则，原式=.
【点睛】本题关键在于通过a+b+c=0这个条件进行变形后，分别求解、、的值.
23．【考点】分式方程的应用
【分析】设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批鲜花每盒的进价是（x+10）元，故第一次进货()盒，第而次进货()盒，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，即可列出分式方程 ，再解出即可.
解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意，得

解得x=150.
经检验：x=150是所列方程的解
当x=150时，
答：第二批鲜花每盒的进价是150元，花店第一批所购鲜花100盒.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出分式方程再进行求解.
24．【考点】分式方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．
根据题意，得，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴=×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有，解得 y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
25．【考点】解分式方程
【分析】认真审题，找到规律（两个连续奇数的积的倒数等于它们的倒数差的一半），再依据规律解题即可．
解：（1）根据题中的规律可得：;
（2）分式减法，对消;
（3）解析：将分式方程变形为
整理得，
方程两边都乘以2x（x+9），得
2（x+9）-2x=9x，解得x=2．
经检验，x=2是原分式方程的根．
【点睛】方程若用常规方法来解，显然很难，这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧．
26．【考点】分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．
（2）关系式为：公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15﹣x）辆，根据题意得：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．