第5章 分式与分式方程单元检测试卷B（含解析）

北师大版八年级下第5章分式与分式方程单元检测试卷B
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分)
1．有理式,,,中，属于分式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．分式，，的最简公分母是(　　)．
A．15abx B．15abx3 C．30abx D．30abx3
3．分式，，，中最简分式的个数为(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．分式方程去分母后的结果正确的是（　　）
A．x2﹣4﹣1＝1 B．x2+2x﹣（x2﹣4）＝1
C．x+2﹣x2﹣4＝1 D．x+2﹣1＝1
5．已知，其中A、B为常数，则A-B的值为( )
A．-8 B．8 C．-1 D．4
6．下列各题所求的最简公分母,错误的是 ( )
A．的最简公分母是6x2
B．的最简公分母是6a2b2c
C．的最简公分母是x2-9
D．的最简公分母是mn(x+y)·(x-y)
7．若关于x的方程的解是x＝3，则a的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
8．若关于x的方程没有增根，则m的值不能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
9．如果分式中的x和y都同时缩小为原来的，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大 2 倍
10．方程有增根，则增根是(　　)．
A．1 B．－1 C．±1 D．0
11．计算:的结果是 ( )
A． B． C．m-1 D．
12．“十一”期间，红旗中学“东升文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“东升文学社”有x人，则所列方程为(　　)．
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分)
13．当a＝____________时，方程的解与方程的解相同．
14．方程-2=的解为_______.
15．若代数式有意义，则x的取值范围是_______.
16．计算:=______________.
17．用四则运算的加法与除法定义一种新运算记为☆．若对于任意有理数a，b，a☆b＝，则方程（1☆x）＝5的解是_______．
18．若，则的值是__________．
三、解答题（8小题，共66分)
19．计算:
(1);
(2).
20．解分式方程:
(1)=1;
(2).
21．有一道题：“先化简，再求值：.其中a＝3，b＝－1.“小明在做题时，把b＝－1错抄成b＝7，但他的计算结果是正确的.你能解释这是怎么回事吗？
22．若方程=-1的解是正数，求a的取值范围．关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母，化为整式方程，得2x＋a＝－x＋2.
化简，得.欲使方程的根为正数，必须，得a＜2.故当a＜2时，方程的解是正数．上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．
23．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
24．为推进中原经济区建设，促进中部地区崛起，我省汽车领头企业郑州日产实行技术革新，在保证原有生产线的同时，引进新的生产线，今年某月公司接到装配汽车2400辆的订单，定价为每辆6万元，若只采用新的生产线生产，则与原生产线相比可以提前8天完成订单任务，已知新的生产线使汽车装配效率比以前提高了．
（1）求原生产线每天可以装配多少辆汽车？
（2）已知原生产线装配一辆汽车需要成本5万元，新生产线比原生产线每辆节省1万元，于是公司决定两条生产线同时生产，且新生产线装配的数量最多是原生产线装配数量的2倍，问：如何分配两条生产线才能使获得的利润最大，最大利润为多少万元？
25．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?
26．（2016黑龙江省牡丹江市）某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：
（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；
（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．
参考答案
1．【考点】分式的定
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
解：分式的有 ,,
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，解题关键是掌握分母中含字母，π是无理数，不是字母．
2．【考点】最简公分母
【分析】要求分式的最简公分母，就是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积.
解：系数的最小公倍数为2×3×5=30，字母因式的最高次幂的积为abx3，则最简公分母是30abx3，
故选择D.
【点睛】本题考查了求解分式的最简公分母.
3．【考点】最简分式的定义
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
=；
=；
的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式.
故选B.
【点睛】本题考查了最简分式的定义的应用．分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
4．【考点】解分式方
【分析】分式方程两边乘以（x+2）（x-2），去分母得到结果，即可做出判断．
解：去分母得：x2+2x-（x2-4）=1，故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．【考点】分式的加减
【分析】本题先把式子进行通分，然后根据式子的特点求出A．B的值即可．
解：∵=，
=，
∴,
∴A-B=A+B-2B，=8．故选：B．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．【考点】最简公分母
【分析】的最简公分母是3+x，故错误.
解：A. 的最简公分母是6x2，故正确；
B. 的最简公分母是6a2b2c，故正确；
C. 的最简公分母是3+x，故错误；
D. 的最简公分母是mn(x+y)·(x-y) ，故正确；
故选C.
【点睛】此题主要考察分式的最简公分母.
7．【考点】分式方程的解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=3代入计算即可求出a的值．
解：分式方程去分母得：10（x-a）=-2a（x-1），把x=3代入得：10（3-a）=-4a，解得：a=5，故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．【考点】分式方程的增根
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解：将分式方程两边都乘以（x-1），得：m-1-x=0，把x=1代入m-1-x=0，解得m=2．∵原分式方程没有增根，∴m≠2．故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．【考点】分式基本性质
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
解：分式中的x和y都同时缩小为原来的，那么分式的值不变，故C符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
10．【考点】分式方程的增根
【分析】分式方程要出现增根就是使得分式方程中的分式的分母为零的值；接下来运用上述的结论即可得到x－1＝0，进而求解即可.
解：分式方程的分母不为0，故x?1≠0，即x≠1.由于方程有增根，那么增根必为x＝1.故本题正确答案为A.
【点睛】本题考查的是分式方程的增根，熟练掌握增根是解题的关键.
11．【考点】分式的乘除法
【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可.
解：原式= =
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘除法，解题关键是熟练掌握运算法则．
12．【考点】分式方程
【分析】于“东升文学社”有x人,用面包车的租价除以x即可得到原来每个同学摊的车费;增加两个人之后共有x＋2人,用面包车的租价除以x＋2即可得到增加两人后每个同学摊的车费,自己动手算算;根据等量关系“增加两人后每个同学比原来少摊了3元车费”即可列出关于x的方程.
解：由于“东升文学社”有x人,则原来每个同学摊的车费为，增加了两名同学后共有x人,此时每个同学所摊的车费，由每个同学比原来少摊了3元钱的车费,则.
故选B.
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
13．【考点】分式方程的解
【分析】根据解分式方程，可得第二个分式方程的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
解：，去分母，得x-4=3x．解得x=-2，经检验：x=-2是原分式方程的解．
∵方程的解与方程的解相同．
把x=-2代入得：
解得a=
经检验：a=是分式方程的解，
∴当a=时，方程的解与方程的解相同．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的步骤，注意要检验分式方程的解．
14．【考点】分式方程的解法
【分析】把方程两边都乘以x-3，化为整式方程求解，求出未知数的值要验根.
解：-2=，
两边都乘以x-3，得
x-2(x-3)=4，
解之得
x=2.
经检验x=2是分式方程的解.
故答案为：x=2.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.
15．【考点】分式的乘除法
【分析】根据分式的分母不为0且除式不为0，确定出x的范围即可．
解：要使代数式有意义，须有x-2≠0，≠0，x+4≠0，
则x的范围是x≠2，x≠-3，x≠-4．
故答案为：x≠2，x≠±1，x≠-4
【点睛】此题考查了分式的乘除法，以及分式有意义的条件，弄清分式有意义的条件是解本题的关键．
16．【考点】分式的混合运算
【分析】将分子、分母能因式分解的因式分解，同时将除法转化为乘法，依据分式的基本性质整体约分可得答案．
解：原式= =-2.
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．
17．【考点】解分式方程
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
解：根据题意得：1☆x==5
去分母得：1+x=5-5x，
解得：x=
经检验x=是分式方程的解．
故答案为：x=
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．【考点】分式化简求值
【分析】原等式两边同时乘以(a+b)，可得的具体数值，据此进行解答即可.
解：原等式两边同时乘以(a+b)，则，即，
则=1-3=-2.
故答案为：-2.
【点睛】通过对原等式的变形从而求解出的值是本题关键点.
19．【考点】分式的混合运算
【分析】（1）先进行乘方运算，然后约分即可；（2）先把分子分母因式分解，然后约分即可.
解：（1）解:原式=.
（2）解:原式=.
【点睛】本题考查分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20．【考点】分式方程的解法
【分析】（1）把方程两边都乘以x(x+3)，化为整式方程求解，求出未知数的值要验根；
（2）把方程两边都乘以(x+1)(x-1)，化为整式方程求解，求出未知数的值要验根.
解：(1)=1，
两边都乘以x(x+3)，得
2(x+3)+x2= x(x+3)，
解之得
x=6，
经检验x=6是原方程的解；
(2)，
两边都乘以(x+1)(x-1)，得
2(x+1)=4,
解之得
x=1,
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
∴x=1是分式方程的增根，原方程无解.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.
21．【考点】分式的化简求值
【分析】按照运算顺序，首先把分式化简，把数值代入求得结果进一步比较得出答案即可．
解：原式＝＝.此题的结果与字母b的取值无关，所以即使小明抄错b的值，计算结果也是正确的.
【点睛】考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【考点】分式方程
【分析】化为整式方程，求得x的值然后根据解的情况进行分析没有错，但还应考虑分母x－2≠0即x≠2.
解：上述解法有错误，错误的原因在于解分式方程时没有考虑分母不等于零，即x≠2，由此得，a≠－4，
正确解答是：当a＜2且a≠－4时，方程的解是正数．
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
23．【考点】分式方程的解法
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y?＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
解：（1）将y＝代入原方程，则原方程化为?＝0；
（2）将y＝代入方程，则原方程可化为y?＝0；
（3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；
当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
24．【考点】分式方程的应用，函数的应用
【分析】（1）根据题意设出原生产线的工作效率，利用工作时间建立方程求解即可；
（2）根据题意先设出原生产线的工作总量，找出新生产线的工作总量，根据数量之间的关系，可找出未知数的范围；最后将利润表示成一次函数，利用一次函数的性质求解利润的最大值.
解：（1）设原生产线每天可以装配辆汽车，则
，解得：
经检验，是原分式方程的根
答：原生产线每天可以装配120辆汽车；
（2）设原生产线装配辆汽车，则新生产线装配（2400﹣）辆汽车，
2400﹣≤2
解得：≥800，
设总利润为W万元，则W＝（6﹣5）+（6﹣4）（2400﹣）＝﹣+4800，
因为﹣1＜0，所以W随的增大而减小．
又≥800
所以当＝800时，W最大＝﹣800+4800＝4000（万元），
答：当原生产线生产800辆汽车，新生产线生产1600辆汽车时，利润最大，最大利润为4000万元．
【点睛】本题主要考察分式方程和函数的应用题，正确理解题意是解题的关键.
25．【考点】分式方程的应用
【分析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
解：设规定期限x天完成，则有：
，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天。
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
26．【考点】分式方程的应用，一次函数的应用，
【分析】（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，根据用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，可列分式方程求解；
（2）根据所获利润W=A种蔬菜出售所获利润+B种蔬菜出售所获利润，列出函数解析式并化简即可；
（3）先根据A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，求得a的取值范围，再根据一次函数W=的性质，求得最大利润，最后根据电脑的价格判断购买电脑的方案数量．
解：（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，依题意得：，解得x=1.5，经检验：x=1.5是原方程的解，∴x+0.5=2．
答：每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；
（2）根据题意得，W=（2﹣1.5）×+（3﹣2）×=，∴所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：W=；
（3）当≥时，a≥6，
∵在一次函数W=中，W随着a的增大而减小，
∴当a=6时，W有最大值，W的最大值为﹣1+7=6（万元）．
设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则2100a+2700b=60000，
∵a和b均为整数，∴或或，
∴有三种购买方案．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是抓住题中的等量关系列出分式方程，以及所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式，解题时注意：在一次函数y=kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．