第4章 因式分解单元检测试卷（含解析）

第4章因式分解单元检测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分)
1．多项式8m2n+2mn的公因式是（　　）
A．2mn B．mn C．2 D．8m2n
2．下列因式分解正确的是（　　）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D．a2+ab+b2＝（a+b）2
3．下列变形属于因式分解的是（　　）
A．4x+x＝5x B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．x2+x+1＝x（x+1）+1 D．x2﹣3x＝x（x﹣3）
4．若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为( )
A．1 B． C． D．6
5．在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（　　）
A．（x﹣）（x﹣） B．（x﹣）（x+）
C．（x+）（x﹣） D．（x+）（x+）
6．若2m+n=25，m﹣2n=2，则(m+3n)2﹣(3m﹣n)2的值为（ ）．
A．200 B．-200 C．100 D．-100
7．如果能被n整除，则n的值可能是　　
A．20 B．30 C．35 D．40
8．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
9．要在二次三项式x2＋(　　)x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是(　 　)
A．1，－1 B．5，－5 C．1，－1，5，－5 D．以上答案都不对
10．已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，则（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．0 C．负数 D．无法确定
12．已知P＝8x2－y2＋6x－2，N＝9x2＋4y＋13，则P和N的大小关系是(　　)．
A．P＞N B．P＝N C．P＜N D．不能确定
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分)
13．因式分解：=____________
14．在实数范围内对多项式：因式分解得______．
15．已知a=2+，b=2-,则a2-b2=________.
16．如图,将下列四个图形拼成一个大长方形,再据此写出一个多项式的因式分解：_________．
① ② ③ ④
17．若x2﹣y2＝8，x2﹣z2＝5，则（x+y）（y+z）（z+x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）＝___．
18．则________.
三、解答题（8小题，共66分)
19．分解因式：
（1）﹣2m2+8mn﹣8n2
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
（3）（m2+n2）2﹣4m2n2．
20．已知，求的值。
21．①若一个多项式除以，得到的商为，余式为，求这个多项式．
②已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-10a-8b+41=0，求c的取值范围．
22．对任意一个五位正整数m，如果首位与末位、千位与十位的和均等于9，且百位为0，则称m为“开学数”．
（1）猜想任意一个“开学数”是否为的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的立方，则称正整数a是立方数．若五位正整数m为“开学数”，记，求满足是立方数的所有m．
23．阅读理解：整体代换是一个重要的数学思想方法．
例如：计算4（a+b）-7（a+b）+（a+b）时可将（a+b）看成一个整体，合并同类项得-2（a+b），再利用分配律去括号得-2a-2b．同时，我们也知道：代数的基本要义就是用字母表示数使之更具一般性．所以，在计算a（a+b）时，同样可以利用分配律得a2+ab．
（1）请你尝试着把（a-2）或（b-2）看成整体计算：（a-2）（b-2）
（2）创新应用：如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，则我们称这两个数为“积倍和数对”．即：若ab=2（a+b），则a、b是一对积倍和数对，记为（a、b）．例如：因为3×6=2（3+6），所以3和6是一对积倍和数对，记为（3、6）．请你找出所有a、b均为整数的积倍和数对．
24．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．
（1）26的“至善数”是　 　，“明德数”是　 　．
（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；
（2）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．
25．因式分解是把多项式变形为几个整式乘积的形式的过程．
（1）设有多项式x2+2x﹣m分解后有一个因式是x+4，求m的值．
（2）若有甲、乙两个等容积的长方体容器，甲容器长为x﹣1，宽为x﹣2．体积为x4﹣x3+ax2+bx﹣6，（x为整数），乙容器的底面是正方形．
①求出a，b的值；
②分别求出甲、乙两容器的高．（用含x的代数式表示）
26．阅读材料：把形的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题：
填空：______．
若，求的值．
若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
参考答案
1．【考点】公因式
【分析】找出多项式的公因式即可．
解：多项式8m2n+2mn的公因式是2mn，
故选：A．
【点睛】此题考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．【考点】因式分解的意义
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，结合选项进行判断即可．
解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，掌握因式分解的定义是关键．
4．【考点】多项式乘以多项式，因式分解的定义
【分析】根据多项式乘以多项式法则求出(x-2)(x+3)=x2+x-6，求出m、n的值，再求出mn即可．
解：(x-2)(x+3)=x2+x-6，
∵x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，
∴m=1，n=-6，
∴mn=1×(-6)=-6，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解的定义，能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．【考点】实数范围内分解因式
【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果．
解：令x2+x-1=0，解得：x1=，x2=，则x2+x-1=（x-）．（x+）故选：B．
【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
6．【考点】整式的化简求值，因式分解
【分析】首先利用平方差公式因式将原式因式分解，再整体代入2m+n=25，m-2n=2求得数值即可．
解：∵2m+n=25，m-2n=2，∴（m+3n）2-（3m-n）2=[（m+3n）+（3m-n）][（m+3n）-（3m-n）]=（4m+2n）（-2m+4n）=-4（2m+n）（m-2n）=-4×25×2=-200．故选B．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握利用平方差公式因式分解以及整体代入思想．
7．【考点】分解因式的应用
【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答．
解：，
能被n整除，则n的值可能是30，
故选B．
【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的．
8．【考点】因式分解的意义
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案．
解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n
∴8+n=5,m=2n
∴n=-3,m=-6
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．
9．【考点】十字相乘法分解因式
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：□中填上的整数应该是-6的两个因数的和，即1，-1，5，-5.
解：-6可以分成：-2×3，2×（-3），-1×6，1×（-6），
□中填上的整数应该是-6的两个因数的和，即1，-1，5，-5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
10．【考点】分解因式的应用
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，=×（1+1+4），=3．故选：D．
【点睛】本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．
11．【考点】因式分解的应用
【分析】利用平方差公式以及三角形的三边关系即可解决问题．
解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2＜0．
故选：C．
【点睛】考查平方差公式，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
12．【考点】因式分解的应用
【分析】将P﹣N整理成﹣（x﹣3）2﹣（y+2）2﹣2，从而说明P﹣N＜0，即可得出结论．
解：∵P﹣N=8x2﹣y2+6x﹣2﹣（9x2+4y+13）=﹣x2+6x﹣y2﹣4y﹣15
=﹣[（x2﹣6x+9）+（y2+4y+4）+2]
=﹣（x﹣3）2﹣（y+2）2﹣2＜0
∴P＜N．
故选C．
【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质﹣偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
13．【考点】因式分解-分组分解法
【分析】原式两两分组，分别用平方差和提公因式分解后再提公因式（m-n）即可.
解：原式=
=（m-n）（m+n）-2（m-n）
=(m-n)(m+n-2)
故答案为：(m-n)(m+n-2).
【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．
14．【考点】实数范围内分解因式
【分析】利用平方差公式进行解答．
解：原式
故答案是：
【点睛】考查了实数范围内分解因式，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围可用无理数的形式来表示，一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
15．【考点】因式分解的应用
【分析】利用平方差公式计算即可.
解：a2-b2=（a+b）（a-b）=（2++2-）（2+-2+）=4×2=8.
故答案为：8
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解答此题的关键.
16．【考点】因式分解的应用
【分析】由图可知拼成的大长方形面积为=，再进行因式分解即可.
解：由图得大长方形的面积为=，
故
【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是先求出大长方形的面积.
17．【考点】因式分解的应用
【分析】根据平方差公式计算即可．
解：∵x2﹣y2＝8，x2﹣z2＝5，
∴y2﹣z2＝﹣3，
∴（x+y）（y+z）（z+x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）＝（x2﹣y2）（z2﹣x2）（y2﹣z2）＝8×（﹣5）×（﹣3）＝120，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
18．【考点】找规律，因式分解的应用
【分析】先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.
解：
所以
故答案为：
【点睛】此题重点考察学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键.
19．【考点】因式分解
【分析】（1）首先提取公因式﹣2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式（x﹣1），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（3）直接利用平方差公式分解因式进而结合完全平方公式分解因式即可．
解：（1）﹣2m2+8mn﹣8n2
＝﹣2（m2﹣4mn+4n2）
＝﹣2（m﹣2n）2；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
＝（x﹣1）（a2﹣b2）
＝（x﹣1）（a﹣b）（a+b）；
（3）（m2+n2）2﹣4m2n2
＝（m2+n2+2mn）（m2+n2﹣2mn）
＝（m+n）2（m﹣n）2．
【点睛】考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．因式分解的应用【考点】
【分析】先由已知条件得到x2+4x=1，再利用因式分解得方法得到原式=2x2（x2+4x）-4x2-8x+1，利用整体代入计算后得到原式=-2x2-8x+1，然后利用同样的方法计算即可．
解：由已知，得，则
=
=
=
＝2-1
=1
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
21．【考点】因式分解的应用
【分析】①根据被除数=除数×商+余数，计算即可得到结果；
②由a2+b2-10a-8b+41=0，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可．
解：①根据题意得：（2x2-3）（x+4）+3x+2=2x3+8x2-10；
②∵a2+b2-8b-10a+41=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∴a=5，b=4；
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴5-4＜c＜5+4，
即1＜c＜9．
【点睛】①此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
②考查了因式分解的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方．
22．【考点】因式分解的应用
【分析】（1）记五位正整数，根据题意，，设为，为，即可用x、y表示m，对表达式进行因式分解即可得答案；（2）利用（1）中的表达式，根据立方数的定义可确定m的取值范围，即可得立方数的个数，进而可得对应的“开学数”的个数.
解：（1）记五位正整数（其中、、、为到之间的正整数，，），由题意可得：，．设为，为（，为到之间的正整数，），
则可表达为：10000x+1000y+0+10(9-y)+9-x
=9999x+990y+99
=99(101x+10y+1)
根据，的取值范围，表达式为一个正整数，
故“开学数”是的倍数．
（2）若记，
则记．
根据正整数立方数的定义，，即的立方根是一个正整数．
，根据，的取值范围，有开学数，，
可见满足为立方数的是：，，…；对应的“开学数”为：，，…，共计个数．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用和列代数式及整式的化简，根据题意表示出五位正整数m并进行因式分解，理解立方数的定义是解题关键.
23．【考点】因式分解的应用
【分析】（1）根据题意，可以把（a-2）或（b-2）看成整体计算出所求式子的值；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以求出所有a、b均为整数的积倍和数对．
解：（1）将（a-2）看成一个整体：
（a-2）（b-2）
=（a-2）b-（a-2）×2
=ab-2b-2a+4；
将（b-2）看成一个整体：
（a-2）（b-2）
=a（b-2）-2（b-2）
=ab-2a-2b+4；
（2）∵ab=2（a+b）
∴（a-2）（b-2）=4
∵a、b均为整数，
∴a-2=1，-1，2，-2，4，-4
b-2=4，-4，2，-2，1，-1
∴（a、b）=（3、6）；（1、-2）；（4、4）；（0、0）；（6、3）；（-2、1）．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
24．【考点】因式分解的应用
【分析】（1）按照定义求解即可；
（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，表示出至善数和明德数，作差可证明；
（3）分明德数各位数字与5的和大于10和小于10两种可能来考虑，根据“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半列式求解．
解：（1）26的至善数是中间加5，故为256，明德数是加5，故为31，
故答案为：256，31；
（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数是100a+50+b，明德数是10a+b+5，
∵100a+50+b﹣（10a+b+5）
＝90a+45
＝45（2a+1）
∴“至善数”与“明德数”之差能被45整除；
（3）设B的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数位数字之和是a+5+b，明德数位数字之和是a+b+5或a+1+（5+b﹣10）＝a+b﹣4，
当a+5+b＝2（a+b+5）时，b＜5，
a+b＝﹣5，
不符合题意；
当a+5+b＝2（a+b﹣4）时，b≥5，
a+b＝13，
所以a＝4，b＝9或a＝5，b＝8或a＝6，b＝7，或a＝7，b＝6或a＝8，b＝5，
∴B是49，58，67，76或85.
故答案为：（1）256，31；（2）见解析；（3）49，58，67，76或85.
【点睛】本题考查因式分解的应用，根据题意表示出A、B两数的“明德数”、“至善数”及其变化是解题的关键．
25．【考点】因式分解的应用
【分析】（1）根据分解因式的定义，假设未知数，进行求解；
（2）同上一问，假设未知数，进行求解；然后对体积的表达式进行因式分解，得到乙容器的高；
解：（1）设原式分解后的另一个因式为x+n，则有：
x2+2x﹣m
＝（x+4）（x+n）
＝x2+（4+n）x+4n
∴4+n＝2可得n＝﹣2
4n＝﹣m可得m＝8
综上所述：m＝8
（2）①设甲容器的高为x2+mx﹣3，则有：（x﹣1）（x﹣2）（x2+mx﹣3）＝x4﹣x3+ax2+bx﹣6
∴x?（﹣2）?x2+（﹣1）?x?x2+x?x?mx＝﹣2x3﹣x3+mx3＝（m﹣3）x3＝﹣x3
从而得m﹣3＝﹣1
m＝2
原甲容器的体积＝（x﹣1）（x﹣2）（x2+2x﹣3）＝x4﹣x3﹣9x2+13x﹣6
从而得a＝﹣9，b＝13
②由乙容器的底面为正方形可得：
x4﹣x3﹣9x2+13x﹣6
＝（x﹣1）（x﹣2）（x2+2x﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）（x﹣1）
＝（x﹣1）2（x2+x﹣6）
故答案为：甲容器的高为x2+2x﹣3，乙容器的高为x2+x﹣6
【点睛】该题通过设置未知数，运用多项式乘多项式的方法求解未知数的值．
26．【考点】因式分解的应用
【分析】(1)运用完全平方公式将 =0 ，变形为，，即可得结论；(2)首先将，，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可；(3)先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
解：，
故答案为：；
，
，
，，
；
为等边三角形理由如下：
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．