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9.2.2实际问题与一元一次不等式
学习目标：
1、掌握解一元一次不等式应用题的步骤
2、学会分析问题，善于找出题中的不等关系
学习重点：寻找数量关系
学习难点：列一元一次不等式解决实际问题、求出符合问题的正确解
学习过程：
一、新知引入
同学们，考考你：你能回答下列问题吗？
1、一元一次不等式的解法：
2、解不等式的一般步骤为：
3、列方程解应用题步骤：
二、新知讲解
知识点1 不等号的使用
考考你 列不等式（只列不解）
1、某商品的单价为a 元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则
2、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
知识点2 实际问题的正确解
例1、去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数比达60%,如果到明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
分析:
气质量良好的天数：________________________________
用x表示明年增加的空气质量良好的天数,明年空气质量良好的天数是：________________
与x有关的哪个式子的值应超过70﹪?_________________
解得：________________
因为天数应该是整数，所以_____________
答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加_________________，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70% .
巩固练习：
1、用不等式表示：
1)7与x的3倍的差是正数。
2)m的相反数与n的3倍的和不小于2。
3)a与b的积不可能大于5。
4)x与y的和的平方至多为9。
2、x取什么值时，式子2x-5的值
（1）大于0？ （2）不大于0？
3、一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都要得到一张照片，每人分担的钱不能超过0.5元。那么参加合影的同学至少有几人？
4、某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”。求这个班共有多少名学生？
5、某市自来水公司按如下标准收费：用户每月用水在5立方米之内的，按每立方米1.5元收费；超出5立方米的部分，每立方米收费2元。小明家某月的水费超过了15元，那么他家这个月的用水量至少是多少？（取整数）
例2、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
这个问题较复杂，从何处入手考虑它呢？
甲商店优惠方案的起点为购物款达＿＿＿元后；
乙商店优惠方案的起点为购物款过＿＿＿元后.
我们是否应分情况考虑？可以怎样分情况呢？
（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？
（2）如果累计购物超过50元而不超过100元，则在哪家商店购物花费小？为什么？
（3）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？
阅读课本回答问题：（1）找出例题中反映不等关系的语句；
（2）本题中的不等关系是： ;
（3）若设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天，根据不等关系列不等式为：
________________________________________
(4)解不等式：
（5）根据实际意义，x为正整数，则此不等式的解集为：__________________,并回答问题。
三、巩固练习
1、某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整,该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年可创产值a元,现欲从中分流出x人去从事服务性行业。假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创产值可增加20%，而从事服务性行业人员平均每人全年可创产值3.5a元。
(1) 如果保证分流后,该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，则最多能分流多少人从事服务性行业?
(2)如果使服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业全年总产值的一半，则至少应分流多少人从事服务性行业?
(3)如果要同时满足(1)(2)两方面的要求，则应分流多少人从事服务性行业?
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
年消耗费(万元/台) 1 1
该企业有几种购买方案？
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
（3）根据（2）知，企业购买污水处理设备A型1台，B型9台时费用最低，其10年间自己处理污水的费用可节约多少万元？
四、课堂小结
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
―→―→
五、布置作业
教材126页5、6、7题
当堂测评
1.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的记录，则他第7次射击不能少于( )
A.6环 B.7环 C.8环 D.9环
2.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg.毎捆材料重20 kg.电梯最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多能搭载__________捆材料.
3.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__________cm.
4.某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错(或不答)一题记-5分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对几道题？
5.在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域？
6.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个,付款总额不得超过11 815元.已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表,试解答下列问题：
品名 厂家批发价(元/个) 商场零售价(元/个)
篮球 130 160
排球 100 120
(1)该采购员最多可购进篮球多少个？
(2)若该商场把这100个球全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于2 580元,则采购员至少要购篮球多少个？该商场最多可盈利多少元？
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9.2.2实际问题与一元一次不等式
教学目标：
1、掌握解一元一次不等式应用题的步骤
2、学会分析问题，善于找出题中的不等关系
教学重点：寻找数量关系
教学难点：列一元一次不等式解决实际问题、求出符合问题的正确解
教学过程：
一、新知引入
同学们，考考你：你能回答下列问题吗？
1、一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式，根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a（或x
2、解不等式的一般步骤为：
去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（注意不等号的改变问题）
3、列方程解应用题步骤：
审、设、列、解、答
利用不等式解决实际问题，是否也和利用方程解应用题相类似呢？本节课我们一起探讨！
二、新知讲解
知识点1 不等号的使用
考考你 列不等式（只列不解）
1、某商品的单价为a 元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则
50a≤342
2、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
解：设定价至少为x元;(x-120) ×15≥1000
●注意：像字眼中的不高于、不低于等等都可以用不等号表示，但是注意其中的符号≦、≧的使用.
知识点2 实际问题的正确解
例1、去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数比达60%,如果到明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
分析:
气质量良好的天数：________________________________
用x表示明年增加的空气质量良好的天数,明年空气质量良好的天数是：________________
与x有关的哪个式子的值应超过70﹪?_________________
解得：________________
因为天数应该是整数，所以_____________
答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加_________________，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70% .
●小结：注意哦！实际问题需要有实际意义。题干中至少、超过等等都是列不等式的关键字眼。
巩固练习：
1、用不等式表示：
1)7与x的3倍的差是正数。 答案： 7-3x＞0
2)m的相反数与n的3倍的和不小于2。 答案： -m+3n≥2
3)a与b的积不可能大于5。 答案：ab≤5
4)x与y的和的平方至多为9。 答案：(x+y)2≤9
2、x取什么值时，式子2x-5的值
（1）大于0？ （2）不大于0？
2x-5＞0 2x-5≤0
X＞2.5 X≤2.5
3、一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都要得到一张照片，每人分担的钱不能超过0.5元。那么参加合影的同学至少有几人？
解：设参加合影的人数有x人。
0.6+0.4x≤0.5x
解得：x≥6
答：参加合影的至少有6人。
4、某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”。求这个班共有多少名学生？
解：设这个班有学生x名。根据题意，得：
解得：x＜56
∵是正整数
∴ x是2、4、7的最小公倍数
∴ x＝28
●小结：在解不等式的实际问题时需要根据实际意义：取整数，才能得到最后的解
5、某市自来水公司按如下标准收费：用户每月用水在5立方米之内的，按每立方米1.5元收费；超出5立方米的部分，每立方米收费2元。小明家某月的水费超过了15元，那么他家这个月的用水量至少是多少？（取整数）
解：设小明家这个月的用水量为x立方米。
1.5 ×5＋2（x－5）>15
解得：x >8.75
因为x取整数
所以x ≥ 9
答：小明家这个月的用水量至少为9立方米。
●方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用，根据费用之间的关系建立不等式求解即可．在解不等式的实际问题时需要根据实际意义：去尾法取整数。
例2、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
这个问题较复杂，从何处入手考虑它呢？
甲商店优惠方案的起点为购物款达＿＿＿元后；
乙商店优惠方案的起点为购物款过＿＿＿元后.
我们是否应分情况考虑？可以怎样分情况呢？
（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？
（2）如果累计购物超过50元而不超过100元，则在哪家商店购物花费小？为什么？
（3）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？
阅读课本回答问题：（1）找出例题中反映不等关系的语句；
（2）本题中的不等关系是： ;
（3）若设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天，根据不等关系列不等式为：
________________________________________
(4)解不等式：
（5）根据实际意义，x为正整数，则此不等式的解集为：__________________,并回答问题。
三、巩固练习
1、某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整,该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年可创产值a元,现欲从中分流出x人去从事服务性行业。假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创产值可增加20%，而从事服务性行业人员平均每人全年可创产值3.5a元。
(1) 如果保证分流后,该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，则最多能分流多少人从事服务性行业?
解: 由题意得: (100-x)(1+20%)a≥100a
解得: x≦
答: 最多能分流16人从事服务性行业
(2)如果使服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业全年总产值的一半，则至少应分流多少人从事服务性行业?
解: 由题意得: 3.5ax≥50a
解得: x≧14
答: 至少应分流15人从事服务性行业。
(3)如果要同时满足(1)(2)两方面的要求，则应分流多少人从事服务性行业?
解: 因为(1)的满足条件为x≤ ,(2)的满足条件为x≥14，所以满足(1)(2)两方面要求是15人、16人。
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
年消耗费(万元/台) 1 1
(1)该企业有几种购买方案？
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
（3）根据（2）知，企业购买污水处理设备A型1台，B型9台时费用最低，其10年间自己处理污水的费用可节约多少万元？
解析：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；(2)根据题表信息列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．
解：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台．由题意得
12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5.
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2.
有三种购买方案：购A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台；
(2)由题意得240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，
所以x为1或2.
当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；
当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)．
为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
若10年间自己处理污水的费用：102+10×10=202万元
若将污水排到污水厂处理，则需要用：10×12×2040×10=2448000=244.8万元
则节约资金244.8-202=42.8万元。
方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较，找出最大或最小
四、课堂小结
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
―→―→
五、布置作业
教材126页5、6、7题
当堂测评
1.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的记录，则他第7次射击不能少于( )
A.6环 B.7环 C.8环 D.9环
2.有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg.毎捆材料重20 kg.电梯最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多能搭载__________捆材料.
3.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__________cm.
4.某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错(或不答)一题记-5分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对几道题？
5.在一次爆破中，用一条1m长的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域？
6.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个,付款总额不得超过11 815元.已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表,试解答下列问题：
品名 厂家批发价(元/个) 商场零售价(元/个)
篮球 130 160
排球 100 120
(1)该采购员最多可购进篮球多少个？
(2)若该商场把这100个球全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于2 580元,则采购员至少要购篮球多少个？该商场最多可盈利多少元？
当堂测评答案
1.C 2.42 3.78
4.设要答对x道题.依题意，得
10x+(-5)×(20-x)>100.解得x>13.
由x应为非负整数，得x≥14.
答：他至少要答对14道题.
5.解析：本题首先依题意可得出不等关系即引爆员所跑路程大于等于600米，然后列出不等式为x≥600，解出不等式即可．
解：设以每秒xm的速度能跑到600m以外(包括600m)的安全区域.0.5cm/s＝0.005m/s，
依题意可得x≥600，
解得x≥3.
答：引爆员点着导火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外(包括600m)的安全区域．
6.（1）设采购员最多可购进篮球x个，则排球是（100-x）个，依题意，得
130x+100（100-x）≤11 815.解得x≤60.5.
∵x是整数，∴x最大取60.
答：该采购员最多可购进篮球60个.
（2）设篮球x个,则排球是(100-x)个,则
(160-130)x+(120-100)(100-x)≥2 580.解得x≥58.
又由第(1)问得x≤60.5，
所以正整数x的取值为58，59,60.
即采购员至少要购篮球58个.
∵篮球的利润大于排球的利润,因此这100个球中,当篮球最多时,商场可盈利最多,
故篮球60个,排球40个,此时商场可盈利(160-130)×60+(120-100)×40=1 800+800=2 600(元)，
即该商场最多可盈利2 600元.
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9.2.2实际问题与一元一次不等式
人教版 七年级下
新知导入
你记得一元一次不等式的解法吗？
1、解一元一次不等式，根据不等式的性质，将不等式逐步化
为x>a（或x 2、一般步骤为：
去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（注意不等号的改变问题）
新知导入
列方程解应用题步骤：
1、审
2、设
3、列
4、解
5、答
新知讲解
2、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
(x-120) ×15≥1000
1、某商品的单价为a 元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则
50a≤342
解：设定价至少为x元
注意：像字眼中的不高于、不低于等等都可以用不等号表示，但是注意其中的符号≦、≧的使用
知识点1 不等号的使用
例题讲解
例1、去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数比达60%,如果到明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
分析:
与x有关的哪个式子的值应超过70﹪?
气质量良好的天数：
用x表示明年增加的空气质量良好的天数,明年空气质量良好的天数是：
365×0.60
365×0.60+x
知识点2 实际问题的正确解
例题讲解
解得：x>36.5
因为天数应该是整数，所以x ≥37
答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70% .
注意哦！实际问题需要有实际意义
巩固练习
2、x取什么值时，式子2x-5的值
（1）大于0？ （2）不大于0？
1、用不等式表示：
1)7与x的3倍的差是正数。
2)m的相反数与n的3倍的和不小于2。
3)a与b的积不可能大于5。
4)x与y的和的平方至多为9。
7-3x＞0
-m+3n≥2
ab≤5
(x+y)2≤9
2x-5＞0
X＞2.5
2x-5≤0
X≤2.5
巩固练习
3、一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都要得到一张照片，每人分担的钱不能超过0.5元。那么参加合影的同学至少有几人？
解：设参加合影的人数有x人。
0.6+0.4x≤0.5x
解得：x≥6
答：参加合影的至少有6人。
巩固练习
4、某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”。求这个班共有多少名学生？
解：设这个班有学生x名。根据题意，得：
解得：x＜56
是正整数
∴ x是2、4、7的最小公倍数
∴ x＝28
根据实际意义：取整数。
巩固练习
5、某市自来水公司按如下标准收费：用户每月用水在5立方米之内的，按每立方米1.5元收费；超出5立方米的部分，每立方米收费2元。小明家某月的水费超过了15元，那么他家这个月的用水量至少是多少？（取整数）
解：设小明家这个月的用水量为x立方米。
1.5 ×5＋2（x－5）>15
解得：x >8.75
因为x取整数
所以x ≥ 9
答：小明家这个月的用水量至少为9立方米。
根据实际意义：去尾法取整数。
例题讲解
3、如果累计购物超过100元;
（1）什么情况下，在甲商店花费小？
（2）什么情况下，在乙商店花费小？
（3）什么情况下，在两家商店购物花费一样？
在乙商店花费小。
又有三种情况:
例2、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品。并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
分三种情况分析:
1、如果累计购物不超过50元；
在两家商店购物花费时一样的。
2、如果累计购物超过50元但不超过100元时;
知识点3 方案分配问题
例题讲解
则在甲店的花费为
在乙商店的花费为
(1)如果在甲店花费小,则
解：设累计购物x元（x>100元）。
去括号,得:
移项,得:
合并,得:
系数化为1,得:
这就是说，累计购物超过150元时在甲店购物花费小。
(2)累计购物超过100元但小于150元时，在乙店购物花费小。
(3)累计购物刚好是150元时,在两家商店购物花费一样多.
巩固练习
1、某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整,该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年可创产值a元,现欲从中分流出x人去从事服务性行业。假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创产值可增加20%，而从事服务性行业人员平均每人全年可创产值3.5a元。
(1) 如果保证分流后,该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，则最多能分流多少人从事服务性行业?
解: 由题意得: (100-x)(1+20%)a≥100a
解得: x≤
答: 最多能分流16人从事服务性行业
巩固练习
(2)如果使服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业全年总产值的一半，则至少应分流多少人从事服务性行业?
解: 由题意得: 3.5ax≥50a ,
解得: x≥
答: 至少应分流15人从事服务性行业。
(3)如果要同时满足(1)(2)两方面的要求，则应分流多少人从事服务性行业?
解: 因为(1)的满足条件为x≤ ,(2)的满足条
件为x≥ ，所以满足(1)(2)两方面要求是15人、16人。
巩固练习
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元。
(1)经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。请你设计该企业有几种购买方案。
巩固练习
由题意得：
去括号，得：
当x=1时，购买资金为
当x=2时，购买资金为
因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台。
移项且合并得：
系数化为1，得：
(2)若企业每月生产的污水量为2040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B
两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价
格是每台10万元。
∴x为1或2。
巩固练习
（3）根据（2）知，企业购买污水处理设备A型1台，B型9台时费用最低，其10年间自己处理污水的费用可节约多少万元？
若将污水排到污水厂处理，则需要用
则节约资金244.8-202=42.8万元。
=244.8万元，
2、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B
两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价
格是每台10万元。
若10年间自己处理污水的费用：
课堂总结
实际问题
应用一元一次不等式解实际问题步骤：
作业布置
教材126页5、6、7题
谢谢
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