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三 直线的参数方程
考纲解读
考点 考纲要求 要求 题型
直线参数方程的概念 1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义． ii 解答题
用直线参数方程求弦长 2.能用直线的参数方程解决简单问题． i'i 解答题
知识梳理
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)．
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0.
2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
(1)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．
(2)当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
典例解析
考向一 直线参数方程的概念
[例1] 已知直线l过点P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的起点坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式(其中，t为参数)．
(1) (2)
考向二 用直线参数方程求弦长
[例2] 如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
考向三 直线参数方程的综合应用
[例3] 直线l通过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．
3．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
过关检测
1．直线(t为参数)的倾斜角为( )
A．70° B．20°
C．160° D．110°
2．直线(t为参数)与二次曲线交于A，B两点，A，B对应的参数值分别为t1，t2，则|AB|等于( )
A．|t1＋t2| B．|t1|＋|t2|
C．|t1－t2| D.
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解
4．直线(t为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
5．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
6．已知直线点M(3，a)在直线上，则点M到点(－，1)的距离为________．
7．直线(t为参数)上与点P(－2,4)距离等于4的点Q的坐标为________．
8．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.
9．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
10．已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
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三 直线的参数方程
考纲解读
考点 考纲要求 要求 题型
直线参数方程的概念 1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义． ii 解答题
用直线参数方程求弦长 2.能用直线的参数方程解决简单问题． i'i 解答题
知识梳理
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)．
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0.
2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
(1)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．
(2)当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
典例解析
考向一 直线参数方程的概念
[例1] 已知直线l过点P(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[解析] (1)直线l的参数方程为
(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)把代入x－y＋1＝0，
得3－t－4－t＋1＝0，解得t＝0.
把t＝0代入得两条直线的交点坐标为(3,4)．
怎样求参数方程
(1)由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程．
(2)只有直线的参数方程的标准形式，参数t才有我们学习过的几何意义，因此要使用这种几何意义解题时，必须用这种形式的参数方程．如果直线的参数方程不是标准形式，就要根据参数方程含有的点M0(x0，y0)及斜率k＝tan α，首先把参数方程写成标准形式，或者化为普通方程，用普通方程的方法求解．
1．下列参数方程中，哪些是直线的参数方程的标准形式？若是，求出直线经过的起点坐标和倾斜角，若不是，转化为标准形式(其中，t为参数)．
(1) (2)
解析：(1)不是直线参数方程的标准形式，参数方程即令t′＝5t，
得到标准形式的参数方程为(t′为参数)．
(2)是直线参数方程的标准形式，其中，起点坐标为，cos α＝，sin α＝，倾斜角α＝.
考向二 用直线参数方程求弦长
[例2] 如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
[解析] (1) ∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，cos α＝，sin α＝，
∴直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)．(*)
∵直线l和抛物线相交，
∴将直线l的参数方程(*)代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.
设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
|PM|＝＝.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝＝.
在求直线l与曲线C：f(x，y)＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程代入f(x，y)＝0，可以得到一个关于t的方程f(x0＋tcos α，y0＋tsin α)＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.这样的求法比用普通方程的方法要简便．
2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)交于A、B两点，求|AB|的长．
解析：若求|AB|的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数方程化为普通方程．由圆的参数方程(θ为参数)知圆的普通方程为x2＋y2＝9，所以将直线方程(t为参数)代入圆方程，得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，即5t2＋8t－4＝0，所以由t1＋t2＝－，t1t2＝－知|AB|＝|t1－t2|＝＝ ＝.
考向三 直线参数方程的综合应用
[例3] 直线l通过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．
[解析] 如图所示，据已知有右焦点F2(，0)．
设l：(t为参数)，
代入－y2＝1，化简得
(5cos2θ－4)t2＋2tcos θ＋1＝0.
Δ＝(2cos θ)2－4×(5cos2θ－4)×1>0，
设这个方程的两个根为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝，
则|t1－t2|＝＝，
|t1t2|＝.
由双曲线定义知：|F1A|－|F2A|＝4?|F1A|＝4＋|F2A|.
同理：|F1B|＝4＋|F2B|.
∴|F1A|·|F1B|＝(4＋|F2A|)(4＋|F2B|)
＝16＋4(|F2A|＋|F2B|)＋|F2A|·|F2B|
＝16＋4|t1－t2|＋|t1t2|＝16＋
≥16＋＝(θ＝时，等号成立)．
∴|F1A|·|F1B|的最小值为.
1．过定点的直线由倾斜角θ确定方向，本题中直线不确定，从而目标|F1A|·|F1B|要化为θ的目标函数．
2．由于A(t1)，B(t2)中参数t1，t2表示的是有向线段F2A与F2B的数量，所以|F1A|＝|t1|，|F2A|＝|t2|，本题中点F2在A、B之间，故|F2A|＋|F2B|＝|AB|＝|t1－t2|.如果点F1在A，B两点同侧，则F1A与F2B的参数t1，t2同号，|F1A|＋|F2B|＝|t1＋t2|≠|t1－t2|.
3．直线的参数方程中，F1A与|F1A|的含义是不同的，要注意区分．
3．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
解析：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得
(1＋t)2＋＝1，即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝.
过关检测
1．直线(t为参数)的倾斜角为( )
A．70° B．20°
C．160° D．110°
解析：将直线参数方程化为标准形式：
(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
答案：B
2．直线(t为参数)与二次曲线交于A，B两点，A，B对应的参数值分别为t1，t2，则|AB|等于( )
A．|t1＋t2| B．|t1|＋|t2|
C．|t1－t2| D.
解析：由参数t的几何意义可知，|AB|＝|t1－t2|，故选C.
答案：C
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：直线参数方程一般式(t为参数)，
表示直线过点M0(x0，y0)，斜率k＝，
故k＝＝－1.故选B.
答案：B
4．直线(t为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
解析：直线(t为参数)的普通方程为3x＋4y＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝1＝r，所以直线与圆的位置关系为相切．
答案：B
5．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
解析：2＋2＝16，
得t2－8t＋12＝0，
t1＋t2＝8，＝4.
因此中点为∴
答案：D
6．已知直线点M(3，a)在直线上，则点M到点(－，1)的距离为________．
解析：令3＝－＋tcos 45°，
解得t＝8.
由t的几何意义得点M(3，a)到点(－，1)的距离为8.
答案：8
7．直线(t为参数)上与点P(－2,4)距离等于4的点Q的坐标为________．
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由t的几何意义可知|PQ|＝|t|＝4，∴t＝±4，
当t＝4时，
当t＝－4时，
答案：(－4,4＋2)或(0,4－2)
8．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.
解析：由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，
得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1)，根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
答案：6(＋1)
9．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解析：∵直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，
∴直线参数方程为(t为参数)，
代入3x＋2y＝6得9＋t＋8＋t＝6，t＝－，
∴M与P0之间的距离为.
10．已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
解析：将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9，
整理，得t′2＋8t′－4＝0.
设方程的两根分别为t1′、t2′，则有
t1′＋t2′＝－，t1′·t2′＝－4.
所以|t1′－t2′|＝
＝ ＝，
即直线被圆截得的弦长为.
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