19.3.3菱形的性质与判定 同步练习
一.选择题
1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角相等
2. 若菱形的两条对角线分别为8， 6，则菱形的面积为，（ ）
A. 48 B.24 C.14 D.12
3. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，则OA的长等于（ ）
A.2 B.3.5 C.7 D.14
4. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A. 正方形 B. 矩形 C.菱形 D. 都有可能
5. 如图要判定□ABCD是菱形，需要添加的条件是（ ）
A. AB=AC B. BC=BD C.AC=BD D. AB=BC
二.填空题
1. 如图已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长12，则图中阴影部分的面积为 .
2. 如图，在菱形OA BC中，点B在x轴上，点A的坐标为(3,5)，则点C的坐标为 .
3. 如图，小明在做线段AB的垂直平分线时，操作如下: 分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于CD，则直线CD即为所求，根据它的作图方法可知四边形ADBC一定是 .
4. 如图等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB 、BC、CA边上的中点这图中有 个菱形.
三.解答题
1. 如图在菱形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上且CE=CF连接AE、AF，求证：∠BAE=∠DAF.
2. 如图，∠ABC=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，
(1)证明：四边形CFAE是菱形，
(2)连接EF交AC于点O，若BC=，求线段OF的长.
3. 如图，在四边形中，对角线相交于点，且，过点作，分别交于点.
(1)求证: ;
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
4.
参考答案
一.1.A 2.B 3.B 4.C 5.D
二.1.48
2.(3,-5)
3. 菱形
4.3
三
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD, ∠B=∠D
∵CE=CF
∴BE=DF
在△ABO和△DCO中，
AB=AD,∠B=∠D, BE=DF,
∴△ABE≌△ADF
∴∠BAE=∠DAF
(1)证明：∵∠ABC=90°，点E是AB边的中点，
∴22CE=AB=2EA
∵点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE=AF,CE=CF
∴CE=EA=AF=CF
∴四边形CFAE是菱形，
(2) ∵四边形CFAE是菱形，
∴OA=OC,CE=CF
∴
∴.
3. （1）∵OA=OC、OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形.
课件34张PPT。19.3.3菱形的性质与判定沪科版 八年级下新知导入图片中框出的图形是你熟悉的吗？新知导入图片中出现的图形是一种特殊的平行四边形，它叫菱形，那么什么是菱形呢？.新知导入矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角新知导入如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形平行四边形不一定是菱形.新知讲解 由菱形的定义易知菱形与平行四边形间关系是 .特殊与一般的关系菱形平行四边形菱形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、对角线还具有哪些特殊性质呢？新知讲解动手操作：将一张长方形的纸片按如图所示的方法进行对折、再对折，然后沿虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上
有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角. 新知讲解已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.新知讲解（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.新知讲解(1) 菱形的四条边都相等. (2) 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 菱形特有的性质:符号语言:
∵四边形abcd是菱形，
∴AB=BC=CD=AD
AC ⊥ BD
∠ABD=∠CBD =∠ADB=∠CDB，
∠BAC=∠DAC =∠BCA=∠CDA.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.新知讲解新知讲解例1 已知菱形的两条对角线长分别为a，b， 求菱形的面积．
(1)用含a，b的代数式表示菱形ABCD的面积S；
(2)若a=6㎝，b=8㎝，求它的面积和周长．解： (1)如图，设菱形的两条对角线AC，BD相交于点O ，AC=a，BD=b．∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD( )菱形的对角线互相垂直∴S菱形ABCD =S△ABD +S△CBD 能用文字叙述这个结论吗？菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半新知讲解解：由(1)易求面积S= ×6×8=24
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得新知讲解根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思考 还有其他的判定方法吗？新知讲解猜想：四边都相等的四边形是菱形 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.CABD想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 新知讲解证明：∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是菱形.菱形的判定定理1：（邻边相等的平行四边形是菱形）新知讲解命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：∴ □ ABCD是菱形又∵ AC ⊥ BD;∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO∴DA=DCO新知讲解新知讲解菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；AC⊥BD
□ABCD四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）新知讲解新知讲解例2 如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AB=5.
求AD的长.∴四边形ABCD是菱形，AD=AB=5.∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=4,OB=3,证明：即AC⊥BD，∵AB=5,满足AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，新知讲解例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．新知讲解菱形常用的判定方法：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、有四条边相等的四边形是菱形.4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.新知讲解课堂练习1．菱形的一条对角线长等于边长，则菱形的两邻角的度数是__________60°和120°2．菱形的边长是13cm，它的一条对角线BD=10cm, 对角线AC= cm，菱形的面积是= .24120cm2课堂练习3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD B课堂练习4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60° B解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ABED为平行四边形.
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．中考链接1.(2018十堰) 菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断；中考链接1.(2018十堰) 菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【解答】菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，
故选：B．B中考链接2.（2018舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（??）【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．中考链接【解答】A、作图根据由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；?
B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；?
D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；?
故选：C．课堂总结今天你学到了什么 一个定义：四个判定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半特在“边、对角线、轴对称”两个公式：三个特性：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、有四条边相等的四边形是菱形.4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.板书设计一个定义：四个判定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半特在“边、对角线、轴对称”两个公式：三个特性：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、有四条边相等的四边形是菱形.4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.作业布置 1．必做题：课本 P97习题19.3第6、7、8题.
2．选做题： 课本P98习题19.3第9题.
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沪科版数学八年级下册19.3.3菱形的性质与判定 教学设计
课题
19.3.3菱形的性质与判定
单元
第19章第8节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
1。理解菱形概念及它与平行四边形之间的关系；?
2．会用菱形的性质进行运算或者证明.?
3．掌握菱形的判定定理及其证明方法，并能利用判定定理解决一些简单的问题?
【过程与方法】?
1.经历菱形的性质的探索与获得过程，发展学生的逻辑推理能力，进一步提高由已有知识获取新知的能力，理解特殊与一般的关系.?
通过对菱形的性质的探索，促进学生学会交流、学会倾听、学会合作.?
2.通过对性质的探索，学会类比的方法.发展观察、类比等能力，发展有条理的思考能力.
3.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力和初步的演绎推理能力
【情感态度与价值观】
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“实验—猜想—证明—应用”的数学活动提升数学素养
重点
菱形的性质的理解
菱形判定定理的证明和应用.
难点
综合应用菱形的性质和判定证明和解决有关问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，这节课我们继续学习新课，请观察下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
师：图片中出现的图形是一种特殊的平行四边形，它叫菱形，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.
认真观察，仔细思考，回顾，已学知识，回答问题，
创设情景，导入新课，
讲授新课
师：前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
师：类比矩形,如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形
2. 概念辨析:平行四边形不一定是菱形
由菱形的定义易知菱形与平行四边形间关系是特殊与一般的关系. 但是不能说平行四边形不一定是菱形
师：同学们请思考一下，菱形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、对角线还具有哪些特殊性质呢？
师：将一张长方形的纸片按如图所示的方法进行对折、再对折，然后沿虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
师：同学们可以猜想一下，
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
师：下面我们来验证一下猜想，
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
小结：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
师：那么如何来判断一个四边形是菱形的？根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
师：请同学们思考一下，还有其他的判定方法吗？
猜想：四边都相等的四边形是菱形
师：下面是小刚同学的作图，分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
师：想一想，根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
证明：∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
师：菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形
（邻边相等的平行四边形是菱形）
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
师：那么从对角线上能不能判定菱形呢？
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO
又∵ AC ⊥ BD;
∴DA=DC
∴ □ ABCD是菱形
师：由此我们可以得到，菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
用几何语言可以表示为，
∵AC⊥BD，□ABCD
∴四边形ABCD是菱形
师：到此我们重新认识了菱形，并了解了菱形的性质及其判定方法，下面我们通过几道例题来看一下它的应用，
例1 已知菱形的两条对角线长分别为a，b， 求菱形的面积．
(1)用含a，b的代数式表示菱形ABCD的面积S；
(2)若a=6㎝，b=8㎝，求它的面积和周长．
例2 如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AB=5.
求AD的长.
例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
在老师的引导下，认真思考，积极探索菱形概念
积极思考，认真猜想，探索验证菱形的性质，
通过逆命题，探索菱形的判定方法，
在老师的引导下，初步应用所学的新知，
培养学生独立学习能力，探究能力，
培养学生猜想探索的能力，
培养学生逆向思维的能力，
巩固新知应用知识，
课堂练习
1．菱形的一条对角线长等于边长，则菱形的两邻角的度数是__________
2．菱形的边长是13cm，它的一条对角线BD=10cm, 对角线AC= cm，菱形的面积是= .
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB∥CD
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
组内合作，独立探究，积极展示，
进一步巩固新知，
中考链接
1.(2018十堰) 菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2.（2018舟山）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（??）
积极思考，认真发言，
提升知识的应用能力，
课堂小结
今天你学到了什么
一个定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
两个公式：
S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
三个特性：
特在“边、对角线、轴对称”
四个判定：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、有四条边相等的四边形是菱形.
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
梳理回顾所学知识，
培养学生的总结能力，
板书
一个定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
两个公式：
S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
三个特性：
特在“边、对角线、轴对称”
四个判定：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、有四条边相等的四边形是菱形.
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
认真笔记，
为学生留下思维的线索，
