2019版三维方案数学同步人教A版选修4-5 第一讲 一 3．三个正数的算术—几何平均不等式

3．三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理3
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
(1)不等式≥成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c.
(2)定理3可变形为：①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc.
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．
2．定理3的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
用平均不等式证明不等式
　　[例1]　设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)2≥27.
[思路点拨]　本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．
[证明]　∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3>0，
从而(a＋b＋c)2≥9>0，
又＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)2
≥3·9＝27.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
证明不等式的方法与技巧
(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．
若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．
1．设a，b，c∈R＋，求证(a＋b＋c)≥9.
证明：∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，
＋＋≥3.
∴(a＋b＋c)≥9，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：
(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.
同理2＋aj≥3
(j＝2,3，…，n)．
将上述各不等式的两边分别相乘即得
(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)
≥(3)(3)…(3)
＝3n·.
∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.
用平均不等式求最值
[例2]　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．
(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．
[思路点拨]　(1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；
(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．
[解]　(1)∵1∴3－2x>0，x－1>0.
y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3
＝3＝，
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时等号成立，即ymax＝.
(2)∵x＞1，
∴x－1>0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3＋1＝4，
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，
即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
3．设x>0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　)
A．4－　　　　　
B．4－
C．不存在
D.
解析：选D　∵x>0，∴f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝4－＝，当且仅当＝＝，即x＝1时等号成立，故f(x)的最大值为.
4．已知a>b>c，求a－c－的最小值．
解：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，
则a－c－
＝(a－b)＋(b－c)＋
≥3
＝3，
当且仅当a－b＝b－c＝时等号成立，
所以当a－b＝b－c＝时，
a－c－取得最小值3.
用平均不等式解应用题
　　[例3]　如图所示，在一张半径是2
m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.
这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
[思路点拨]　
→
→
→→
[解]　∵r＝，
∴E＝k·.
∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝.
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan
θ＝.
∴h＝2tan
θ＝，
即h＝时，E最大．
本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．
5．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得＝，
∴r＝(H－h)．
∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0根据平均不等式可得
V圆柱＝···h≤3
＝πR2H.当且仅当＝h，
即h＝H时，max＝πR2H.
1．设x>0，则y＝x＋的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．3
解析：选D　y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，当且仅当＝，即x＝2时取“＝”号．
2．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg
x＋lg
y＋lg
z的取值范围是(　　)
A．(－∞，lg
6]
B．(－∞，3lg
2]
C．[lg
6，＋∞)
D．[3lg
2，＋∞)
解析：选B　∵lg
x＋lg
y＋lg
z＝lg(xyz)，
而xyz≤3，∴lg(xyz)≤lg
8＝3lg
2，
当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．
3．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3
＝3
＝3，当且仅当xy＝x2，x2y＝2，
即x＝1，y＝2时取“＝”号．
故xy＋x2的最小值为3.
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝
，则x，y，z的大小关系是(　　)
A．x≤y≤z
B．y≤x≤z
C．y≤z≤x
D．z≤y≤x
解析：选B　∵a，b，c∈R＋，∴≥，
∴x≥y，又x2＝，
z2＝，
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.
5．设0________.
解析：∵00.
故
≤＝.
∴x(1－x)2≤，当且仅当x＝时取等号．
答案：
6．设x，y，z均大于0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为________．
解析：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6.
∴x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z时取“＝”号．
∴x2z3z的最大值为1.
答案：1
7．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到该三角形三边距离乘积的最大值是________．
解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.
则S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，
∴这个直角三角形的面积S＝×3×4＝6.
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.
∴3≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝.
当且仅当x＝，y＝1，z＝时等号成立．
答案：
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)≥.
证明：∵a，b，c∈R＋，
∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
3>0.
＋＋≥3
＞0，
∴(a＋b＋c)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
9．若θ为锐角，求y＝sin
θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ
＝·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)
≤×3＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，
即sin
θ＝时取等号．
此时ymax＝.
10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．
解：设船速为v千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有A＝k·v3，且有30＝k·103，∴k＝.
∴A＝v3.
设每千米的航行费用为R，则需时间为小时，
∴R＝＝v2＋＝v2＋＋≥3＝36.
当且仅当v2＝，
即v＝20时取最小值．
∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．