江西省上饶市山江湖”协作体2018-2019高二下学期第一次月考数学（理）试卷

“山江湖”协作体2018-2019学年度第二学期高二年级第一次月考
数学试题（理）
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数y＝sin2x的导数为（ ）
A.＝2cos2x B. ＝（sin2x+2cos2x）
C. ＝2（sin2x+cos2x） D.＝（2sin2x+cos2x）
3、等比数列中，前三项和为，则公比的值是（ ）
A. B. C.或 D.或
4．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x) （ ）
A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值
C．在x＝2处取极大值 D．在(4，＋∞)上为减少的
5．直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）
A． B． C． 4 D．
6．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
7.函数的部分图象大致为（ ）
8.已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）
A. 120 B. 140 C. 135 D. 100
9．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A． B． C． D．
10．已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义域为的奇函数的导函数，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若有且只有两个整数， 使得，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
填空题（每小5分，满分20分）
13．________________．
14．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则函数y＝f(x)的解析式为__________．
15.已知直线与曲线相切，则实数的值为________________．
16．已知函数的两个极值点分别为，且，若存在点在函数的图象上，则实数的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分)
17．（本小题满分10分）
实数m取什么值时，复数是：①纯虚数；②实数；
18，计算下列定积分（本小题满分12分）
（1） （2） （3）
19．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
20、(本题共12分)
如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设，将表示为的函数；
②设（），将表示为的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．
21. （本小题满分12分）
已知函数 (为实常数) ．
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；
（2）当时，讨论方程根的个数．
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点x1，x2，求的取值范围，并证明．
“山江湖”协作体2018-2019学年度第二学期高二年级第一次月考数学参考答案（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
D
C
A
C
C
D
C
A
D
填空题（每小5分，满分20分）
13． 1 14 f(x)＝x2＋2x＋1 15.1+ln2 16．(1，3)或（1三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．解（1）m=0或m=2 …………5分 （2）m=-3…………10分
18，解(1) e……4分 (2) ＋……8分 (3)…………12分
19.解：（1）∵f’(x）=（x3+x﹣16）'=3x2+1，
∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，
∴切线的方程为y=13x﹣32．…………5分
（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x02+1，
∴直线l的方程为y=（3x02+1）（x﹣x0）+x03+x0﹣16．
又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x02+1）（﹣x0）+x03+x0﹣16，
整理，得x03=﹣8，∴x0=﹣2，∴y0=（﹣2）3+（﹣2）﹣16=﹣26，直线l的斜率k=3×（﹣2）2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（﹣2，﹣26）…………12分
20、解：（1）①，，
，（）…………4分
②，，
，（）………8分
（2）选用：，，
令，则
(2)选用：令，
，令，则，即
（对直接求导求解也得分，）
答：圆柱形罐子的最大体积为．…………12分
21.（1），当时，．当时，又，故，当时，取等号…………3分
（2）易知，故，方程根的个数等价于时，
方程根的个数。 设=，
当时，，函数递减，当时，，函数递增。又，，作出与直线的图像，由图像知：
当时，即时，方程有2个相异的根；
当 或时，方程有1个根；
当时，方程有0个根；……………8分
（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于
即，故原题等价于函数在时是减函数, 恒成立，即在时恒成立。
在时是减函数 ……………11分
又a>0 所以a不存在……12分
22.【解答】解：（1）由，得，
当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，
故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．…3分
（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于， 则f（x）仅有一个零点．
当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．
当a＜﹣1时，若；若；
若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，
在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个 零点．
综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．………7分
两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．
欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2） =0即可．
，
又，
所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，
令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），
则，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，
所以x1+x2＞2．………（12分）