19.3.4正方形 同步练习
一.选择题
1. 正方形具有而菱形不一定具有的特征有（ ）
A. 对角线互相垂直平分 B. 内角和为360度
C. 对角线相等， D. 对角线平分内角
2. 正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A. 6 B. C.9 D.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4. 已知如图四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当AB=BC时，它是菱形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC=90°时，它是矩形 D. 当AC=BD时，它是正方形
5. 如图在菱形ABCD中对角线AC BD交于点O，添加下列一个条件能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A. BD=AB B. AC=AD C. ∠ABC=90° D. OD=AC
二.填空题
1. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 .
2. 直线L过正方形ABCD的顶点A，点B、C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为 .
3. 如图在矩形ABCD中，表现AC， BD交于点O，请添加一个条件 ，使得矩形ABCD是正方形(填一个即可).
4. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，如果∠BAC=90°，则四边形AEDF是 形.
三.解答题
1. 如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证: ∠ABP＝∠ADP
2. 如图，等边△AEF的顶点E、F在矩形ABCD的边BC、 CD上，且∠CEF=45°，求证:矩形ABC D是正方形.
3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，∠D=45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD=a，
(1) 求证:四边形ABCF是正方形;
(2)求BG的长
参考答案
一.1.C 2.B 3.B 4.D 5.C
二.1.3
2.
3.AD=BC(不唯一)
4. 正方形
三
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD, ∠BAP=∠DAP
在△ABP和△ADP中，
AB=AD, ∠BAP=∠DAP,AP=DP
∴△ABP≌△ADP(SAS)
∴∠ABP＝∠ADP
证明:∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF, ∠AEF=∠AFE=60°
∵∠CEF=45°
∴∠CFE=∠CEF=45°
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°
∴△AEB≌△AFD(AAS)
∴AB=AD
∴矩形ABC D是正方形.
(1) ∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，
∴FC=FD
∴∠D=∠FCD=45°
∴∠CFD=90°,即∠AFC=90°
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°
∴四边形ABCF是矩形，
∵AB=BC
∴四边形ABCF是正方形;
(2) ∵FG垂直平分CD，
∴CE=DE, ∠CEG=∠DEF=90°
∵AD∥BG
∴∠G=∠EFD
在△CEG和△DEF中，
∠G=∠EFD, ∠CEG=∠DEF,CE=DE
∴△CEG≌△DEF
∴CG=FD
∵BC=AF
∴AF+FD=BC+CG
∴AD=BG= a
课件35张PPT。19.3.4正方形沪科版 八年级下新知导入观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.你还能举出其他的例子吗？新知导入定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一个角是直角定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形邻边相等新知导入问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?
你有什么发现？新知导入问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
你有什么发现？新知讲解邻边相等矩形〃〃正方形〃〃 菱 形一个角是直角正方形∟正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.归纳总结新知讲解已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.新知讲解已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.新知讲解思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.??正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .
对称轴： .轴对称图形4条ABCD新知讲解矩形菱形正
方
形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.新知讲解例1 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.新知讲解 例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.解:连接PC，AC.又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,∵四边形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,∴四边形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.新知讲解动手操作 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直新知讲解已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO命题：对角线互相垂直的矩形是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ， ∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.新知讲解动手操作 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等新知讲解已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO命题 对角线相等的菱形是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.新知讲解有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角小结：正方形判定的几条途径：新知讲解平行四边形矩形菱形正方形对角线相等对角线垂直对角线相等对角线垂直对角线垂直且相等新知讲解例3 如图，在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上，并且AE=BF=CM=DN．
求证：四边形EFMN是正方形证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.新知讲解在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∵ ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .课堂练习1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等B课堂练习2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等 A课堂练习3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ ）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A课堂练习4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠DAB=∠BCD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO课堂练习5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．②③或①④中考链接1.（2018年湖北省宜昌市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可中考链接解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，故选：B．中考链接2.（2018武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．【解答】如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
分析：分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得中考链接如图2，∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．
故答案为：30°或150°．课堂总结 大胆说一说, 本节课你学到了哪些知识?你还有哪些收获？3、正方形的判定1、正方形定义2、正方形的性质板书设计1、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有那些性质对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角边：角：对角线：板书设计5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结作业布置 1．必做题：课本 P4练习第1、2题.
2．选做题： 课本P98习题19.3第12题.
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沪科版数学八年级下册19.3.4正方形 教学设计
课题
19.3.4正方形
单元
第19章第9节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
知道正方形的定义和性质，并能用正方形的性质证明或解决有关的问题.
【过程与方法】?
1．经历探索正方形有关性质和判定的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.
2。在学习过程中培养学生分析概括的能力，类比分析的能力.
【情感态度与价值观】
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。
重点
探索正方形的性质及判定定理
难点
应用正方形的性质及判定解决有关的问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，请观察下列图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.你还能举出其他的例子吗？
师：如何给正方形下个定义呢？请同学们回顾一下菱形和矩形是怎么描述的？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
师：请同学们思考下面问题，
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?
你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
你有什么发现？
认真观察思考回顾，积极回答问题，
情景导入引入课题，
讲授新课
师：通过以上，我们可以给正方形下一个定义，
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
师：那正方形都具有什么样的性质呢？让我们来共同探索一下，首先我们来探索一下正方形的4个角就有什么样的特点，
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
师：接下来我们来研究一下正方形的对角线具有什么样的特点，
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
师：请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.??正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .
对称轴： .
小结：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
师：下面我们通过两个例题来巩固一下，
例1 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15°
例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF
注意：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
师：研究了正方形的性质，接下来我们来探索一下如何来判断一个视频是正方形的，
动手操作 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
命题：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形
动手操作 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
命题 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
师：我们通过例题来看一下正方形的判定如何应用，
例3 如图，在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上，并且AE=BF=CM=DN．
求证：四边形EFMN是正方形
类比描述探索正方形的定义，
思考定义在老师的指导下，探索正方形的性质，
积极思考，认真回答问题，
动手操作，进一步思考正方形的判定，
积极动手操作验证猜想结果，
认真思考，积极回答，
让学生独立探索自主总结，
引导学生思考问题，训练学生独立思考能力，
训练学生运用知识的能力，
通过探索新知进一步训练学生的独立思考能力，
通过验证培养学生严谨的逻辑思维能力，
进一步巩固新知，
课堂练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ ）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠DAB=∠BCD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
模仿例题，独立思考，认真完成课堂练习，
通过课堂练习，进一步巩固所学知识，
中考链接
1.（2018年湖北省宜昌市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
2.（2018武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
在老师的引导下，小组合作独立思考，认真完成，积极展示，
进一步提升知识的运用能力，
课堂小结
大胆说一说, 本节课你学到了哪些知识?你还有哪些收获？
1、正方形定义
2、正方形有那些性质
3、正方形的判定
梳理知识回顾总结，
培养学生总结知识的概括能力，
板书
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有那些性质
边：对边平行，四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
3、正方形判定方法
观察思考认真笔记，
为学生留下思考的空间，
