沪科版数学七年级下8.4.2公式法分解因式教学设计
课题
公式法分解因式
单元
8
学科
数学
年级
七
学习
目标
知识与技能目标
了解平方差和完全平方公式，会运用公式将多项式进行因式分解
过程与方法目标
通过问题导入，类比联想、观察、归纳，探索用公式进行因式分解的方法．
情感态度与价值观目标
通过用公式进行因式分解与身边实例的联系，培养学生学数学、用数学，并会用数学知识为社会服务的优质品质，增强学好数学的信心和勇气。
重点
正确熟练运用公式进行因式分解
难点
把多项式进行必要的变形，灵活运用公式进行因式分解.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：思考
1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？
2.因式分解与整式乘法有什么关系？
学生思考问题
复习以前的知识代入新课，学生积极性高.
讲授新课
课件展示
比一比：
平方差公式：
师：请根据公式找出公式左右边的特点
(1)公式左边：
生：是一个将要被分解因式的多项式
师：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）2－（ ）2的形式.
师：(2)公式右边
生：是分解因式的结果
师：分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
师：观察完全平方公式：
(1)(a+b)2=a2+2ab+b2
(a?b)2=a2?2ab+b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2?2ab+b2=(a?b)2
生：两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方．
师：什么叫公式法分解因式？
生：利用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，叫做公式法.
师：能用平方差公式分解因式的多项式特点是什么？
生：多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式
师：适用于完全平方公式形式的多项式的特点是什么？
生：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
课件展示
例3.把下列各式分解因式
(1)x2+14x+49；
(2)9a2?30ab+25b2
(3)x2?81 (4)36a2?25b2
师：通过计算，总结一下方法吧
生：完全平方公式特征：
要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
生：平方差公式
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
课件展示
例4 把下列多项式分解因式：
ab2?ac2；????????????????????????????????????????????????????????????
3ax2+24axy+48ay2
师：在分解因式时，有时提公因式和公式法同时使用
师：因式分解的方法有哪些？
生：1.提取公因式法；2.运用公式法
师：思考：ma-mb+2a-2b四项又如何分解？
像这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式.
生：ma-mb+2a-2b=(ma-mb)+(2a-2b)
=m(a-b)+2(a-b)
=(a-b)(m+2)
师：还有其他方法吗？
生： ma-mb+2a-2b=(ma+2a)-(mb+2b)
=a(m+2)-b(m+2)
=(m+2)(a-b)
课件展示：
例5、把下列各式分解因式：
(1) x2?y2+ax+ay? (2)a2+2ab+b2?c2
师：注意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提；
（2）分组添括号时要注意符号的变化；
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该一样的
师：现在我们再来总结一下多项式分解因式的一般步骤:
生：1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;
4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
生：我可以用口诀来总结一下：
一提 二套 三分 四检
学生观察，总结运用平方差公式两边的特点
学生根据老师的启发，得出公式法分解因式的概念，并总结其特点.
学生观察题目，自己解答，并总结出各自的方法.
学生解答，老师给予订正
学生思考这样的多项式怎样分解因式
学生解答，老师给予订正并提出注意的问题
学生总结多项式分解因式的步骤.
培养学生解决问题的能力.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
通过观察比较，自己得出结论，增强学生学习的动力.
让学生体验学有所用，提高学习的兴趣
巩固所学知识.
培养学生表达问题的能力.
课堂练习
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
答案：D
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
答案：B
3.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是___________.
答案：4
4.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是______．
答案：1
5.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．
答案：±4
6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2） 9xy3-36x3y;
(3) y2+2y+1－x2;
答案：
解：(1)原式=x2?12x+62=(x?6)2
(2)原式=9xy(y2?x2)=9xy(x+y)(x-y)
(3)原式=(y2+2y+1)-x2=(y+1)2?x2=(y+1+x)(y+1?x)
拓展提高
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
答案：
原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )
= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )
= (a +b) ( a2 - 2b2 )
=0
中考链接
1.(聊城中考)把8a3?8a2+2a进行因式分解，结果正确的是( )
A.2a(4a2?4a+1) B.8a2(a?1) C.2a(2a?1)2 D.2a(2a+1)2
答案：C
2.(贺州中考)将m3x?2+m(2?x)分解因式的结果是 。
答案：m(x-2)(m+1)(m-1)
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性。
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
多项式分解因式的一般步骤:
1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;
4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
沪科版数学七年级下8.4.2公式法分解因式练习题
一、选择题
1．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）
A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2
2．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是 ( )
A．a2b2－1 B．4－0.25m2 C．1＋a2 D．－a4＋1
3．与a3 －1相乘，积等于a6－1的多项式是 ( )
A．a3－1 B．(a－1)3 C．(a＋1)3 D．a3＋1
4.下列各式：①a2－a＋；②x2＋xy＋y2；③m2＋m＋1；④x2－xy＋y2；⑤m2＋4n2＋2mn；⑥a4b2－a2b＋1．其中，形如a2±2ab＋b2的多项式有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如果a2＋16与一个单项式的和可以用完全平方公式分解因式，这个单项式可以是( )
A．4a B．±8a C．±4a D．－4a
6．把多项式因式分解为（ ）
A． B． C． D．
7．已知P =2x 2 +4y+13，Q=x 2 -y 2 +6x-1 ， 则代数式P，Q的大小关系是（ ）
A． P≥Q B． P≤Q C． P＞Q D． P＜Q
二、填空题
8．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
9．把因式分解得，则的值为________．
10．若（M+2ab）2=N+12ab(a+b)+4a2b2,则M=______, N=______.
11.如果是一个完全平方式，则m=______．
三、解答题
12．把下列各式分解因式
(1) 4x2－(x－y)2；
(2)－(a＋b)2＋(2a－3b)2；
(3)a2－6a(b－c)＋9(b－c)2；
(4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y)．
13. 已知，求的值.
14. 已知x≠1，(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)根据以上式子计算：
①(1－2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)；
②2＋22＋23＋…＋2n(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝____________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝____________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝____________
(2)求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
答案：
1．C 2．C 3．D 4．B 5.B 6.C 7.C
8．0 9．－2 10．3a+3b，9a2+18ab+9b2
11. ±8
12. (1)(a＋b)(a－3b) (2)y(2x－y) (3) (a－3b＋3c)2 (4) (2x＋2y－5)2
13. 121
【解析】∵x2+y2?4x+6y+13=(x?2)2+(y+3)2=0，
∴x?2=0，y+3=0，即x=2，y=?3，
则原式=(x?3y)2=112=121.
14. （1）由题意知(1?x)(1+x+x2+…+xn)=1?xn+1；
所以①(1?2)(1+2+22+23+24+25)=1?26=1?64=?63；
②2+22+23+24+…+2n=2(1+2+22+23+24+…+2n?1)=?2(1?2)(1+2+22+23+24+…+2n?1)=?2(1?2n)=2n+1?2；
③(x?1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=?(1?x)(1+x+x2+…+x99)=?(1?x100)=x100?1，
(3)①(a?b)(a+b)=a2?b2；
②(a?b)(a2+ab+b2)=a3?b3；
③(a?b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4?b4.
故答案为：(1)①－63；②2n＋1－2；③x100－1.(2)①a2－b2；②a3－b3；③a4－b4
课件26张PPT。8.4.2公式法分解因式沪科版 七年级下思考情景导入1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？2.因式分解与整式乘法有什么关系？把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.我们学过了提公因式法分解因式.因式分解和整式乘法互为逆运算.平方差公式：比一比：新知讲解?(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）2－（ ）2的形式.(2) 公式右边（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.现在我们把完全平方公式反过来，可得： 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方．完全平方公式：新知讲解利用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，叫做公式法.能用平方差公式分解因式的多项式特点:新知讲解多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．新知讲解1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍. 适用于完全平方公式形式的多项式的特点例题解析例3.把下列各式分解因式???要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．方法总结：新知讲解???例题解析新知讲解方法总结公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例题解析例4 把下列多项式分解因式：???在分解因式时，有时提公因式和公式法同时使用(提公因式)(用平方差公式)(提公因式)(用完全平方公式)因式分解的方法1.提取公因式法2.运用公式法：两项——平方差三项——完全平方公式思考：ma-mb+2a-2b四项又如何分解？新知讲解这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式. ma-mb+2a-2b=(ma-mb)+(2a-2b)
=m(a-b)+2(a-b)
=(a-b)(m+2) 思考：还有没有其他方法？新知讲解 ma-mb+2a-2b=(ma+2a)-(mb+2b)
=a(m+2)-b(m+2)
=(m+2)(a-b) ??例题解析?（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提；（2）分组添括号时要注意符号的变化；（3）要将分解到底，不同分组的结果应该一样的．注意：新知讲解多项式分解因式的一般步骤: 1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.口诀：一提 二套 三分 四检新知讲解当堂练习课堂练习1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9D2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)B3.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是___________.课堂练习44.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．15.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．±4课堂练习??6.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2） 9xy3-36x3y;
(3) y2+2y+1－x2; ?拓展提高如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值． 原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )= (a +b) ( a2 - 2b2 )=0?中考链接Cm(x-2)(m+1)(m-1)课堂总结公式法分解因式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．a2±2ab+b2=(a±b)2（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.板书设计多项式分解因式的一般步骤: 1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.作业布置1.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．2.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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