高中物理粤教版必修二学案 第二章+第一节+匀速圆周运动+Word版含解析

第一节匀速圆周运动
1．匀速圆周运动的特点：任意相等时间内通过的弧长(或角度)相等；线速度方向沿圆周的切线方向。
2．描述匀速圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期(或频率)、转速，其关系式是v＝、ω＝、v＝ωr。
3．同轴转动的物体上各点的角速度相同；皮带传动或齿轮传动的情况下各轮边缘的线速度相等。
一、认识圆周运动
1．定义
如果质点的运动轨迹是圆，那么这一质点的运动叫做圆周运动。
2．匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的圆弧长度都相等的圆周运动。
3．性质
匀速圆周运动的速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动，也是最简单的一种圆周运动。
二、如何描述匀速圆周运动的快慢
1．线速度
(1)定义：做匀速圆周运动的物体通过的弧长l与所用时间t的比值。
(2)大小：v＝，单位m/s。
(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
(4)线速度的方向：沿圆周的切线方向。
2．角速度
(1)定义：在匀速圆周运动中，质点所在半径转过的角度φ与所用时间t的比值。用符号ω来表示。
(2)大小：ω＝，单位：rad/s。
(3)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
3．周期和转速
(1)周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间。用符号T表示，单位是秒(s)。
(2)转速：做匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的圈数。用符号n表示，单位是转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
三、线速度、角速度、周期间的关系
(1)线速度与周期之间的关系为v＝。
(2)角速度与周期之间的关系为ω＝。
(3)线速度与角速度的关系为v＝ωr。
(4)周期与转速的关系：T＝(n的单位取r/s)。
1．自主思考——判一判
(1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√)
(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×)
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×)
(4)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零。(√)
(5)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(×)
(6)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变。(√)
2．合作探究——议一议
(1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图2-1-1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
图2-1-1
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。
(2)月亮绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成是圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月亮的“对话”。
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。
图2-1-2
月亮说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得快？
请问：地球说得对，还是月亮说得对？
提示：地球和月亮说的均是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。严格来说地球绕太阳运动的线速度比月亮绕地球运动的线速度大，而月亮绕地球转动的角速度比地球绕太阳转动的角速度大。
(3)若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
图2-1-3
提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，分针的周期T分＝1 h＝3 600 s。
由ω＝得＝＝。
描述圆周运动的各物理量的关系
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v ∝ω；v一定时，ω ∝；ω一定时，v ∝r。
[典例]　如图2-1-4所示，圆环以直径AB为轴匀速转动。已知其半径为0.5 m，周期为4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。
图2-1-4
[思路点拨]　整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同。
[解析]　P点和Q点的角速度ω＝＝1.57 rad/s
求线速度则需要找出P点和Q点做圆周运动的半径。
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的圆心不同。P点和Q点的圆周运动的半径分别为
rP＝R·sin30°＝R，rQ＝R·sin60°＝R
故其线速度分别为vP＝ωrP＝0.39 m/s，
vQ＝ωrQ＝0.68 m/s。
[答案]　P点和Q点的角速度都为1.57 rad/s，P点的线速度为0.39 m/s，Q点的线速度为0.68 m/s。
解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。　　　　
1．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15
B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3
C．甲、乙两物体的周期之比是2∶15
D．甲、乙两物体的周期之比是10∶3
解析：选C　由v＝ωr得＝∶＝·＝×＝，A、B错误；由ω＝得＝＝，C正确、D错误。
2．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
解析：(1)依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr可得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)T＝＝ s＝4π s。
答案：(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
“传动装置”问题
三种传动装置及其特点
共轴传动
皮带传动
齿轮传动
图示
特点
盘上各点的角速度、转速、周期都相同，线速度与半径成正比
在皮带不打滑的情况下，轮缘上各点的线速度大小相等，而角速度与半径成反比
两个齿轮边缘上的各点线速度大小相等，角速度与半径成反比
规律
ωA＝ωB，
TA＝TB，
nA＝nB，
＝
vA＝vB，＝，＝＝，NA、NB分别表示齿轮A、B的齿数
转动方向
相同
相同
相反
[典例]　如图2-1-5所示为一自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进。
图2-1-5
(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想想看，这是为什么？
(2)设L1＝18 cm，r1＝12 cm，r2＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩脚踏板几圈。
(3)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如下表所示，若人骑该车行进的速度一定，选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？为什么？
名称
牙盘
飞轮
齿数N/个
48
38
28
15
16
18
21
24
28
[思路点拨]　
(1)脚踏板与大轮盘同轴转动，角速度相等。
(2)大轮盘与小轮盘链条连接，边缘的线速度大小相等。
(3)小轮盘与后轮同轴转动，角速度相等。
[解析]　(1)通过链条相连的牙盘和飞轮边缘的线速度相同，当牙盘的半径大于飞轮的半径时，由v＝ωr可知人踩脚踏板的角速度小于飞轮的角速度。
(2)设牙盘转动的角速度为ω1，自行车后轮转动的角速度即飞轮的角速度为ω2，人每分钟要踩脚踏板n圈。ω2＝＝ rad/s＝10 rad/s，由ω2r2＝ω1r1，得ω1＝5 rad/s，则n＝＝ r/s＝ r/min≈48 r/min。
(3)由(2)知＝，不管是牙盘还是飞轮，相邻的两齿间的弧长相同，故有＝，从而＝，故ω1＝·ω2＝·，由于v、R一定，当最小时，ω1最小，故应选齿数为15的飞轮和齿数为48的牙盘。
[答案]　见解析
传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点。
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度大小为v＝ωr，与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点的线速度大小也相等，而两传动轮的角速度为ω＝，与半径r成反比。　　　　
1．风速仪结构如图2-1-6(a)所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为 r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片(　　)

图2-1-6
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大 ，平均速率为
解析：选B　根据题意，从图(b)可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l＝4n×2πr，叶片转动速率为：v＝，故选项B正确。
2.如图2-1-7所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
图2-1-7
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
解析：(1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即＝，所以n2＝。
答案：(1)r1∶r2＝z1∶z2　(2)n2＝
匀速圆周运动的多解问题
[典例]　如图2-1-8所示，小球A在半径为R的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图2-1-8
(1)B球抛出时的水平速度多大？
(2)A球运动的线速度最小值为多大？
[思路点拨]
(1)从小球A运动到a点开始计时，到在a点恰好与小球B相碰，两球运动时间相等。
(2)在小球B平抛到a点的时间内，小球A可能运动多个周期。
[解析]　(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，
则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则
h＝gt2②
由①②得v0＝＝R。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝，所以vA＝＝2πR。
[答案]　(1)R　(2)2πR
匀速圆周运动的多解问题处理方法
1．分析多解原因
匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。
2．确定处理方法
(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。　　　　
1．一位同学做飞镖游戏，已知圆盘直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系中正确的是(　　)
图2-1-9
A．dv02＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)
C．v0＝
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)
解析：选B　当A点转动到最低点时飞镖恰好击中A点，L＝v0t，d＝gt2，ωt＝π(1＋2n)(n＝0,1,2，…)，联立解得ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…),2dv02＝L2g,2dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)，v0≠，B正确。
2.如图2-1-10所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
图2-1-10
解析：速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知：
当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：v＝at＝＝
解得：F＝(n＝0,1,2，…)。
答案：(n＝0,1,2，…)
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体可能处于受力平衡状态
B．物体的运动状态可能不发生变化
C．物体的加速度可能等于零
D．物体运动的速率是恒定不变的
解析：选D　匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻变化，显然匀速圆周运动是变速运动，具有加速度。故A、B、C错误，D对。
2．电脑中用的光盘驱动器采用恒定角速度驱动光盘，光盘上凹凸不平的小坑是存贮数据的。请问激光头在何处时，电脑读取数据速度较快(　　)
A．内圈　　　　　　　　 　B．外圈
C．中间位置 D．与位置无关
解析：选B　光盘做匀速圆周运动，光盘上某点的线速度v＝rω，ω恒定，则r越大时，v就越大，因此激光头在光盘外圈时，电脑读取数据速度比较快。
3．(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．因为v＝Rω，所以线速度v与轨道半径R成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径R成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析：选CD　v＝Rω，ω一定时，线速度v才与轨道半径R成正比，v一定时，角速度ω才与R成反比，A、B错误。ω＝2πn＝，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，与周期T成反比，C、D正确。
4.如图1所示，细杆上固定两个小球a和b，杆绕O点做匀速转动，下列说法正确的是(　　)
图1
A．a、b两球线速度相等
B．a、b两球角速度相等
C．a球的线速度比b球的大
D．a球的角速度比b球的大
解析：选B　细杆上固定两个小球a和b，杆绕O点做匀速转动，所以a、b属于同轴转动，故两球角速度相等，故B正确，D错误；由图可知b球的转动半径比a球转动半径大，根据v＝rω可知：a球的线速度比b球的小，故A、C错误。
5.如图2所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是(　　)
图2
A．顺时针转动，周期为
B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为
D．逆时针转动，周期为
解析：选B　主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从＝，B正确。
6.机械手表(如图3所示)的分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　　)
图3
A. min　　　　 　 B．1 min
C. min　　　　　 D. min
解析：选C　分针与秒针的角速度分别为ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s
设两次重合的时间间隔为Δt，
则有ω秒·Δt－ω分·Δt＝2π
得Δt＝＝ s＝ s＝ min
故C正确。
7.无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的挡位变速器，很多种高档汽车都应用了无级变速。如图4所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚动轮从右向左移动时，从动轮转速增加。当滚动轮位于主动轮直径D1、从动轮直径D2的位置时，主动轮转速n1、从动轮转速n2的关系是(　　)
图4
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选B　滚动轮与主动轮、从动轮边缘之间靠摩擦力带动，彼此没有相对滑动，所以它们边缘上的接触点的线速度相同，v1＝v2，即2πn1R1＝2πn2R2，可见＝＝，B项正确。
8.如图5所示是一种粒子测速器，圆柱形容器半径为R，器壁有一槽口A，沿直径方向与A正对的位置是B，P是喷射高速粒子流的喷口，其喷射方向沿着直径，使容器以角速度ω旋转，则喷射流可以从A槽口进入容器，最后落在B′上，测得BB′的弧长为x，求喷射流的速度。
图5
解析：对粒子流有2R＝v0t
对容器有ωt＝(2kπ＋φ)＝(k＝0,1,2，…)
故联立可得v0＝(k＝0,1,2，…)
答案：(k＝0,1,2，…)
9．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图6是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)
图6
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选C　由题意知，A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C对。
10．(多选)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔半径的夹角是30°，如图7所示，则该子弹的速度可能是(　　)
图7
A．360 m/s B．57.6 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
解析：选BC　子弹从A盘到B盘，盘转过的角度可能为
θ＝2πk＋(k＝0,1,2，…)
盘转动的角速度
ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s
子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动的时间，即＝
所以v＝＝＝(k＝1,2,3，…)
k＝0时，v＝1 440 m/s
k＝1时，v≈110.77 m/s
k＝2时，v＝57.6 m/s
…
故B、C正确。
11.如图8所示，一绳系一小球在光滑的桌面上做匀速圆周运动，绳长L＝0.1 m，当角速度为ω＝20 rad/s时，绳断开，试分析绳断开后：
图8
(1)小球在桌面上运动的速度；
(2)若桌子高1.00 m，小球离开桌面时速度方向与桌子边缘垂直。求小球离开桌子后运动的时间和落点与桌子边缘的水平距离。
解析：(1)v＝ωr＝20×0.1 m/s＝2 m/s。
(2)小球离开桌面后做平抛运动，
竖直方向：h＝gt2，
所以：t＝＝  s＝0.45 s，
水平方向：x＝vt＝2×0.45 m＝0.9 m。
答案：(1)2 m/s　(2)0.45 s　0.9 m
12.如图9所示，一个水平放置的圆桶正绕中心轴匀速运动，桶上有一小孔，桶壁很薄，当小孔运动到上方时，在小孔的正上方h处有一个小球由静止开始下落，已知小孔的半径略大于小球的半径，为了让小球下落时不受任何阻碍，h与桶的半径R之间应满足什么关系(不考虑空气阻力)?
图9
解析：设小球下落h所用时间为t1，经过圆桶所用时间为t2，则h＝gt12，h＋2R＝g(t1＋t2)2
小球到达圆桶表面时，圆孔也应该到达同一位置，所以有
ωt1＝2nπ，其中n＝1,2,3，…
ωt2＝(2k－1)π，其中k＝1,2,3，…
解得h＝。
答案：h＝(n＝1,2,3，…。k＝1,2,3，…)