高中物理粤教版必修二学案 第四章+第五节+验证机械能守恒定律+Word版含解析

第五节验证机械能守恒定律
一、实验目的
1．会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度。
2．掌握利用自由落体运动验证机械能守恒定律的原理和方法。
二、实验原理
让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒：
1．以物体下落的起始点O为基准，测出物体下落高度h时的速度大小v，若mv2＝mgh成立，则可验证物体的机械能守恒。
2．测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v1、v2，若关系式mv22－mv12＝mgh成立，则物体的机械能守恒。
三、实验器材
铁架台(带铁夹)、电磁打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源。
四、实验步骤
1．安装置：按图4-5-1将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路。
图4-5-1
2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3次～5次实验。
3．选纸带：选取点迹较为清晰且有两点间的距离约为2 mm的纸带，把纸带上打出的两点间的距离为2 mm的第一个点作为起始点，记作O，在距离O点较远处再依次选出计数点1、2、3…
4．测距离：用刻度尺测出O点到1、2、3…的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3…
五、数据处理
1．计算各点对应的瞬时速度：记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1、2、3…并测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3…再根据公式vn＝，计算出1、2、3、4、…n点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、…vn。
2．机械能守恒验证
方法一：利用起始点和第n点。
从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mvn2，计算ghn和vn2，如果在实验误差允许的范围内ghn＝vn2，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点A、B。
从A点到B点，重力势能减少量为mghA－mghB，动能增加量为mvB2－mvA2，计算ghAB和vB2－vA2，如果在实验误差允许的范围内ghAB＝vB2－vA2，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图像法。
图4-5-2
计算各计数点v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线，如图4-5-2所示。若在误差许可的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
六、误差分析
1．在进行长度测量时，测量及读数不准造成偶然误差。
2．系统误差的主要来源是重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
3．由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生系统误差。
七、注意事项
1．应尽可能控制实验，满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力。
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小。
2．实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。接通电源后，等打点计时器工作稳定再松开纸带。
3．纸带的选取
(1)以第一个点为起点时，要验证的是mvn2＝mghn，必须保证纸带上的第一个点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm。
(2)以下落中某点为起点时，要验证的是mvm2－mvn2＝mghmn，这时选择纸带不需要满足两点间距为2 mm。
4．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
5．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
[例1]　在做“验证机械能守恒定律”的实验时，发现重物减少的重力势能总是略大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是(　　)
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不规范，实验数据测量不准确
[解析]　造成题中所述误差的主要原因是来自于各方面的阻力，选项C正确。
[答案]　C
[例2]　(全国乙卷)某同学用图4-5-3(a)所示的实验装置验证机械能守恒定律，其中打点计时器的电源为交流电源，可以使用的频率有20 Hz、30 Hz和40 Hz。打出纸带的一部分如图(b)所示。
图4-5-3
该同学在实验中没有记录交流电的频率f，需要用实验数据和其他题给条件进行推算。
(1)若从打出的纸带可判定重物匀加速下落，利用f和图(b)中给出的物理量可以写出：在打点计时器打出B点时，重物下落的速度大小为________，打出C点时重物下落的速度大小为________，重物下落的加速度大小为________。
(2)已测得s1＝8.89 cm，s2＝9.50 cm，s3＝10.10 cm；当地重力加速度大小为9.80 m/s2，实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的1%。由此推算出f为________ Hz。
[解析]　(1)重物匀加速下落时，根据匀变速直线运动的规律得vB＝＝f(s1＋s2)
vC＝＝f(s2＋s3)
由s3－s1＝2aT2得
a＝。
(2)根据牛顿第二定律，有mg－kmg＝ma
根据以上各式，化简得f＝
代入数据可得f≈40 Hz。
[答案]　(1)f(s1＋s2)　f(s2＋s3)
f2(s3－s1)　(2)40
[例3]　某次“验证机械能守恒定律”的实验中，用6 V、50 Hz的打点计时器打出的一条无漏点的纸带，如图4-5-4所示，O点为重锤下落的起点，选取的计数点为A、B、C、D，各计数点到O点的长度已在图上标出，单位为毫米，重力加速度取9.8 m/s2，若重锤质量为1 kg。
(1)打点计时器打出B点时，重锤下落的速度vB＝________ m/s，重锤的动能EkB＝________ J。
图4-5-4
(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量为________ J。
(3)根据纸带提供的数据，在误差允许的范围内，重锤从静止开始到打出B点的过程中，得到的结论是_____________________________________________________________
________________________________________________________________________。
[解析]　(1)重锤下落的速度
vB＝＝ m/s＝1.17 m/s
重锤在打出B点时的动能
Ek＝mvB2＝×1×1.172 J＝0.68 J。
(2)打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量
ΔEp减＝mghOB＝1×9.8×70.5×10－3 J＝0.69 J。
(3)由(1)、(2)计算结果可知，重锤下落过程中，在实验允许的误差范围内，动能的增加量等于其重力势能的减少量，机械能守恒。
[答案]　(1)1.17　0.68　(2)0.69　(3)机械能守恒
1．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中需要直接测量的是(　　)
A．重物的质量
B．重力加速度
C．重物下落的高度
D．重物下落某一高度所对应的瞬时速度
解析：选C　重物的质量不需要测量；重力加速度是已知的；重物下落的高度需要测量；瞬时速度是根据纸带上的数据计算得出的。故应选C。
2．用落体法验证机械能守恒定律的实验中得到如图4-5-5所示纸带。
图4-5-5
根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是(　　)
解析：选C　由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，得：＝gh，可以看出与h成正比例关系，图线是过原点的直线，C正确。数据处理可以用不同的方法，得到相同的结论。
3．(多选)为验证在自由落体过程中物体的机械能是守恒的，某同学利用实验系统设计了一个实验，实验装置如图4-5-6所示，图中A、B两点分别固定了两个速度传感器，速度传感器可以测出运动物体的瞬时速度。在实验中测得一物体自由下落经过A点时的速度是v1，经过B点时的速度是v2，为了证明物体经过A、B两点时的机械能相等，这位同学又设计了以下几个步骤，你认为其中不必要或者错误的是(　　)
图4-5-6
A．用天平测出物体的质量
B．测出A、B两点间的竖直距离
C．利用mv22－mv12算出物体从A点运动到B点的过程中动能的变化量
D．验证v22－v12与2gh是否相等
解析：选AC　物体重力势能减少量为mgh，动能增加量为mv22－mv12，计算gh和v22－v12，如果在实验误差允许的范围内gh＝v22－v12，则机械能守恒定律得到验证。综上应选A、C。
4．在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知电火花计时器所用的电源频率为50 Hz，查得当地的重力加速度为9.8 m/s2，测得所用的重物的质量为1.00 kg。实验中得到一条点迹清晰的纸带，把第一个点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点。经测量知道A、B、C、D到O点的距离分别为62.99 cm、70.18 cm、77.76 cm、85.73 cm。根据以上数据，可知重物由O点运动到C点，重力势能的减少量等于________ J，动能增加量等于________ J(取3位有效数字)。
解析：C点到O点的距离hC＝77.76 cm，由此可知重力势能的减少量为mghC＝1.00×9.80×77.76×10－2J≈7.62 J。不能错误认为动能增加量也为7.62 J。C点的速度vC＝代入数值可以解得vC＝3.89 m/s。所以重物动能的增量为mv2＝7.57 J。在误差允许的范围内重力势能的减少量等于动能的增加量。
答案：7.62　7.57
5.利用图4-5-7装置做“验证机械能守恒定律”实验。
图4-5-7
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
(2)除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是________。
A．交流电源
B．刻度尺
C．天平(含砝码)
(3)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图4-5-8所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。
已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp＝__________，动能变化量ΔEk＝________。
图4-5-8
(4)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是________。
A．利用公式v＝gt计算重物速度
B．利用公式v＝ 计算重物速度
C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D．没有采用多次实验取平均值的方法
(5)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2-h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确。
解析：(1)在“验证机械能守恒定律”实验中，重物下落，重力势能减少，动能增加，要验证机械能是否守恒，需比较重物下落过程中任意两点间的动能变化量与势能变化量大小是否相等，故选A。
(2)实验时用到电磁打点计时器，则必须使用交流电源。在计算动能和势能变化量时，需用刻度尺测量位移和重物下落高度。在比较动能变化量和势能变化量是否相等时需验证m(v22－v12)＝mgh是否成立，而等式两边可约去质量m，故不需要天平。故选A、B。
(3)从打O点到打B点的过程中，重物下落hB，重力势能减少，则重物的重力势能变化量ΔEp＝－mghB。动能增加，则动能的变化量ΔEk＝mvB2－0＝m2－0＝m2。
(4)重物在下落过程中，除受重力外还存在空气阻力和摩擦阻力的影响，重物的重力势能要转化为重物的动能和内能，则重力势能的减少量大于动能的增加量，选项C正确。
(5)不正确。v2-h图像为一条直线，仅表明物体所受合力恒定，与机械能是否守恒无关。例如，在本实验中若存在恒定阻力，则物体的机械能不守恒，但mgh－fh＝mv2，v2＝2h，v2-h为一条过原点的直线，故该同学判断不正确。要想通过v2-h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
答案：(1)A　(2)AB　(3)－mghB　m2　(4)C　(5)该同学的判断依据不正确。在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，根据动能定理得，mgh－fh＝mv2－0?v2＝2h可知，v2-h图像就是过原点的一条直线。要想通过v2-h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
6．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每隔0.05 s闪光一次，如图4-5-9所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表。(当地重力加速度取9.8 m/s2，小球质量m＝0.2 kg，结果保留3位有效数字)
图4-5-9
时刻
t2
t3
t4
t5
速度(m/s)
4.99
4.48
3.98
(1)由频闪照片上的数据计算t5时刻小球的速度v5＝________m/s；
(2)从t2到t5时间内，重力势能增量ΔEp＝________ J，动能减少量ΔEk＝________J；
(3)在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，即可验证了机械能守恒定律。由上述计算得ΔEp________Ek(选填“>”“<”或“＝”)，造成这种结果的主要原因是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)v5＝×10－2 m/s＝3.48 m/s；
(2)重力势能的增量ΔEp＝mgΔh，代入数据可得ΔEp＝1.24 J，动能减少量为ΔEk＝mv22－mv52，代入数据可得ΔEk＝1.28 J；
(3)由计算可得ΔEp<ΔEk，主要是由于存在空气阻力。
答案：(1)3.48　(2)1.24　1.28　(3)<　存在空气阻力
7．利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图4-5-10所示。
图4-5-10
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平；
②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝______ cm；
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2；
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。
(2)用表示直接测量的字母写出下列所示物理量的表达式：
①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝________(重力加速度为g)。
(3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。
解析：由于挡光条宽度很小，因此将挡光条通过光电门时的平均速度当做瞬时速度，挡光条的宽度l可用游标卡尺测量，挡光时间Δt可从数字计时器读出，因此，滑块通过光电门的瞬时速度为，由于质量已用天平测出，所以，滑块的动能就是已知数了。测出动能的增加值，测出重力势能的减少值，如果两者在误差允许范围内相等，就验证了机械能守恒定律。
答案：(1)③60.00(59.96～60.04)　(2)①　
②(M＋m)2　(M＋m)2　③mgs　(3)Ek2－Ek1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　动能定理与机械能守恒定律的综合应用
1．(多选)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速率变为v2，且v2A．上升时机械能减小，下降时机械能增大
B．上升时机械能减小，下降时机械能也减小
C．上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方
D．上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方
解析：选BC　由v22. (多选)如图1所示，一个质量是25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为 2 m/s(g取10 m/s2)。关于力对小孩做的功，以下结果正确的是(　　)
图1
A．重力做的功为500 J
B．合外力做功为50 J
C．克服阻力做功为50 J
D．支持力做功为450 J
解析：选AB　重力做功与路径无关，WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A项正确；合外力做功有W＝ΔEk＝mv2＝×25×22 J＝50 J，B项正确；W＝WG＋W阻＝50 J，所以W阻＝－450 J，即克服阻力做功为450 J，C项错误；支持力始终与速度垂直，不做功，D项错误。
3．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列说法正确的是(　　)
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
解析：选BD　由于空气阻力做负功，卫星轨道半径变小，地球引力做正功，引力势能一定减小，动能增大，机械能减小，选项A、C错误B正确。根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小，所以卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小，选项D正确。
4. (多选)如图2所示，竖直弹簧下端与地面固定，上端拴接一小球，小球在竖直力F作用下，将弹簧压缩。若将力F撤去，小球将向上弹起，直到速度变为零为止。在小球上升过程中(　　)
图2
A．小球动能先增大后减小
B．小球动能与弹簧弹性势能之和先减小后增大
C．小球动能与弹簧弹性势能之和不断减小
D．小球动能减小为零时，重力势能最大
解析：选ACD　撤去力F时，弹力大于重力，小球所受合外力向上，加速度向上，小球向上做加速运动，当弹力减小到与重力平衡时，加速度为零，速度最大，之后，弹力小于重力，合外力向下，加速度向下，小球向上做减速运动，直至速度减为零，故整个过程中小球动能先增大后减小，选项A正确；因上升过程中，重力始终对小球做负功，因此，小球的动能与弹簧弹性势能之和不断减小，选项B错误，C正确；由以上分析可知，小球速度减为零时，上升至最大高度，即重力势能最大，故选项D正确。
5．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
解析：选A　由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋mv2＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图像为开口向左、顶点在的抛物线，故选项A正确。
6.如图3所示，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是(　　)
图3
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块的动能和对轨道的压力都不变
解析：选B　设滑块滑到最低点时的速度为v，由机械能守恒定律得mgR＝mv2，故轨道半径越大，滑块在最低点时的动能越大；滑块对轨道的压力FN＝mg＋＝3mg，与半径的大小无关。故选项B正确。
7.如图4所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为最高点，DB为竖直方向上的直径，AE为水平面。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A处进入圆轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D(不计空气阻力)。则小球通过D点后(　　)
图4
A．一定会落到水平面AE上
B．一定不会落到水平面AE上
C．一定会再次落到圆轨道上
D．可能会再次落到圆轨道上
解析：选A　小球在轨道内做圆周运动，通过最高点时的最小速度为，离开轨道后小球做平抛运动，若竖直方向下落r，则水平方向的最小位移s＝×＝r，所以小球只要能通过最高点D，就一定会落到水平面AE上。故选项A正确。
8.如图5，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则(　　)
图5
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W>mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W<mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
解析：选C　设质点到达N点的速度为vN，在N点质点受到轨道的弹力为FN，则FN－mg＝，已知FN＝FN′＝4mg，则质点到达N点的动能为EkN＝mvN2＝mgR。质点由开始至N点的过程，由动能定理得mg·2R＋Wf＝EkN－0，解得摩擦力做的功为Wf＝－mgR，即克服摩擦力做的功为W＝－Wf＝mgR。设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W′，则W′9.杂技演员甲的质量为M＝80 kg，乙的质量为m＝60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目。如图6所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OA＝OB。甲先从离地面H＝6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看做质点。(取g＝10 m/s2)问：
图6
(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？
(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？
解析：(1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙机械能守恒，有MgH＝Mv甲2＋mv乙2＋mgh
而v甲＝v乙，h＝1 m
联立可解得v甲＝v乙＝2 m/s。
(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：
mv乙2＝mgh1，解得h1＝3 m。
答案：(1)2 m/s　2 m/s　(2)3 m
10．(全国甲卷)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图7所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
图7
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得Ep＝MvB2＋μMg·4l②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mvB2＝mvD2＋mg·2l⑤
联立③⑤式得vD＝⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l。⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl＞μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
MvB2≤Mgl?
联立①②⑩?式得m≤M＜m。?
答案：(1)　2l　(2)m≤M＜m
11．北京获得2022年冬季奥林匹克运动会举办权，滑雪也渐渐成为人们喜爱的时尚运动。如图8所示为某室内滑雪场的滑道，AB为倾角θ1＝37° 的斜坡滑道，BC为L＝4 m的水平滑道，CD为半径R＝10 m、圆心角α＝37° 的圆弧滑道，DE为倾角θ2＝45° 的斜坡滑道，滑道在B点和C点平滑连接。质量m＝60 kg的滑雪者从h＝9 m处的P点由静止出发，到达圆弧滑道最高点D时恰好对滑道没有压力而腾空，在空中飞行一段时间后落在DE滑道上的Q点。已知滑雪者与滑道间的动摩擦因数μ＝0.1，不计空气阻力，滑雪者可视作质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
图8
解析：(1)滑雪者在最高点D时恰好对滑道没有压力，设此时的速度为v，则由圆周运动可知，mg＝m，
代入数据得v＝10 m/s。
设滑雪者落点Q与最高点D之间的距离为x，空中运动时间t，则由平抛运动有
xcos θ2＝vt，
xsin θ2＝gt2，
代入数据得x＝20 m(x≈28.3 m)。
(2)设滑雪者在AB滑道克服摩擦阻力做功W1，在BC滑道克服摩擦阻力做功W2，则
W1＝μmgcos θ1＝720 J
W2＝μmgL＝240 J
设滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机械能W3，则P到D过程，由动能定理有
mg[h－R(1－cos α)]－W1－W2－W3＝mv2－0
代入数据得W3＝240 J
(3)若滑雪者从更高处出发，则在圆弧滑道CD上损失的机械能是“减小”
理由：①滑雪者在到达D前已经脱离滑道腾空飞起；
②滑雪者圆弧滑道上对滑道的压力更小。
答案：(1)20 m或28.3 m　(2)240 J　(3)减小　理由见解析