高中物理粤教版必修二学案 第四章+第四节+机械能守恒定律+Word版含解析

第四节机械能守恒定律
1．机械能守恒定律：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变。
2．机械能守恒成立的条件是：只有重力或弹力做功。
3．机械能守恒定律的几种表达形式：
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
(2)ΔEk＝－ΔEp
(3)ΔEA＝－ΔEB

一、动能与势能之间的相互转化
1．机械能
动能和势能统称为机械能。
2．动能与势能之间的相互转化
只有重力做功的情况下，重力做正功，物体的重力势能转化为动能，重力势能减少；重力做负功，物体的动能转化为重力势能，重力势能增加。
二、机械能守恒定律的理论推导
1．推导如图4-4-1所示，质量为m的小球做自由落体运动的过程中经过A、B两点，则
图4-4-1
a．重力做功与小球动能变化的关系为WG＝mv22－mv12。
b．重力做功与小球重力势能变化的关系为WG＝mgh1－mgh2。
综合a、b两种情况可以得出mv22－mv12＝mgh1－mgh2或mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变。
(2)在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，机械能的总量也保持不变。
(3)表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1或mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1。
1．自主思考——判一判
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。(√)
(2)物体的机械能一定是正值。(×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(√)
2．合作探究——议一议
(1)黄果树大瀑布，如图4-4-2所示，自70 m高的断崖绝壁凌空飞下直泻犀牛潭，气势排山倒海。水流下落过程中，势能和动能的转化关系怎样？
图4-4-2
提示：势能减少，动能增加。
(2)毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉
图4-4-3
思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化。
(3)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。
图4-4-4
提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。
机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。
②系统内只有重力和弹力作用，如图4-4-5甲、乙、丙所示。
图4-4-5
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒。
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
???
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
??
1．如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(　　)
解析：选C　根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(弹力)做功。在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒。图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒。
2．物体在平衡力作用下，下列说法正确的是(　　)
A．物体的机械能一定不变
B．物体的机械能一定增加
C．物体的机械能一定减少
D．以上说法都不对
解析：选D　物体在平衡力的作用下，保持静止状态或匀速直线运动状态。如果保持静止状态，机械能不变。如果保持匀速直线运动状态，就有多种情况：当物体在水平面上做匀速直线运动时，物体的高度和速度都不变，那么它的动能和势能也不变，所以机械能不变；当物体向上做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体的位置升高，势能增加，所以机械能增加；当物体向下做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体高度降低，势能减小，所以机械能减小。一对平衡力做功之和为零，物体动能不变，所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变，不能保证高度不变，机械能可能增加，可能减少，也可能不变。
3.如图4-4-6所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
图4-4-6
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
解析：选D　重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
机械能守恒定律的应用
1．运用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体系统或物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象初、末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
2．对几种表达式的理解
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外表达式中Ep是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的Ep都应是对同一参考平面而言的。
(2)ΔEk＝－ΔEp，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。
(3)ΔEA＝－ΔEB，将系统分为A、B两部分，A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量，可以不选择参考平面。
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
物理
意义
重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用
范围
只有重力或弹力做功
无条件限制
关注
角度
守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合外力做功情况
[典例]　如图4-4-7所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h＝2 m，s＝ m。取重力加速度大小g＝10 m/s2。
图4-4-7
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
[审题指导]　
(1)小环运动过程中只有重力做功，机械能守恒。
(2)小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，说明小环的运动为平抛运动。
(3)要想求得环到达c点时速度的水平分量的大小，应先确定c点速度与水平方向的夹角。
[解析]　(1)小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，即小环在该段以某一初速度vb做平抛运动，运动轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt
h＝gt2
从ab滑落过程中，小环机械能守恒，选b点为参考平面，则有0＋mgR＝mvb2＋0
联立三式可得R＝＝0.25 m。
(2)小环在下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，小环机械能守恒，再选c点为参考平面，则有0＋mgh＝mvc2＋0
因为小环滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，
设为θ，则根据平抛运动规律可知sin θ＝
根据运动的合成与分解可得sin θ＝
联立可得v水平＝ m/s
[答案]　(1)0.25 m　(2) m/s
机械能守恒定律表达式的灵活选取
(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解。
(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp列式求解。　　　
　
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)
A．一样大　　　　　　 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
解析：选A　三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，机械能守恒，以地面为参考平面，设抛出点的高度为h，并设小球的质量为m，根据机械能守恒定律可得：mv2＝mv02＋mgh，解得小球的末速度大小为：v＝，与小球抛出的方向无关，即三球的末速度大小相等，故选项A正确。
2.某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图4-4-8所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s2)(　　)
图4-4-8
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B　将该同学视为做竖直上抛运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面，最高点速度为零，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2得：mv02＋mgh1＝mgh2，其中h1为起跳时该同学重心的高度，即h1＝0.9 m，代入数据得起跳速度v0＝＝4.2 m/s。
3．(全国丙卷)如图4-4-9，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
图4-4-9
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg②
由①②式得＝5。③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥
由机械能守恒定律得mg＝mvC2⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
答案：(1)5　(2)能沿轨道运动到C点
物体系统的机械能守恒
[典例]　如图4-4-10所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：
图4-4-10
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？(g取10 m/s2)
[解析]　(1)方法一：由E1＝E2。
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2。
v＝＝ m/s＝2 m/s。
方法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2，
得v＝2 m/s。
方法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－mBv2＝mAgh＋mAv2
得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝mAvA2，h′＝＝ m＝0.2 m。
[答案]　(1)2 m/s　(2)0.2 m
值得关注的连接体问题中的两个关系
(1)距离关系。也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系。
(2)速度关系。也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等。　　　　
1．(多选)如图4-4-11所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，
图4-4-11
现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是(　　)
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
解析：选BC　因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
2.图4-4-12所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面。一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB。由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功。
图4-4-12
解析：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。系统重力势能的减少量ΔEp减＝mAg－mBgR，
系统动能的增加量ΔEk增＝(mA＋mB)v2，
由ΔEp减＝ΔEk增，得
mAg－mBgR＝(mA＋mB)v2，
又mA＝2mB，
联立以上两式得v2＝(π－1)gR，
对物体B应用动能定理得，细线的张力对物体B做的功
W＝mBv2＋mBgR＝mBgR。
答案：mBgR
1．关于机械能守恒的叙述，正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒
B．做变速直线运动的物体机械能不可能守恒
C．合外力为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体的机械能不一定守恒
解析：选A　物体做匀速直线运动，意味着所受合外力为零，但并不一定满足机械能守恒的条件，故选项A正确，C错误；只要满足机械能守恒的条件，不论物体做变速直线运动，还是变速曲线运动，机械能均守恒，故选项B错误；只有系统内的重力对物体做功时，机械能一定守恒，故选项D错误。
2.自由下落的物体，其动能与位移的关系如图1所示，则图中直线的斜率表示该物体的(　　)
图1
A．质量　　　　　　　 B．机械能
C．重力大小 D．重力加速度
解析：选C　由机械能守恒定律，Ek＝mgh，动能Ek与位移h的关系图线的斜率表示该物体的重力大小，选项C正确。
3.如图2所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面。若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)(　　)
图2
A.mv02＋mgh
B.mv02－mgh
C.mv02
D.mv02＋mg(H－h)
解析：选C　由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为mv02，故C正确。
4．一物体由h高处自由落下，以地面为参考平面，当物体的动能等于势能时，物体经历的时间为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C.  D．以上都不对
解析：选B　设物体动能等于势能时速度为v，根据机械能守恒mv2＋Ep＝mgh，
又mv2＝Ep，
解得v＝，而物体做自由落体运动，v＝gt，
解得t＝，B正确。
5．从地面竖直上抛两个质量不同的小球，设它们的初动能相同，当上升到同一高度时(不计空气阻力，选抛出点为参考面)，则(　　)
A．所具有的重力势能相等
B．所具有的动能相等
C．所具有的机械能不等
D．所具有的机械能相等
解析：选D　因两小球质量不等，由重力势能表达式Ep＝mgh可知，上升到同一高度时，所具有的重力势能不相等，选项A错误；上升过程中只有重力做功，故小球机械能守恒，因初始动能相同，机械能相等，故上升到同一高度时机械能相等，从而动能不相等，选项B、C均错误，D正确。
6. (多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧面的顶点滑向底部，如图3所示。如果它们的初速度都为0，则下列说法正确的是(　　)
图3
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
解析：选CD　小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，则由mgH＝mv2，得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误。
7．(全国甲卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图4所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，(　　)
图4
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
解析：选C　两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LP＜LQ，则vP＜vQ，又mP＞mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，则F＝3mg，因mP＞mQ，则FP＞FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
8. (多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离，如图5所示。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
图5
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析：选ABC　运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员所受蹦极绳的弹性力方向向上，所以弹性力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，由于只有重力和蹦极绳的弹性力做功，因而运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变只与高度差有关，与重力势能零点的选取无关，D错误。
9. (多选)如图6所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直。放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是(　　)
图6
A．A处小球到达最低点时速度为0
B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度
解析：选BCD　因A处小球质量大，位置高，所以三角支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为小球的动能，因而此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高，C正确。
10.如图7所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
图7
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：选B　圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。
11．滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行。如图8所示，abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H＝3 m处由静止出发，沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点，其总质量m
＝60 kg。忽略摩擦阻力和空气阻力，取g＝10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。
图8
解析：运动员从开始滑下至c点，由机械能守恒定律得mgH＝mv2①
运动员滑至最低点时，由牛顿运动定律和向心力公式得FN－mg＝m②
由①②得FN＝mg＝2 040 N。
答案：2 040 N
12.内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R，质量分别为M和m(M>m)的两个小球(可看做质点)用不可伸长的细线相连。现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图9所示，试计算M滑到容器底时，两小球的速率。
图9
解析：将M和m看做一个整体，整体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，当M滑到容器底时，M下降的高度为R，由几何关系知m升高的高度为R，设M滑到容器底时的速率为v，根据运动的合成与分解m的速率为v。
根据机械能守恒定律有：
MgR－mgR＝Mv2＋m2，
解得v＝，
m的速率v＝ 。
答案：m的速率： 
M的速率：