高中物理粤教版必修二学案 第一章+第三节+竖直方向的抛体运动+Word版含解析

第三节竖直方向的抛体运动
一、竖直下抛运动
1．定义
把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做竖直下抛运动。
2．运动性质
竖直下抛运动是一种初速度不为零且加速度为g的匀加速直线运动。
3．规律
(1)速度公式：vt＝v0＋gt；
(2)位移公式：s＝v0t＋gt2。
二、竖直上抛运动
1．定义
把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做竖直上抛运动。
2．运动性质
竖直上抛运动是一种初速度不为零且加速度为g的匀变速直线运动。
3．规律
(1)速度公式：vt＝v0－gt；
(2)位移公式：s＝v0t－gt2。
1．自主思考——判一判
(1)竖直上抛运动是匀减速直线运动。(×)
(2)竖直上抛运动的物体，在上升过程中物体的速度、加速度都在减小。(×)
(3)竖直下抛运动可分解为竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动。(√)
(4)竖直上抛运动和竖直下抛运动在相等时间内的速度变化量相等，但速度变化方向相反。(×)
(5)从同一位置进行的竖直上抛运动和竖直下抛运动到达地面时的位移相同。(√)
2．合作探究——议一议
(1)从运动的合成与分解来看，竖直下抛运动可以看成是哪两个运动合成的？
提示：竖直下抛运动可以看成是竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动合成的。
(2)音乐喷泉中，喷泉做的是什么运动？若喷出管口的速度为v0，喷泉经过多长时间到达最高点？
图1-3-1
提示：竖直上抛运动，t＝。
(3)做竖直上抛运动的物体在最高点有何特点？
提示：做竖直上抛运动的物体在最高点的速度v＝0，但加速度仍为重力加速度g，所以此时物体并不处于平衡状态。
对竖直下抛运动的理解
1．竖直下抛运动和自由落体运动的区别和联系
竖直下抛
自由落体
联系
运动过程中只受重力，所以运动的加速度都是竖直向下的g
区别
初速度
向下的v0
0
速度变化
vt＝v0＋gt
vt＝gt
下降高度
h＝v0t＋gt2
h＝gt2
运动图像
2．从运动合成与分解的角度看竖直下抛运动
(1)从运动的合成角度来分析，竖直下抛运动可以看做是速度为v0的竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动的合运动。
(2)从v-t图像也可直观地看出
如图1-3-2甲所示，在时间t内图像与坐标轴所围成的图形面积代表物体位移大小，显然可以分成两部分进行分析，下半部分为匀速运动，如图乙所示，其面积为v0t，上半部分为自由落体运动，如图丙所示，其面积为gt2。
图1-3-2
1．关于竖直下抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．下落过程是加速运动，加速度越来越大
B．下落过程是匀速直线运动
C．在下抛时，由于给物体一定的作用力，所以在下落过程中的加速度大于重力加速度
D．下落过程中，物体的运动是匀变速直线运动
解析：选D　竖直下抛的物体只受重力，故其加速度为g恒定不变，物体的运动是匀加速直线运动，故A、B、C错误，D正确。
2．一个人站在楼顶竖直向下抛物块。已知物块离开手时的速度为1.0 m/s，物块在最后1 s内通过的路程是整个楼高的，假设物块出手的位置与楼顶平齐，不计空气阻力，求整座楼的高度。(g取10 m/s2)
解析：设物块落到地面所用的时间为t，则楼的高度为
h1＝v0t＋gt2
物块在t－1 s内下落的高度为
h2＝v0(t－1 s)＋g(t－1 s)2
由题意知h1－h2＝h1
联立各式并代入数据解得t＝2 s
则楼的高度为h1＝v0t＋gt2＝22 m。
答案：22 m
竖直上抛运动的特点及处理方法
1．竖直上抛运动的图像
图1-3-3
竖直上抛运动的v-t图像是一条斜向下的直线，如图1-3-3所示，图像表示从抛出至落回抛出点的过程。t轴以上图线表示上升阶段，t轴以下图线表示下落阶段。t2＝2t1，初、末速度大小相等，正方向位移(上升)和负方向位移(下落)的合位移为0。
2．竖直上抛运动的对称性
竖直上抛运动的物体在上升和下落阶段会经过同一位置，其运动具有对称性。
(1)速度对称：上升阶段和下落阶段经过同一位置时速度等大反向，即v上＝－v下。
(2)时间对称：上升阶段与下落阶段经过同一段竖直距离所用的时间相等，即t上＝t下。
(3)运动过程的对称性：上升阶段为匀减速到零的过程，下落阶段为自由落体运动回到抛出点，上升阶段可看作下落阶段的逆过程。
3．分析方法(g表示重力加速度的大小)
(1)分段法。
①上升过程：匀减速直线运动，取向上为正方向。
?
②下降过程：自由落体运动，取向下为正方向。
?
(2)整体法。
匀减速直线运动，取向上为正方向。

[典例]　某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子。求：
(1)物体上升的最大高度，回到抛出点的时间；
(2)石子抛出后通过距抛出点下方20 m处时所需的时间。不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2。
[思路点拨]
(1)竖直上抛运动是匀变速直线运动，满足匀变速直线运动的规律。
(2)处理竖直上抛运动可以分段处理，也可以整体处理。
[解析]　法一：分段法
上升过程做匀减速运动，取竖直向上为正方向。v01＝20 m/s，a1＝－g，v1＝0，根据匀变速运动公式：v12－v012＝2a1s1，v1＝v01＋a1t，得最大高度H＝s1＝＝＝ m＝20 m，
上升时间t1＝＝＝ s＝2 s，
下落过程做自由落体运动，取竖直向下为正方向，v02＝0，a2＝g，从最高点回到抛出点时位移s2＝H，到抛出点下方20 m处时位移s3＝40 m，根据自由落体公式得，从最高点下落到抛出点的时间t2＝＝ s＝2 s，
从最高点下落到抛出点下方20 m处的时间
t3＝＝ s＝2 s，
所以物体上升的最大高度H＝20 m，回到抛出点的时间为4 s，落到抛出点下方20 m处所经历的时间为2(1＋)s。
法二：整体法
取向上为正方向，v0＝20 m/s，a＝－g，上升到最大高度时v＝0，落到抛出点下方20 m处时s＝－20 m，由匀变速运动公式得最大高度：H＝＝ m＝20 m，
回到原抛出点时，由0＝v0t1－gt12得
t1＝＝ s＝4 s，
落到抛出点下方20 m处时，有：－20＝20t2－×10t22
解得t2＝2(1＋)s。
[答案]　(1)20 m　4 s　(2)2(1＋)s
竖直上抛运动的求解技巧
(1)正方向与各矢量正、负号的确定。
使用整体法处理竖直上抛运动时，要特别注意公式中各矢量的方向，一般以向上的方向为正方向。
(2)求解竖直上抛运动的两个基本方法。
分段法：上升过程用初速度不为零的匀减速直线运动规律计算；下降过程用自由落体运动的公式计算。
整体法：加速度方向与初速度的方向相反，把竖直上抛运动看作匀变速直线运动。
(3)竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性。　　　　
1．(多选)有关竖直上抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．是a＝g的匀变速运动
B．可分解为竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动
C．可以把从最高点下落的后半段运动看成是自由落体运动
D．上升过程的加速度小于下落过程的加速度
解析：选ABC　根据运动的合成与分解的知识，竖直上抛运动可分解为竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动，也可以把从最高点下落的后半段运动看成是自由落体运动，并且是a＝g的匀变速运动，所以A、B、C正确，D错误。
2．一枚小火箭携带试验炸弹竖直发射升空，小火箭的加速度a＝10 m/s2，t1＝20 s后小火箭与试验炸弹分离，预定试验炸弹在最高点爆炸，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)试验炸弹预定爆炸点的高度是多少？
(2)若试验失败，炸弹未爆炸，如果不采取措施，炸弹会在分离后多长时间落地？为了防止危险，在炸弹到达最高点10 s后，以v0＝400 m/s竖直发射一枚炮弹拦截，拦截点的高度是多少？
解析：(1)试验炸弹与小火箭分离时，
速度v1＝at1＝10×20 m/s＝200 m/s，
高度h1＝at12＝2 000 m，
分离后炸弹以初速度v1做竖直上抛运动，上升高度h2＝＝ m＝2 000 m，
故预定爆炸点的高度h＝h1＋h2＝4 000 m。
(2)如果不采取措施，从分离到炸弹落地采取分段法讨论，上升阶段的时间t上＝＝20 s，
下降阶段有h＝gt下2，得
t下＝＝20 s，
故从分离到落地所用时间t3＝t上＋t下＝20(＋1)s
发射炮弹时，炸弹下落高度
h3＝gt22＝×10×102 m＝500 m，
此时离地高度h4＝h－h3＝3 500 m，
下落速度v3＝gt2＝10×10 m/s＝100 m/s，
两者相遇时，其位移的大小之和等于h4，故v3t＋gt2＋v0t－gt2＝h4
代入数据得t＝7 s，
故拦截点高度h5＝v0t－gt2＝400×7 m－×10×72 m＝2 555 m。
答案：(1)4 000 m　(2)20(＋1)s　2 555 m
1．(多选)关于竖直上抛运动，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是 (　　)
A．从上升到下降的整个过程中，加速度保持不变
B．到达最高点时速度为零，物体处于静止状态
C．落回抛出点时的速度与初速度相同
D．在落回抛出点以前，物体的位移方向始终相同
解析：选AD　竖直上抛的物体，其加速度总等于重力加速度，A正确；在最高点速度为零，但加速度不为零，物体不是处于静止状态，B错误；速度是矢量，落回抛出点时速度方向与初速度方向相反，C错误、D正确。
2．将物体以一定的速度竖直下抛，则图中能正确反映物体的速度随时间变化关系的是(　　)
解析：选C　竖直下抛运动是初速度不为零、加速度为g的匀加速直线运动，在速度－时间图像上反映为一条倾斜的直线，直线的斜率表示重力加速度为g。又因为竖直下抛运动有一定的初速度，所以截距为正，故正确选项为C。
3.一小火箭从地面竖直向上发射时的速度图像如图1所示，则小火箭上升到最高点的位置对应于图中的(　　)
图1
A．O点　　　　　　　 　B．A点
C．B点 D．C点
解析：选D　因为速度方向始终未改变，故火箭越升越高，选D。
4．一物体做竖直上抛运动，不计阻力，从抛出时刻算起，设上升过程中，上升到最大高度的一半所用的时间为t1，速度减为初速度的一半所用的时间为t2，则(　　)
A．t1＞t2 B.t1＜t2
C．t1＝t2 D.无法比较
解析：选B　画出物体上升过程中速度与时间的变化关系图像，上升到最大高度的一半所用时间为t1，速度减为初速度的一半所用的时间为t2，故t1＜t2。
5．(多选)以初速度v0从地面竖直上抛一物体，不计空气阻力，当物体速度大小减为时，所用时间可能是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选BD　由vt＝v0－gt知，当vt方向向上时，vt＝，解得t＝；当vt方向向下时，vt＝－，解得t＝。
6．从30 m高的楼顶处，以5 m/s的初速度竖直下抛一个小球，取g＝10 m/s2，求：
(1)经多长时间小球落地？
(2)小球落地速度为多大？
解析：(1)由s＝v0t＋gt2得30＝5t＋×10t2，
解得t1＝－3 s(舍)或t2＝2 s。
(2)方法一　由vt＝v0＋gt
得v1＝5 m/s＋10×2 m/s＝25 m/s。
方法二　由vt2－v02＝2gs得vt＝＝ m/s＝25 m/s。
答案：(1)2 s　(2)25 m/s
7．做自由落体运动、竖直下抛运动和竖直上抛运动的物体，在相等的时间内速度的变化(　　)
A．大小相等，方向相同
B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同
D．大小不等，方向不同
解析：选A　由于三种运动的加速度相同均为g，则在相等时间Δt内，物体的速度变化为Δv＝gΔt，故Δv大小相等，方向均向下，A正确。
8．(多选)在同一高度将质量相等的A、B两球以大小相等的初速度分别竖直上抛和竖直下抛，则下列说法中正确的是(　　)
A．A、B落地时位移相同
B．在运动过程中，A、B的加速度相同
C．A、B落地时速度相同
D．在整个运动过程中，A、B的速度变化量相同
解析：选ABC　初末位置相同因而位移相同，在运动过程中加速度都是g，A、B正确；由竖直上抛运动的对称性可知，A球落回抛出点时速度与B球抛出的速度相同，故A、B落地时的速度相同，C正确；在整个运动过程中，A、B的末速度相同，但两者的初速度不同，所以A、B的速度变化量一定不同，D错误。
9．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点a的时间间隔为Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔为Tb，则a、b之间的距离为(　　)
A.g(Ta2－Tb2) B.g(Ta2－Tb2)
C.g(Ta2－Tb2) D.g(Ta2－Tb2)
解析：选A　由上抛运动时间的对称性可知：物体从a点到最高点的时间为，物体从b点到最高点的时间为，故a、b之间的距离为Δh＝g2－g2＝g(Ta2－Tb2) 。
10．自地面将物体竖直上抛，初速度大小为20 m/s，当它的位移为15 m时，经历的时间和运动速度分别为(g取10 m/s2，不计空气阻力，选取竖直向上为正方向)(　　)
A．1 s, 10 m/s B．2 s, 15 m/s
C．3 s, 10 m/s D．4 s, －15 m/s
解析：选A　先求出上升的总时间和最大高度分别为t0＝＝ s＝2 s，hm＝＝ m＝20 m，所以位移为15 m时应当有两种情况，即处于上升阶段或下降阶段。根据公式h＝v0t－gt2，将h＝15 m代入即可求得t＝1 s或3 s，又由vt＝v0－gt可得vt＝10 m/s或－10 m/s，所以选项A正确。
11．一气球以4 m/s2的加速度由静止从地面竖直上升，10 s末从它上面掉出一重物，重物从气球上掉出后经多长时间落到地面？(不计空气阻力，取g＝10 m/s)
解析：气球匀加速上升的位移
h＝at2＝×4×102 m＝200 m，
10 s末速度v0＝at＝40 m/s，
重物从气球上掉出后做竖直上抛运动，落到地面过程有
－h＝v0t－gt2，
解得t1≈－3.5 s(舍)或t2≈11.5 s。
答案：11.5 s
12．在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时在A正下方地面上以初速度v0竖直向上抛出另一小球B。求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件。不计空气阻力作用。
解析：设相遇时间为t，相遇处离地面距离为y，两球相遇必在同一位置
所以y＝v0t－gt2＝h－gt2，
即v0t＝h，所以相遇时间为t＝
t代入y表达式中，有：
y＝h－gt2＝h－g·＝h
即为相遇点离地面的高度。
讨论：A、B能在空中相遇，则y＞0，即h＞0，所以1－＞0，即v0＞，即为A、B在空中相遇的条件。
当在B球的最高点相遇时，应有
gt2＋＝h，且t＝，解得v0＝
因而当＜v0＜时，在B球下降过程中两球相遇；
当v0＝时，恰在B上升到最高点时，两球相遇；
当v0＞时，在B球上升过程中两球相遇。
答案：见解析