2018-2019学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷（解析版）

2018-2019学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝2 B． +＝2
C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣2y＝0
3．用配方法解一元二次方程x2+4x+3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
4．下列关于反比例函数y＝的说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．函数图象过点（2，）
C．图象位于第一、第三象限
D．x＞0时，y随x的增大而增大
5．关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（　　）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
7．线段a、b、c、d是成比例线段，a＝4、b＝2、c＝2，则d的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB1C1，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C． cm2 D． cm2
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼　 　尾．
12．（4分）如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝　 　，m＝　 　．

13．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，x1+x2＝　 　．
14．（4分）已知：＝＝，（b+d≠0）则＝　 　．
15．（4分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是　 　．

16．（4分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△Bn?nMn的面积为Sn，则Sn＝　 　．（用含n的式子表示）

三．解答题（每题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0 （配方法）
18．（6分）已知a＝﹣3，b＝2，求代数式的值．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．
（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，并标出D点 （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABD是等边三角形．

四、解答题（每题7分，共21分）
20．（7分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们正面朝下，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）若将第一次抽出的数字作为点的横坐标a，第二次抽出的数字作为点的纵坐标b，求点（a，b）落在双曲线上的概率．
21．（7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．

22．（7分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
五．解答题（本大题共3题，每题9分，共27分）
23．（9分）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4，＝．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．

25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．
（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为　 　cm（用含x的代数式表示）；
（2）如图当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；并求出x为何值时，y为最大值．




2018-2019学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解答】解：A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；
B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．
2．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【解答】解：A、由原方程知：x2﹣3x+1＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
B、该方程是分式方程，故本选项错误；
C、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．【分析】方程移项后，两边加上4变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣3，
配方得：x2+4x+4＝1，即（x+2）2＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、反比例函数y＝，每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误；
B、函数图象过点（2，﹣），故此选项错误；
C、函数图象图象位于第二、第四象限，故此选项错误；
D、x＞0时，y随x的增大而增大，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆相关性质是解题关键．
5．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝82﹣4q＝64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【解答】解：S＝＝12π，
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
7．【分析】根据成比例线段的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，可求得d的值．
【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即4：2＝2：d，
∴d＝1；
故选：A．
【点评】此题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的概念，在写的时候，注意按照字母的顺序．
8．【分析】根据题意，阴影部分为含30°锐角的直角三角形．已知长直角边可求短直角边长，再代入面积公式计算求解．
【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′＝15°，
∴∠C′AB＝∠CAB﹣∠CAC′＝45°﹣15°＝30°，AC′＝AC＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×tan30°×2＝，
故选：A．
【点评】此题考查旋转的性质及解直角三角形，掌握旋转的性质及三角函数的定义是解题的关键．
9．【分析】根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1＝S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2＝BO2，所以S△ABO2＝S矩形，…，以此类推得到S△ABO5＝S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5的面积．
【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1＝S1，
又S△ABO1＝S矩形，∴S1＝S矩形＝5＝；
设ABC2O2为平行四边形为S2，∴S△ABO2＝S2，
又S△ABO2＝S矩形，∴S2＝S矩形＝＝；
，…，
同理：设ABC5O5为平行四边形为S5，S5＝＝．
故选：D．
【点评】此题综合考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
10．【分析】作QD⊥AB，分点Q在AC、CB上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示出QD的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．
【解答】解：（1）过点Q作QD⊥AB于点D，
①如图1，当点Q在AC上运动时，即0≤x≤3，

由题意知AQ＝x、AP＝x，
∵∠A＝45°，
∴QD＝AQ＝x，
则y＝?x?x＝x2；
②如图2，当点Q在CB上运动时，即3＜x≤6，此时点P与点B重合，

由题意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3，
∵∠B＝45°，
∴QD＝BQ＝（6﹣x），
则y＝×3×（6﹣x）＝﹣x+9；
故选：D．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．
二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分）
11．【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，而鲤鱼出现的频率为0.36，然后乘以总数即可得到水塘有鲤鱼有多少尾．
【解答】解：水塘约有鲤鱼10000×0.36＝3600（尾），
故答案为：3600．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的思想，首先通过实验得到事件的频率，然后即可估计事件的概率．
12．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝m，根据相似多边形的性质列式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝m，
∴∠C＝180°﹣55°＝125°，
∵两个平行四边形相似，
∴α＝∠C＝125°，＝，
解得，m＝12，
故答案为：125°；12．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质、平行四边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键．
13．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
14．【分析】分别设a为2m，c＝2n，进而得到用m，n表示的b，d的值，把它们代入所给代数式求解即可．
【解答】解：设a为2m，c＝2n，则b＝5m，d＝5n．
∴＝＝＝，
故答案为．
【点评】考查等比性质的应用：若＝＝k，则＝k．
15．【分析】根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM＝6：1，即S△ABC：S△FDM＝36：1，从而得到△ABC面积．
【解答】解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，
过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，
过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，
因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，
所以他们对应边边长的比为1：2：3，
又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
所以DM＝BG，EM＝CH，
设DM为x，则ME＝2x，GH＝3x，
所以BC＝BG+GH+CH＝DM+GH+ME＝x+2x+3x＝6x，
所以BC：DM＝6x：x＝6：1，
由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM＝36：1，
所以S△ABC＝36×S△FDM＝36×1＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
16．【分析】利用相似三角形的性质求出Bn?n，再利用三角形的面积公式计算即可；
【解答】解：∵Bn?n∥B1C1，
∴△MnBn?n∽△MmB1C1，
∴＝，
∴＝，
∴Bn?n＝，
∴Sn＝××＝，
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（每题6分，共18分）
17．【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，
∴x＝3±2，
∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．【分析】将所求式子括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，后一项分子利用完全平方式分解因式后约分，得到最简结果，然后将a与b的值代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
【解答】解：
＝÷
＝÷（a+b）
＝，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式＝＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
19．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，根据等边对等角可得∠CAD＝∠C，进而可得∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，然后可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°
∴∠B＝60°，
又∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，
即△ABD是等边三角形．
【点评】此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
四、解答题（每题7分，共21分）
20．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出在双曲线y＝上的点的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣2 ﹣1 1 2
﹣2 ﹣2，﹣2 ﹣2，﹣1 ﹣2，1 ﹣2，2
﹣1 ﹣1，﹣2 ﹣1，﹣1 ﹣1，1 ﹣1，2
1 1，﹣2 1，﹣1 1，1 1，2
2 2，﹣2 2，﹣1 2，1 2，2
由上表可知，两次抽出卡片上的数字的所有结果一共有16种；
（2）∵上述16种结果出现的可能性相同，且在双曲线y＝上的点有四个，它们分别是（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣2），（1，2），（2，1），
∴点（a，b）落在双曲线y＝上的概率P＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）首先证明AB＝AF＝AD，然后再证明∠AFG＝90°，接下来，依据HL可证明△ABG≌△AFG；
（2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出BG即可．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG＝FG，
设BG＝FG＝x，则GC＝6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE＝EF＝DE＝3，
∴EG＝3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝2，
∴BG＝2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
22．【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
，
解得：；
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；

（2）设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70﹣a）台，
则30a+40（70﹣a）≤2500，
解得：a≥30，
答：最少需要购进A型号的计算器30台．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出总的进货费用是解题关键．
五．解答题（本大题共3题，每题9分，共27分）
23．【分析】（1）在y＝kx+2中，只要x＝0得y＝2即可得点D的坐标为（0，2）．
（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又＝，可得＝＝，故AP＝6，BD＝6﹣2＝4，由S△PBD＝4可得BP＝2，把P（2，6）分别代入y＝kx+2与y＝可得一次函数解析式为：y＝2x+2反比例函数解析式为：y＝
（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．
【解答】解：（1）在y＝kx+2中，令x＝0得y＝2，
∴点D的坐标为（0，2）

（2）∵AP∥OD，
∴∠CDO＝∠CPA，∠COD＝∠CAP，
∴Rt△PAC∽Rt△DOC，
∵＝，即＝，
∴＝＝，
∴AP＝6，
又∵BD＝6﹣2＝4，
∴由S△PBD＝BP?BD＝4，可得BP＝2，
∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y＝kx+2与y＝可得
一次函数解析式为：y＝2x+2，
反比例函数解析式为：y＝；

（3）由图可得x＞2．

【点评】考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．
24．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E＝∠B＝∠C，则H是EC的中点，设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD＝AC＝，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+1，BD＝CD＝DE＝r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则＝，求出r的值即可．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；

（2）如图2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝，
∵OD∥AC，
∴∠E＝∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴＝＝，
∴＝；

（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+1，
∴BD＝CD＝DE＝r+1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴＝，
解得：r1＝，r2＝（舍），
综上所述，⊙O的半径为．


【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
25．【分析】（1）根据已知条件得到∠AQP＝45°，求得PQ＝AP＝2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ＝x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP＝2x，由于D为PQ中点，得到DQ＝x，求得GP＝2x，列方程于是得到结论；
（3）如图②，当0＜x≤时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH＝AB＝2，根据正方形和三角形面积公式得到y关于x的函数解析式，求出最大值；当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x，根据三角形的面积公式得到关系式即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP＝45°，
∴PQ＝AP＝2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ＝x，
故答案为：x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP＝2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ＝x，
∴GP＝x，
∴2x+x+2x＝4，
∴x＝；
（3）分三种情况：
如图②，当0＜x≤时，y＝S正方形DEFQ＝DQ2＝x2，
∴y＝x2；
如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH＝AB＝2，
∵PQ＝AP＝2x，CK＝2﹣2x，
∴MQ＝2CK＝4﹣4x，FM＝x﹣（4﹣4x）＝5x﹣4，
∴y＝S正方形DEFQ﹣S△MNF＝DQ2﹣FM2，
∴y＝x2﹣（5x﹣4）2＝﹣x2+20x﹣8，
∴y＝﹣x2+20x﹣8；
当x＝﹣＝时，y有最大值；
如图④，当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x，
∴DQ＝2﹣x，
∴y＝S△DEQ＝DQ2，
∴y＝（2﹣x）2，
∴y＝x2﹣2x+2；
综上所述，y关于x的函数解析式为y＝x2（0＜x≤）或y＝﹣x2+20x﹣8（＜x≤1）或y＝x2﹣2x+2（1＜x＜2）；
当x＝时，y有最大值．




【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算、二次函数、以及分类讨论等知识；正确的作出图形是解题的关键，注意分类讨论．