高中物理粤教版必修二学案第二章+第二节+向心力+Word版含解析

第二节向心力
1．向心力是按效果命名的力，不能认为做圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还受到一个向心力的作用。
2．圆周运动向心力大小F＝mω2r＝m，方向指向圆心，不改变速度的大小，只改变速度的方向。
3．向心加速度描述圆周运动线速度方向改变的快慢，向心加速度的方向与向心力的方向一致，大小为a＝＝rω2＝。
4．匀速圆周运动向心力和向心加速度的大小恒定，方向时刻在改变，因此匀速圆周运动是变加速运动。
一、感受向心力
1．向心力
做匀速圆周运动的物体受到与速度方向不在同一直线上的合力作用，这个力总是沿着半径指向圆心，叫做向心力。
2．向心力的大小
(1)实验探究
①探究目的：探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
②实验方法：控制变量法。
③实验过程
a．保持ω、r相同，研究向心力F与小球质量之间的关系。
b．保持m、r相同，研究向心力F与角速度ω之间的关系。
c．保持ω、m相同，研究向心力F与半径r之间的关系。
④实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比。
(2)向心力的公式：F＝mω2r或F＝m。
3．向心力的特点
(1)向心力的方向沿半径指向圆心，与质点运动的方向垂直。
(2)向心力不改变质点速度的大小，只改变速度的方向。
二、向心加速度
1．定义
由向心力产生的指向圆心的加速度叫做向心加速度。
2．大小
a＝ω2r或a＝。
3．方向
向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。
4．物理意义
向心加速度始终与速度垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢。
三、生活中的向心力
1．在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力，汽车将易滑出路面而造成交通事故。因此，在公路弯道处，车辆行驶速度不允许超过规定速度。
图2-2-1
2．汽车在公路的转弯处时，公路对汽车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，为汽车转弯提供向心力。
图2-2-2
3．汽车过凸形桥最高点时，对桥面压力小于汽车重力；汽车过凹形桥最低点时，对桥面压力大于汽车重力。
1．自主思考——判一判
(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。(×)
(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。(×)
(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(×)
(4)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(×)
(5)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(√)
(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(×)
2．合作探究——议一议
(1)如图2-2-3所示，用长短不同、材料和粗细均相同的两根绳子各拴着一个质量相同的小球，在光滑的水平面上做匀速圆周运动，若两个小球以相同的角速度运动，长绳容易断还是短绳容易断？若两个小球以相同的线速度运动呢？
图2-2-3
提示：若两小球角速度相同，由F＝mω2r可知，长绳中张力大，长绳易断。
若两小球线速度相同，由F＝m可知，短绳中张力大，短绳易断。
(2)甲同学认为由公式a＝知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a＝ω2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点。
提示：他们两人的观点都不准确。当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
(3)如图2-2-4所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？
图2-2-4
提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。
对向心力的理解
1．大小：F＝ma＝m＝mω2r＝mωv＝mr
(1)匀速圆周运动中向心力的大小始终不变。
(2)非匀速圆周运动中向心力的大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
2．方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
3．向心力是效果力
(1)向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力。
(2)它的作用效果是只改变速度方向不改变速度大小。
(3)不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力作用迫使物体不断改变速度方向而做圆周运动。
4．向心力的来源
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
[典例]　如图2-2-5所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
图2-2-5
A．P受的摩擦力方向为a
B．P受的摩擦力方向为b
C．P受的摩擦力方向为c
D．P受的摩擦力方向可能为d
[思路点拨]　
[解析]　物块P在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，而重力、支持力合力为零，故物块P的向心力应由指向圆心的静摩擦力来提供，故选C。
[答案]　C
向心力与合外力的辨析
(1)“一定”关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向心力。
(2)“不一定”关系：匀速圆周运动中，向心力就是合外力；非匀速圆周运动中，向心力不是合外力，向心力是合外力沿半径方向的分力，合外力不指向圆心。
(3)“一定不”关系：对物体进行受力分析时，一定不要在分析完重力、弹力、摩擦力等性质力后，又多出一个“向心力”，向心力只是上述性质力合成或分解得到的一个效果力。　　　　
1．(多选)关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是(　　)
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．它是物体所受的合力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析：选BC　做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确。
2．如图2-2-6所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是(　　)
图2-2-6
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：选B　老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。选项B正确。
3. (多选)如图2-2-7所示，一小球用轻绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(　　)
图2-2-7
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力
解析：选CD　小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说向心力是各力沿绳方向的分力的合力，C、D正确。
对向心加速度的理解
1．公式拓展
a＝＝ω2r＝r＝ωv
2．a与r的关系
图像如图2-2-8甲、乙所示。
图2-2-8
由a-r图像可以看出：a与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动，在变速圆周运动(速度大小变化)中，物体的加速度不指向圆心，该加速度沿圆心方向的分量是向心加速度。
[典例]　如图2-2-9所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的，当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
图2-2-9
[思路点拨]　轮上P点和S点属同轴转动，角速度相同，由a＝ω2r可建立联系。轮上P点和Q点属皮带传动，线速度相同，由a＝可建立联系。
[解析]　设S和P到大轮轴心的距离分别为rS和rP，由向心加速度公式a＝rω2，且ωS＝ωP可知，S与P两点的向心加速度之比为＝
解得aS＝aP＝4 m/s2
设小轮半径为rQ，由向心加速度公式a＝，且vP＝vQ，可得P与Q两点的向心加速度之比为＝
解得aQ＝aP＝24 m/s2。
[答案]　4 m/s2　24 m/s2
常用向心加速度的计算公式及关系

1．关于向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A．向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度的大小也可以用a＝来计算
解析：选B　加速度是描述速度变化快慢的物理量，而向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A错误，B正确。根据向心加速度的计算公式a＝可知，只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错误。圆周运动的加速度是时刻改变的，向心加速度是瞬时加速度而不是平均加速度，故不能用a＝来计算，只能用a＝或a＝ω2r＝(2πf)2r＝r来计算，故D错误。
2.2016年1月29日，第十三届全国冬季运动会花样滑冰双人滑自由滑比赛在新疆冰上运动中心短道花样馆结束，哈尔滨队的隋文静和韩聪夺得冠军。如图2-2-10所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。
图2-2-10
解析：男女运动员的转速、角速度是相同的，由ω＝2πn得ω＝2×3.14× rad/s＝3.14 rad/s
由v＝ωr，得r＝＝ m≈1.53 m
由a＝ω2r，得a＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。
答案：3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2
圆周运动中的动力学问题
[典例]　如图2-2-11所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)。已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳中张力达到8kmg时，绳子将被拉断。求：
图2-2-11
(1)转盘的角速度为ω1＝ 时，绳中的张力T1；
(2)转盘的角速度为ω2＝ 时，绳中的张力T2；
(3)要将绳拉断，转盘的最小转速ωmin。
[思路点拨]　
(1)当转速较小时， 由静摩擦力提供物块做圆周运动的向心力。
(2)当转速较大时，由最大静摩擦力和绳上的拉力共同提供物块做圆周运动的向心力。
[解析]　设角速度为ω0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：kmg＝mω02r
解得：ω0＝ 。
(1)当转盘的角速度为ω1＝ 时，因为ω1<ω0，物块所受静摩擦力足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：T1＝0。
(2)当转盘的角速度为ω2＝ 时，因为ω2>ω0，物块所受最大静摩擦力不足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，则绳子有张力。
则有：kmg＋T2＝mω22r
解得：T2＝kmg。
(3)要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，则有：
kmg＋8kmg＝mωmin2r
解得：ωmin＝3。
[答案]　(1)0　(2)kmg　(3)3
圆周运动动力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象：解题时要明确所研究的是哪一个做圆周运动的物体。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。
(3)确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力，这是解题的关键。
(4)根据向心力公式列方程求解。　　　　
1.如图2-2-12所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。下列说法正确的是(　　)
图2-2-12
A．小球A所受的合力小于小球B所受的合力
B．小球A与框架间可能没有摩擦力
C．小球B与框架间可能没有摩擦力
D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
解析：选C　小球受到的合力充当向心力，因为到竖直转轴的距离相等，所以两小球的速度大小相等，半径相等，由F合＝m可知，两小球受到的合力大小相等，A错误；小球A受到的重力竖直向下，受到的支持力垂直圆环该点切线方向背向圆心，故两个力的合力不可能指向竖直转轴，所以一定受到摩擦力作用，小球B受到竖直向下的重力，垂直该点切线方向指向圆心的支持力，合力可能垂直指向竖直转轴，所以小球B可能不受摩擦力作用，B错误，C正确；当圆形框架以更大的角速度转动时，小球B受到的摩擦力可能增大，也可能减小，故D错误。
2.如图2-2-13所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1 kg的小球A，另一端连接质量为M＝4 kg的重物B。求：
图2-2-13
(1)当A球沿半径为R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10 rad/s时，B对地面的压力为多少？
(2)要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10 m/s2)
解析：(1)对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N。
对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力T、地面的支持力N，由力的平衡条件可得
T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T。
将T＝10 N代入上式，可得：N＝4×10 N－10 N＝30 N。
由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30 N，方向竖直向下。
(2)当B对地面恰好无压力时，有：Mg＝T′，拉力T′提供小球A所需向心力，则：
T′＝mRω′2，则ω′＝ ＝  rad/s＝20 rad/s。
即当B对地面恰好无压力时，A球的角速度应为20 rad/s。
答案：(1)30 N，方向竖直向下　(2)20 rad/s
1．(多选)关于向心力的下列说法中正确的是(　　)
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力
D．向心力不但能改变物体的运动方向，而且可以改变物体运动的快慢
解析：选BC　向心力是根据力的作用效果命名的力，而不是一种性质力，物体之所以能做圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合力始终指向圆心，从而只改变物体速度的方向而不改变速度的大小，故选项A、D错误，B、C正确。
2．甲、乙两质点做匀速圆周运动，其半径之比R1∶R2＝3∶4，角速度之比ω1∶ω2＝4∶3，则甲、乙两质点的向心加速度之比a1∶a2是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　因为半径之比R1∶R2＝3∶4，角速度之比ω1∶ω2＝4∶3，根据a＝ω2R得：a1∶a2＝4∶3，故选A。
3. (多选)如图1所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　)
图1
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的线速度大小不变
解析：选AC　匀速圆周运动的向心加速度的计算式有两个：a＝或a＝ω2r，因此不能不加判断就认为a与r成反比或a与r成正比，而只能这样表述：当v的大小相等时，a的大小跟r成反比；当ω相同时，a的大小跟r成正比。B质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化规律是通过原点的一条直线，即a∝r，故C项对。A质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化规律是双曲线的一支，即a∝，故A项对。
4.如图2所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
图2
解析：选C　橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速率不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，选项C正确。
5.如图3所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是(　　)
图3
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin θ＝ D．tan θ＝
解析：选A　小球所受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝mLω2，解得sin θ＝，故A正确，B、C、D错误。
6．A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比sA∶sB＝4∶3，转过的圆心角之比φA∶φB＝3∶2。则下列说法中正确的是(　　)
A．它们的线速度之比vA∶vB＝4∶3
B．它们的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3
C．它们的周期之比TA∶TB＝3∶2
D．它们的向心加速度之比aA∶aB＝3∶2
解析：选A　A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内它们通过的弧长之比为sA∶sB＝4∶3，根据公式v＝，线速度之比为vA∶vB＝4∶3，故A正确；通过的圆心角之比φA∶φB＝3∶2，根据公式ω＝，角速度之比为3∶2，故B错误；由公式T＝，周期之比为TA∶TB＝2∶3，故C错误；根据a＝ωv，可知aA∶aB＝2∶1，故D错误。
7.如图4所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
图4
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C　小车突然停止，B球受到的拉力FB仍然等于小球的重力，A球要做圆周运动，由牛顿第二定律得FA－mg＝m，解得FA＝3 mg，所以FB∶FA＝1∶3，C正确。
8. (多选)如图5所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC距离为，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的(　　)
图5
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
解析：选BC　悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，A错；当半径减小时，由ω＝知ω变大为原来的2倍，B对；再由a＝知向心加速度突然增大为原来的2倍，C对；而在最低点F－mg＝m，故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D错。
9．如图6所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　　)
图6
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C　物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律可知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
10.如图7所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是(　　)
图7
A．它们的角速度相等ωA＝ωB
B．它们的线速度vAC．它们的向心加速度相等
D．A球的向心加速度大于B球的向心加速度
解析：选C　对A、B两球分别受力分析，如图所示。
由图可知
F合＝F合′＝mgtan θ
根据向心力公式有
mgtan θ＝ma＝mω2R＝m
解得
a＝gtan θ
v＝
ω＝ 
由于A球转动半径较大，故A球的线速度较大，角速度较小；两球的向心加速度一样大，故选C。
11.如图8所示，水平长杆AB绕过B端的竖直轴OO′匀速转动，在杆上套有一个质量m＝1 kg的圆环，若圆环与水平杆间的动摩擦因数μ＝0.5，且假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等(g取10 m/s2)，求：
图8
(1)当杆转动的角速度ω＝2 rad/s时，圆环随杆转动的最大半径为多大？
(2)如果水平杆转动的角速度降为ω′＝1.5 rad/s，圆环能否相对于杆静止在原位置，此时它所受的摩擦力有多大？
解析：(1)圆环在水平面内做匀速圆周运动的向心力是杆施加给它的静摩擦力提供的，则最大向心力F向＝μmg，代入公式F向＝mRmaxω2，得Rmax＝，代入数据可得Rmax＝1.25 m。
(2)当水平杆转动的角速度降为1.5 rad/s时，圆环所需的向心力减小，则圆环所受的静摩擦力随之减小，不会相对于杆滑动，故圆环相对于杆仍静止在原来的位置，此时的静摩擦力f＝mRmaxω′2≈2.81 N。
答案：(1)1.25 m　(2)能　2.81 N
12.如图9所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：
图9
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan θ＝mω02lsin θ
解得：ω02＝，即ω0＝＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
mgtan θ＝mω′2lsin θ
解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝2 rad/s。
答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s

火车转弯问题
1．火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图1所示。
图1
2．圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．向心力的来源分析：火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ。
图2
4．规定速度分析：若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mgtan θ＝m，可得v0＝。(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)
5．轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下。
①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力。
②当火车行驶速度v[典例]　有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
[审题指导]　
(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[解析]　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝m＝ N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m。
由此可得tan θ＝＝0.1。
[答案]　(1)105 N　(2)0.1
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。　　　　
[强化训练]
(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是(　　)
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
解析：选AD　设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝；又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝。可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确。
汽车过拱形桥
汽车过凸桥与汽车过凹桥的对比分析
汽车过凸桥
汽车过凹桥
受力
分析
牛顿第
二定律
mg－N＝m
N－mg＝m
牛顿第
三定律
F压＝N＝mg－m
F压＝N＝mg＋m
讨论
v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0
v增大，F压增大
说明
汽车过凸桥速度0≤v<时，0时，汽车将脱离桥面，发生危险
[典例]　如图3所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s；则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取g＝10 m/s2)
图3
[解析]　汽车的向心加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
汽车所需的向心力F＝ma＝1.0×103×2.5 N＝2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力是由重力和支持力的合力提供，如图所示，根据牛顿第二定律，F＝mg－FN＝ma，则FN＝mg－ma＝1.0×103×(10－2.5)N＝7.5×103 N，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力F压＝FN＝7.5×103 N。
[答案]　2.5 m/s2　2.5×103 N　7.5×103 N
汽车过拱形桥问题的解题策略
(1)对汽车过拱形桥问题，首先要分清是凸形桥，还是凹形桥，因为两者的向心力表达式不同。
(2)拱形桥的半径就是汽车做圆周运动的半径。
(3)汽车不在拱形桥最高点或最低点的情形比较复杂，不能直接用重力和支持力相减表示向心力。　　　　
[强化训练]
1．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为(　　)
A．15 m/s　　　　　　　 　B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
解析：选B　当FN＝G时，因为G－FN＝m，所以G＝m，当FN＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s。
2．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员受到的支持力FN最大，驾驶员在此点受到重力mg和向上的支持力FN两个力的作用，由向心力公式可得FN－mg＝m，所以当FN＝9mg时，R＝，选项B正确。
竖直平面内的圆周运动
1.轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型对比
轻绳模型
轻杆模型
情景
图示
弹力
特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力
示意图
力学
方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界
特征
FT＝0，即mg＝
m，得v＝
v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
v＝
的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界点
[典例]　长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图4所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下对杆的作用力(g取10 m/s2)：
图4
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s。
[思路点拨]　零件A在最高点时，杆对零件A的弹力和零件A的重力的合力提供向心力；杆对零件A可能提供支持力，也可能提供拉力。
[解析]　设杆转到最高点，轻杆对零件的作用力恰好为零时，零件的速度为v0，由mg＝得v0＝＝ m/s。
(1)当v1＝1 m/s解得轻杆对零件的支持力F1＝16 N
再由牛顿第三定律得，零件A对轻杆的压力F1′＝F1＝16 N。
(2)当v2＝4 m/s>v0时，轻杆对零件A有向下的拉力，
同理有mg＋F2＝m
解得轻杆对零件的拉力F2＝44 N
由牛顿第三定律，所以零件A对轻杆的拉力F2′＝F2＝44 N。
[答案]　(1)16 N，方向向下　(2)44 N，方向向上
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的类型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。　　　　
[强化训练]
如图6所示，在杂技表演“水流星”中，细绳两端系有装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，水到转动轴的距离L＝0.8 m。求：(取g＝10 m/s2)
图6
(1)水桶经过圆周最高点时水不流出来的最小速率。
(2)水桶在最高点的速率v1＝5 m/s时，水对桶底的压力大小。
(3)若桶和水的总质量M＝1 kg，水桶经过最低点时的速率v2＝6.5 m/s，则此时绳子的拉力是多大？
解析：(1)水恰能沿圆周经过最高点不流出来的条件是重力完全用来提供向心力，且只受重力作用，此时水的速率为满足条件的最小速率，设为v0，由牛顿第二定律得
mg＝m，
得v0＝＝ m/s≈2.8 m/s。
(2)因为v1＝5 m/s>v0，所以桶底对水有竖直向下的作用力，设为N。
由牛顿第二定律得mg＋N＝m，
得N＝m－mg＝0.5× N－0.5×10 N≈10.6 N，
由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小为10.6 N。
(3)将水桶和水看成一个整体，在最低点时，绳子对水桶的拉力指向圆心，和重力一起提供整体所需的向心力，设为F。
由牛顿第二定律得F－Mg＝M，
得F＝Mg＋M＝1×10 N＋1× N ≈62.8 N。
答案：(1)2.8 m/s　(2)10.6 N　(3)62.8 N
现实中的变速圆周运动和一般曲线运动
现实生活中，变速圆周运动和一般曲线运动才是更常见的运动形式。涉及该类问题时，可按如下方法进行处理：
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
[典例]　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图7甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　　)
图7
A. B.
C. D.
[解析]　物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度vP＝v0cos α，最高点重力提供向心力mg＝m，由两式得ρ＝＝。
[答案]　C
变速圆周运动和一般的曲线运动的难点在于物体的速度或(和)半径时刻在变化，一定要注意两者的对应关系，即选定的速度和半径是同一时刻，才能进行分析或列方程求解。　　　　
[强化训练]
1．秋千的吊绳有些磨损。在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千(　　)
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
解析：选D　当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝m知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确。
2.长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿螺旋线自外向内运动，如图8所示。已知其走过的弧长s与时间t的一次方成正比。则关于该行人的运动下列说法错误的是(　　)
图8
A．行人运动的线速度越来越大
B．行人运动的向心加速度越来越大
C．行人运动的角速度越来越大
D．行人所受的向心力越来越大
解析：选A　依题意s＝kt可知该行人线速度大小不变，A错误；由微元法将行人沿螺旋线运动的每一小段视为圆周运动，轨道半径逐渐减小，其向心加速度a＝，越来越大，B正确；运动的角速度ω＝，越来越大，C正确；行人所受的向心力由牛顿第二运动定律得F＝ma，越来越大，D正确。