课件13张PPT。球的体积和表面积1. 柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？
2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之比、三部分的体积之比.球的体积 设球的半径为R，它的体积怎么求呢？你有什么方法吗？ 事实上，如果球的半径为R，那么它的体积为：排液法测小球的体积H小球的体积
等于
它排开液体的体积排液法测小球的体积你还有别的方法吗？ 设球的半径为R，它的表面积怎么求呢？你有什么方法吗？ 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积为：球的表面积球的体积球的表面积球的体积与表面积:都是以R为自变量的函数例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；
(2)球的表面积与圆柱的侧面积.(2) 证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面
半径为R,高为2R.R 例2 如图，已知球O的半径为R,
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，求证：分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等.证明略1.正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 .
2. 若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.
3. 若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 .
4. 若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 . 球的体积公式：
球的表面积公式：再见
1．3.2 球的体积和表面积
预习课本P27～28，思考并完成以下问题
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式是什么？
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( )
答案：(1)√ (2)√
2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是 ( )
A. B. C. D．2πC2
解析：选C 由2πR＝C，得R＝，∴S球面＝4πR2＝.
3．若一个球的直径是10 cm，则它的体积为________ cm3.
解析：由题意知其半径为R＝＝5(cm)，故其体积为V＝πR3＝×π×53＝π(cm3)．
答案：π
球的体积与表面积
[典例] (1)球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C. D.
(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．
[解析] (1)设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.
故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.
[答案] (1)B (2)4π
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即×4π×12＋π×12＝3π.
答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．
[答案] A
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[活学活用]
一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
解析：选B 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，
OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
与球有关的切接问题
题点一：球的外切正方体问题
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
题点二：球的内接长方体问题
2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
答案：14π
题点三：球的内接正四面体问题
3．若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.
题点四：球的内接圆锥问题
4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ＝，高为.
该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
答案：或
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝ ，如图(2)．
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
层级一 学业水平达标
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：选C 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．
V＝π×32×4＋×π×33＝30 π.
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，
则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.
答案：
8．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
答案：
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．
解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，
即R∶R∶R＝1∶4∶9，
∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，
∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
层级二 应试能力达标
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.
2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )
A．32＋π B．32＋2π
C．28＋2π D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝ ＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
解：如右图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.
连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝ cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
8．在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A-BCD，求此正三棱锥的体积．
解：①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．
∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，
∴OH＝＝9，
∴正三棱锥A-BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝×(12)2＝108，
∴V三棱锥A-BCD＝×108×24＝864.
②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A-BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，
∴V三棱锥A-BCD＝×108×6＝216.
综上，可知三棱锥的体积为864或216.
