课件15张PPT。点到直线和两平行直线之间的距离Q思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢? 如图，P到直线l的距离，就是指从点
P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.QQ(x0,y1)(x1,y0)(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.
(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探
求点到直线的距离公式:[思路一]利用两点间距离公式:P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离： 点到直线的距离公式1.求点A(-2，3)到直线3x+4y+3=0的距离.
2.求点B(-5，7)到直线12x+5y+3=0的距离.
3.求点P0(-1，2)到直线2x+y-10=0的距离.例6 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求
△ABC的面积. 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线间的距离：例7 求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2: Ax+By+C2=0的距离是1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，
求a的值.2.求过点A(－1,2),且与原点的距离等于
的直线方程 .2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是当A=0或B=0时,公式仍然成立. 教科书
109页 练习
习题3.3 A组 9，10，B组 2课时跟踪检测（二十） 点到直线的距离、两平行线间的距离
层级一 学业水平达标
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.
C．1 D.
解析：选B 点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B.
2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B.
C．3 D．0或
解析：选D 点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.
3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
4．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
解析：选C 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A. B.
C．4 D．2
解析：选B ∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3，或k＝.
答案：－3或
7．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.
答案：
8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
解：法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
解析：选D ∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，选D.
2．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：选C y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，
由题意，得＝≤，
且k＋2≠－4，即k≠－6，
得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
3．如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选B 因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1.又1<＝，所以满足条件的点P有1个．
4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：选B 将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.
5．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是________．
解析： 表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝.
答案：
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条．
答案：2
7．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：由题意知，若截距为0，
可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13 ＝0.
8．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
解：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝ ，于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
3．3.3&3.3.4 点到直线的距离、两平行线间的距离
1．点到直线的距离公式是什么？
2．两条平行直线间的距离公式是什么？
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b( )
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|( )
(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选D d＝＝.
3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B 由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.
点到直线的距离公式
[典例] 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝
.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[活学活用]
1．若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为( )
A. B．－
C．－或 D．－或
解析：选D 由点到直线的距离公式得＝1，解得a＝或a＝－.
2．已知点P(a，b)在第二象限内，则它到直线x－y＝0的距离是( )
A.(a－b) B．b－a
C.(b－a) D.
解析：选C 点P(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
∵点P在第二象限，∴a<0，b>0，
∴d＝(b－a)．故选C.
两平行线间的距离
[典例] 求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
[活学活用]
1．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为( )
A．－1 B．1
C．0 D．－1或1
解析：选D 由题意，得＝≠，所以a＝－4，c≠－2.所以直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x－2y＋＝0.由两平行线间的距离公式，得＝，即＝2，解得c＝2或－6，所以＝－1或1，故选D.
2．若直线m被平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．
解析：两平行线间的距离d＝＝，故m与l1或l2的夹角为30°.又l1，l2的倾斜角为45°，∴直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
答案：①⑤
距离的综合应用
[典例] 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
[活学活用]
1．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
解析：选B 由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.
2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
答案：3
层级一 学业水平达标
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.
C．1 D.
解析：选B 点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B.
2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B.
C．3 D．0或
解析：选D 点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.
3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
4．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
解析：选C 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A. B.
C．4 D．2
解析：选B ∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3，或k＝.
答案：－3或
7．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.
答案：
8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
解：法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
解析：选D ∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，选D.
2．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：选C y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，
由题意，得＝≤，
且k＋2≠－4，即k≠－6，
得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
3．如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选B 因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1.又1<＝，所以满足条件的点P有1个．
4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：选B 将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.
5．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是________．
解析： 表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝.
答案：
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条．
答案：2
7．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：由题意知，若截距为0，
可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13 ＝0.
8．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
解：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝ ，于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
