课件15张PPT。两条直线的交点坐标 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系. ①两条直线的交点：例1 求下列两条直线的交点：
l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2 =0
2x+y+2 = 0∴l1与l2的交点是M（- 2，2）x= －2
y=2得例2 求经过原点且经过以下两条直
线的交点的直线方程:
l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：解方程组x－2y+2=0
2x－y－2=0∴l1与l2的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为 y=k x把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 y=x.x= 2
y=2得②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系当A1，A2，B1，B2全不为零时（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时,方程组有唯一解⒉当A1B2－A2B1=0, B1C2－B2C1≠0 时,方程组无解⒊当A1B2－A2B1=0,B1C2－B2C1＝0 时,方程组有无穷多解. 上述方程组的解的各种情况分
别对应的两条直线的什么位置关系？例3 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y=0;
（3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;例4 求经过两条直线x+2y－1=0和
2x－y－7=0的交点，且垂直于直线
x+3y－5=0的直线方程.解法1：解方程组∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3(x－3)即 3x－y－10=0.解法2：设所求直线方程为
2x－y－7+λ(x+2y－1)=0经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0解得 λ= 1/7因此, 所求直线方程为3x－y－10=0.1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的
交点在y轴上，则m的值是 ( )
(A)0 (B)－24 (C)±6 (D)以上都不对
2.若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
(A)（- 1，0） (B)（0，1]
(C)（0，1） (D)（1，＋∞）
3.若两直线(3－a)x+4y=4+3a与2x+(5－a)y=7平行，则a的值是( )
(A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错4. 直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0
重合，则必有( )
（A）A1=A2，B1=B2，C1=C2
（B）
（C）两条直线的斜率相等截距也相等
（D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）2. 求经过原点及两条直线l1:x-2y+2=0,
l2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.1. 当k 为何值时，直线 y=kx+3过直线
2x-y+1=0与y=x+5的交点?3. 两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点
在第四象限，则的取值范围是P104页 练习
3．3.1&3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离
1．怎样求两条直线的交点坐标？
2．怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？
3．两点间距离公式是什么？
1．两直线的交点坐标
(1)两直线的交点坐标：
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组
的解是
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
2．两点间距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[点睛] (1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为a－b( )
(2)不论m取何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交( )
答案：(1)× (2)×
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
解析：选C ∵|AB|＝＝5，
∴a＝－5或a＝1.
3．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，
将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案：±6
两条直线的交点问题
[典例] 求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
[解] 法一：(点斜式法)解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.
法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0 ①，
又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝，
将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0.
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
[活学活用]
三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．
解：解方程组得
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.
两点间距离公式
[典例] (1)已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值．
[解] (1)设点P的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ ＝ ，
|PB|＝ ＝ .
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
|PA|＝ ＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝ ＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[活学活用]
已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵|AB|＝ ＝2，
|AC|＝ ＝2，
|BC|＝ ＝2，
∴|AC|＝|BC|.
又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形.
直线恒过定点问题
[典例] 求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
[证明] 法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3,3)．
将点P(－3,3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
解决过定点问题常用的三种方法：
(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．
(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．
(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
[活学活用]
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，
所以不论a取何值，直线l恒过定点A，
又点A在第一象限，
所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．
(2)令x＝0，y＝，
由题意，≤0，解得a≥3.
所以a的取值范围为[3，＋∞).
对称问题
题点一：点关于点对称
1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点
B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
题点二：点关于线对称
2．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
解析：选B 设对称点坐标为(a，b)，
解得即Q(－2,5)．
题点三：线关于点对称
3．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
解析：选D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，
则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
解：在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
题点五：距离和(差)最值问题
5．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
层级一 学业水平达标
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1) B．(1,4)
C. D.
解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.
C．2 D．不能确定
解析：选B 由kAB＝1，得＝1，
∴b－a＝1.
∴|AB|＝ ＝＝.
3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
解析：选A (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
由得
4．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2 B．4
C．5 D.
解析：选D 根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
5．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
解析：选B 设P(x，y)，
则＝，
即3x＋y＋4＝0.
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
7．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
解析：由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，
即5x－15y－18＝0.
答案：5x－15y－18＝0
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即＝
，
解得a＝－，故P点的坐标是.
答案：
9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，
即10x－3y＋8＝0.
10．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：
(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；
(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；
(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m＝，n＝－.
(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，
∴解得或
(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0.∴－8＋n＝0，解得n＝8.∴m＝0，n＝8.
而m≠0时，直线l1与l2不垂直．
综上可知，m＝0，n＝8.
层级二 应试能力达标
1．直线l：x＋2y－1＝0关于点(1，－1)对称的直线l′的方程为( )
A．2x－y－5＝0 B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选C 由题意得l′∥l，故设l′：x＋2y＋c＝0，在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1，－1)的对称点是A′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c＝0，即c＝3，故直线l′的方程为x＋2y＋3＝0，故选C.
2．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
解析：选D 直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选 D.
3．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上的任意一点，点M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，
M为PQ的中点，
若|AM|＝|PQ|，
则PA⊥QA，即l1⊥l2，
∴1×m＋(－2)×1＝0，
解得m＝2.
4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C. D．(－2,2)
解析：选C 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组并解得所以点P.
5．若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是________．
解析：当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}．
答案：{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
解析：法一：由题意知直线l过定点P(0，－)，
直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，
如图所示，要使两直线的交点在第一象限，
则直线l在直线AP与BP之间，
而kAP＝＝，∴k>.
法二：解方程组得
由题意知x＝>0且y＝>0.
由>0可得3k＋2>0，
∴6k－2>0，解得k>.
答案：
7．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．
解：如图，BE，CF分别为∠B，∠C的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上．
∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，
∴A′(6,0)．
∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，∴A″.
∴直线A′A″的方程是y＝(x－6)，
即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．
由得B，
由得C(6,0)，
∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直线方程是x－y－6＝0.
8．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0
解：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2·(y－2)，都过点(2,2)，如图：
设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，
则k1＝∈(0,1)，
k2＝－∈.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．
∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝(2－a)·2＋·(2＋a2)·2＝a2－a＋4＝2＋.
∴当a＝时，四边形OACB的面积最小，其值为.
