课件16张PPT。2.3.1直线与平面垂直的判定 1.直线和平面的位置关系有哪几种？ 2.平面内两直线有哪两种重要的位置
关系？平行、垂直 3.空间中什么叫两直线垂直？ 1.田径场地面上竖立的旗杆与地
面的位置关系给人以什么感觉？ 2.将书页打开直立在桌面上,观察书脊AB和桌面的位置关系,给人以什么感觉？ 书脊AB和每页书与桌面的交线的位置关系如何？ 此时，书脊AB和桌面内的每条直线都垂直吗？直线与平面垂直 一条直线和一个平面内的
任意一条直线都垂直，１.定义：其中：α1.判断：(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直(2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直(3) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则
另一条也垂直于这个平面2.下列条件下,直线一定和平面垂直吗?①一条直线和一个平面内的一条直线垂直②一条直线和一个平面内的两条直线垂直③一条直线和一个平面内的无数条直线垂直 若直线l和平面α内的两条相交直
线m,n都垂直,则直线l垂直平面α. ２.判定定理：线不在多,重在相交已知：3. 判断命题是否正确：(1) 垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边(2) 垂直于梯形两边的直线必垂直于另外的两边(3) 若三条共点的直线两两垂直，则其中一 条垂直于另两条直线所确定的平面例1所以m⊥平面ABC，所以m⊥BC.4. 已知：m⊥AB，m⊥AC，
求证：m⊥BC证明：且AB∩AC＝A，m⊥AC，因为m⊥AB，例2 有一根旗杆AB
高8 cm,它的顶端A挂
有两条长10 m的绳子，
拉紧绳子并把它的下
端放在地面上的两点
（和旗杆脚不在同一
条直线上 ）C、D. 如果这两点都和旗杆脚B
的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什
么?ABCD例3 已知直线l⊥平面α,垂足为A,直线
AP⊥l.求证：AP在α 内.1. 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程.
2. 直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？1. 课本P67 练习2
2. 求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直.
3. 思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？课时跟踪检测（十二） 直线与平面垂直的判定
层级一 学业水平达标
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β
解析：选B A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.
2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
解析：选D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.
3．下列四个命题中，正确的是( )
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D ①②不正确．
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l⊥AC.
5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．
答案：a，b相交
7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案：45°
8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形.
答案：菱形
9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.
求证：BD⊥平面ACD.
证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.
又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.
∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD-A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1.
∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，EO＝EF＝B1C＝，
AE＝＝ ＝，
∴sin∠EAO＝＝.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
层级二 应试能力达标
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 ( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案：B
2．下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．
4．如图，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )
解析：选D 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选D.
5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即
直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan∠FEB＝.
答案：
6.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)
解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.
折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.
答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
求证：D′H⊥平面ABCD.
证明：由已知得，AC⊥BD，AD＝CD，
又由AE＝CF，得＝，
故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD.
8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，
∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
2．3.1 直线与平面垂直的判定
预习课本P64～66，思考并完成以下问题
1．直线与平面垂直的定义是怎样的？
2．直线与平面垂直的判定定理是什么？
3．直线与平面所成的角是怎样定义的？
4．直线与平面所成的角的范围是什么？
1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α.
[点睛]
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
[点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )
(2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b( )
(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l?α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；
(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.
∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
对直线与平面垂直的判定定理的理解
[典例] 下列说法正确的有________(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，故②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正确．
[答案] ②
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
[活学活用]
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：选C ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.
答案：①③④
线面垂直的判定
[典例] 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
[活学活用]
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．
[解] 如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，
∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，
∴O为△ABC的外心．
∵△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心．
∵SO⊥平面ABC，
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，
∴cos∠SAO＝＝，
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
求斜线与平面所成的角的步骤
(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[活学活用]
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．
解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥平面AB1C1D，
即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.
答案：(1)45° (2)30° (3)90°
层级一 学业水平达标
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β
解析：选B A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.
2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
解析：选D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.
3．下列四个命题中，正确的是( )
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D ①②不正确．
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l⊥AC.
5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．
答案：a，b相交
7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案：45°
8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.
求证：BD⊥平面ACD.
证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.
又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.
∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD-A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1.
∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，EO＝EF＝B1C＝，
AE＝＝ ＝，
∴sin∠EAO＝＝.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
层级二 应试能力达标
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 ( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案：B
2．下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．
4．如图，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )
解析：选D 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选D.
5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即
直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan∠FEB＝.
答案：
6.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)
解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.
折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.
答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
求证：D′H⊥平面ABCD.
证明：由已知得，AC⊥BD，AD＝CD，
又由AE＝CF，得＝，
故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD.
8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，
∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
