课件16张PPT。2.2.2平面与平面平行的判定 1. 建筑师如何检验屋顶平面
是否与水平面平行？ 2. 如果平面α内的任意直线都
平行于平面β，则α∥β吗？3. 若平面α内有一条直线a平行
于平面β，则能保证α∥β吗？ 4. 若平面α内有两条直线a、b
都平行于平面β，能保证α∥β吗？ 一个平面内的两条
相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.二、平面与平面平行1.判定定理：线不在多,
重在相交.1. 判断下列命题是否正确？(1) 平行于同一条直线的两平面平行（×） (2) 若平面α内有两条直线都平行于
平面β，则α∥β.（×） (3) 若平面α内有无数条直线都平
行于平面β，则α∥β.（×）(4) 过平面外一点，只可作1个平
面与已知平行.（√） (5) 设a、b为异面直线，则存在
平面α、β，使（√）一个平面内的两条相交直线分别平行
于另一个平面内的两条直线,则这两个
平面平行.例1 已知 正方体ABCD-A1B1C1D1.
求证:平面AB1C∥平面A1C1D. 如图:已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
P, Q, R,分别为A1A, AB, AD的中点 .
求证：平面PQR∥平面CB1D1.思路分析：连接A1B，
PQ∥ A1B，A1B ∥CD1
故PQ∥CD1，
同理可得RQ∥B1D1. 掌握平面与平面平行的判定定理，并灵活运用.课本第58页练习题
习题2.2 A组第7题 课时跟踪检测（十一） 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质
层级一 学业水平达标
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①?α∥β； ②?α∥β；
③?a∥α； ④?a∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a?α；④有可能a?β.故选C.
5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
解析：选B 由α∥β得AB∥CD.分两种情况：若点P在α，β的同侧，则＝，∴PB＝，∴BD＝；若点P在α，β之间，则有＝，∴PB＝16，∴BD＝24.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.
答案：
7．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，a∥β，则α∥β；
④若a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：②④
9.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
证明：在AB上取一点P，使＝，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又＝，∴＝，∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
10.如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a?α，b?α，c?α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．
2．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．
3．已知平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a?α，b?β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
解析：选D ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，若P，M，N组成的平面与棱CD交于点Q，则PQ＝________.
解析：如图，连接A1C1，AC.
由面面平行的性质可知，PQ∥MN，而MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.
可求得AC＝a，∴＝，
∴＝，得PQ＝a.
答案：a
6.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解：(1)证明：如图所示．
连接AC，CD1，
∵P，Q分别是AD1，AC的中点，
∴PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.因为BF∥
平面AA1C1C，
BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
课时跟踪检测（十） 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定
层级一 学业水平达标
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C 选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
解析：选A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 根据图1和图2可知α与β平行或相交．
5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ .又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.
6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．
答案：l?α
7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
答案：平行
9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.
10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
层级二 应试能力达标
1．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A 画出相应的截面如图所示，即可得答案．
3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
解析：选A 因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.
4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．以上都有可能
解析：选D 若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．
5．在三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________．
解析：如图，延长AG交BC于点F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2.又AE∶ES＝2，∴EG∥SF.又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：平行
6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC， PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．
答案：①②③
7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.
因为FM?平面AEC，
EC?平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．
连接OE，则BM∥OE.
因为BM?平面AEC，OE?平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
又因为FM?平面BFM，BM?平面BFM，FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC，
所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．
又BF?平面BFM，
所以BF与平面AEC没有公共点，
所以BF∥平面AEC.
