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第二章 固体、液体和气体
第七节 气体实验定律(Ⅰ)
[学习目标]1.探究气体等温变化的规律，了解玻意耳定律的内容、表达式及适用条件.2.会运用玻意耳定律解决实际问题.3.理解等温变化的p－V图象．
一、玻意耳定律
1．内容：一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强和体积成反比(填“正比”或“反比”)．
2．公式：p∝或p1V1＝p2V2.
3．条件：气体的质量一定，温度不变．
4．常量的意义
p1V1＝p2V2＝常量C
该常量C与气体的种类、质量、温度有关，对一定质量的气体，温度越高，该常量C越大(填“大”或“小”)．
5．利用玻意耳定律解题的基本思路
(1)明确研究对象，并判断是否满足玻意耳定律的条件．
(2)明确初、末状态及状态参量(p1、V1；p2、V2)．
(3)根据玻意耳定律列方程求解．
注意：用p1V1＝p2V2解题时只要同一物理量使用同一单位即可，不必(填“一定”或“不必”)转化成国际单位制中的单位．
[延伸思考] 打气筒打气过程中，容器中气体的质量发生了变化，玻意耳定律还成立吗？
答案 分析时可以巧妙地选择研究对象，一般选择把容器内原有气体和即将打入的气体看成一个整体作为研究对象，就可以把充气过程的气体变质量问题转化为定质量问题．
二、气体等温变化的图象
[导学探究] 由玻意耳定律可知，一定质量的气体在温度保持不变时，压强和体积的关系为p∝，由数学知识知p－V图象是什么曲线？
答案 p－V图象是双曲线中的一支．
[知识梳理]
1．p－V图象：一定质量的气体，等温变化的p－V图象是双曲线的一支，曲线上的每一个点均表示气体在该温度下的一个状态，而且同一条等温线上每个点对应的p、V坐标的乘积是相等的．一定质量的气体在不同温度下的等
温线是不同的双曲线，且pV乘积越大，温度就越高，图1中T2＞T1.
图1
2.p－图象：一定质量气体的等温变化过程，也可以用p－图象来表示，如图2所示．等温线是通过原点的倾斜直线，由于气体的体积不能无穷大，所以靠近原点附近处等温线应用虚线表示，该直线的斜率k＝pV，故斜率越大，温度越高，图中T2＞T1.
图2
[延伸思考] 在p－图象中，图线是一条过原点的直线，图线在原点及原点附近表示的气体的体积和压强有实际意义吗？
答案 原点表示气体的体积无穷大，气体的压强为零，所以图线在原点及原点附近没有实际意义，故画p－图象时，图线在原点及原点附近要画成虚线.
一、玻意耳定律的应用
例1 如图3所示，是一根一端封闭的粗细均匀的细玻璃管，用一段h＝19.0cm的水银柱将一部分空气封闭在细玻璃管里．当玻璃管开口向上竖直放置时(见图甲)，管内空气柱长L1＝15.0cm，当时的大气压强为p0＝76cmHg，那么，当玻璃管开口向下竖直放置时(见图乙，玻璃管足够长)，管内空气柱的长度该是多少？
图3
答案 25cm
解析 设细玻璃管横截面积为S，设变化后空气柱的长度为L2，
变化前空气柱的体积V1＝L1S＝15S，
压强：p1＝p0＋ph＝(76＋19) cmHg＝95cmHg
变化后空气的体积：V2＝L2S，
压强：p2＝p0－ph＝(76－19) cmHg＝57cmHg
由玻意耳定律得：p1V1＝p2V2，
即：95×15S＝57×L2S，
解得：L2＝25cm
例2 一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞．初始时，管内汞柱及空气柱长度如图4所示．用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止．求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离．已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg，环境温度不变．(结果保留三位有效数字)
图4
答案 144cmHg 9.42cm
解析 设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2.活塞被下推h后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′.以cmHg为压强单位．由题给条件得
p1＝p0＋(20.0－5.00) cmHg＝90cmHg，l1＝20.0cm ①
l1′＝(20.0－) cm＝12.5cm ②
由玻意耳定律得
p1l1S＝p1′l1′S ③
联立①②③式和题给条件得
p1′＝144cmHg ④
依题意
p2′＝p1′ ⑤
l2′＝4.00cm＋cm－h＝11.5cm－h ⑥
由玻意耳定律得
p2l2S＝p2′l2′S ⑦
联立④⑤⑥⑦式和题给条件得
h≈9.42cm.
二、气体等温变化的图象
例3 如图5所示，是一定质量的某种气体状态变化的p－V图象，气体由状态A变化到状态B的过程中，气体分子平均速率的变化情况是( )
图5
A．一直保持不变 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
答案 D
解析 由题图可知，pAVA＝pBVB，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上．由于离原点越远的等温线温度越高，如图所示，所以从状态A到状态B，气体温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小．
气体实验定律?Ⅰ?
1．(玻意耳定律的应用)一定质量的理想气体，压强为3atm，保持温度不变，当压强减小2atm时，体积变化4L，则该气体原来的体积为 ( )
A.LB．2LC.LD．8L
答案 B
解析 由玻意耳定律p1V1＝p2V2得3V＝1×(V＋4)，解得V＝2L.
2.(玻意耳定律的应用)如图6所示，玻璃管粗细均匀(粗细可忽略不计)，竖直管两封闭端内气体长度分别为上端30cm、下端27cm，中间水银柱长10cm.在竖直管上水银柱中间位置接一水平玻璃管，右端开口与大气相通，用光滑活塞封闭5cm长水银柱．大气压p0＝75cmHg.
图6
(1)求活塞上不施加外力时两封闭气体的压强各为多少？
(2)现用外力缓慢推活塞恰好将水平管中水银全部推入竖直管中，求这时上下两部分气体的长度各为多少？
答案 (1)p上＝70cmHg p下＝80cmHg
(2)L上′＝28cm L下′＝24cm
解析 (1)上端封闭气体的压强
p上＝p0－ph＝(75－5) cmHg＝70cmHg
下端封闭气体的压强
p下＝p0＋ph＝(75＋5) cmHg＝80cmHg
(2)设玻璃管横截面积为S，气体发生等温变化，由玻意耳定律得
对上端封闭气体，p上L上S＝p上′L上′S，
对下端封闭气体，p下L下S＝p下′L下′S，
p上′＋15cmHg＝p下′，
L上′＋L下′＝52cm
解得L上′＝28cm，L下′＝24cm.
3．(等温线)如图7所示，D→A→B→C表示一定质量的某种气体状态变化的一个过程，则下列说法正确的是( )
图7
A．D→A是一个等温过程
B．A→B是一个等温过程
C．A与B的状态参量相同
D．B→C体积减小，压强减小，温度不变
答案 A
解析 D→A是一个等温过程，A对；A、B两状态温度不同，A→B的过程中不变，则体积V不变，此过程中气体的压强、温度会发生变化，B、C错；B→C是一个等温过程，V增大，p减小，D错．
4.(气体等温变化的图象)(多选)如图8所示是一定质量的某气体状态变化的p－V图象，则下列说法正确的是( )
图8
A．气体做的是等温变化
B．气体的压强从A到B一直减小
C．气体的体积从A到B一直减小
D．气体的三个状态参量一直都在变
答案 BD
解析 一定质量的气体的等温过程的p－V图象即等温线是双曲线中的一支，显然题图所示
AB图线不是等温线，AB过程不是等温变化过程，选项A错误；从AB图线可知气体从A状态变为B状态的过程中，压强p在逐渐减小，体积V在不断增大，选项B正确，C错误；又因为该过程不是等温变化过程，所以气体的三个状态参量一直都在变化，选项D正确．
题组一 玻意耳定律的应用
1．各种卡通形状的氢气球，受到孩子们的喜欢，特别是年幼的小孩，若小孩一不小心松手，氢气球会飞向天空，上升到一定高度会胀破，是因为( )
A．球内氢气温度升高 B．球内氢气压强增大
C．球外空气压强减小 D．以上说法均不正确
答案 C
解析 氢气球上升时，由于高空处空气稀薄，球外空气的压强减小，球内气体要膨胀，到一定程度时，氢气球就会胀破．
2.(多选)如图1所示，一根一端封闭的玻璃管开口向下插入水银槽中，玻璃管内封有一定质量的气体，管内水银面低于管外，在温度不变时，将玻璃管稍向下插入一些，下列说法正确的是( )
图1
A．玻璃管内气体体积减小
B．玻璃管内气体体积增大
C．管内外水银面高度差减小
D．管内外水银面高度差增大
答案 AD
解析 极限分析法：设想把管压下很深，则易知V减小，p增大，因为p＝p0＋ph，所以h增大，即选项A、D正确．
假设法：将玻璃管向下插入过程中，假设管内气体体积不变，则h增大，p＝p0＋ph增大，由玻意耳定律判得V减小．由V减小得p＝p0＋ph也增大，所以h也增大．
3．(多选)一定质量的气体，在温度不变的条件下，将其压强变为原来的2倍，则( )
A．气体分子的平均动能增大
B．气体的密度变为原来的2倍
C．气体的体积变为原来的一半
D．气体的分子总数变为原来的2倍
答案 BC
解析 温度是分子平均动能的标志，由于温度T不变，故分子的平均动能不变，
据玻意耳定律得p1V1＝2p1V2，得V2＝V1
ρ1＝，ρ2＝
即ρ2＝2ρ1，故B、C正确．
4．如图2所示，某种自动洗衣机进水时，与洗衣缸相连的细管中会封闭一定质量的空气，通过压力传感器感知管中的空气压力，从而控制进水量．设温度不变，洗衣缸内水位升高，则细管中被封闭的空气( )
图2
A．体积不变，压强变小 B．体积变小，压强变大
C．体积不变，压强变大 D．体积变小，压强变小
答案 B
解析 由题图可知空气被封闭在细管内，缸内水位升高时，气体体积减小；根据玻意耳定律，气体压强增大，B选项正确．
5.如图3所示，两端开口的均匀玻璃管竖直插入水银槽中，管中有一段用水银柱h1封闭的一定质量的气体，这时管下端开口处内、外水银面高度差为h2，若保持环境温度不变，当外界压强增大时，下列分析正确的是( )
图3
A．h2变长 B．h2变短
C．h1上升 D．h1下降
答案 D
解析 被封闭气体的压强p＝p0＋ph1＝p0＋ph2，故h1＝h2.随着大气压强的增大，被封闭气体压强也增大，由玻意耳定律知气体的体积减小，气柱长度变短，但h1、h2长度不变，故h1下降，D项正确．
6．大气压强p0＝1.0×105Pa.某容器的容积为20L，装有压强为20×105Pa的气体，如果保持气体温度不变，把容器的开关打开，待气体达到新的平衡时，容器内剩下气体的质量与原来气体的质量之比为( )
A．1∶19 B．1∶20
C．2∶39 D．1∶18
答案 B
解析 由玻意耳定律，得p1V0＝p0V0＋p0V，因V0＝20L，则V＝380L，即容器中剩余20L压强为p0的气体，而同样气压下气体的总体积为400L，所以剩下气体的质量与原来气体的质量之比等于同压下气体的体积之比，即＝，B项正确．
题组二 气体等温变化的图象
7．(多选)下图中，p表示压强，V表示体积，T表示热力学温度，各图中正确描述一定质量的气体发生等温变化的是( )
答案 AB
解析 A图中可以直接看出温度不变；B图说明p∝，即pV＝常数，是等温过程；C图横坐标不是体积V，不是等温线；D图的p－V图线不是双曲线，故也不是等温线．
8.氧气瓶在储存过程中，由于密封不严，氧气缓慢泄漏(设环境温度不变)，其瓶内氧气的压强和体积变化如图4中A到B所示，则瓶内氧气的温度( )
图4
A．一直升高
B．一直下降
C．先升高后降低
D．不变
答案 D
解析 本题考查对玻意耳定律适用条件的掌握．乍一看，本题极易错选B，错误原因是只简单地对A、B及A到B的过程进行分析后，作出各状态下的等温线，如图，从图中可以看出tA＞t1＞t2＞tB，从而误选B，却忽略了“只有一定质量的气体”才满足tA＞t1＞t2＞tB.
密封不严说明漏气，说明气体质量发生变化，“缓慢”说明氧气瓶中氧气可充分同外界进行热交换，隐含与外界“等温”，正确答案应为D.
9.(多选)如图5所示，为一定质量的气体由状态A变到状态B再变到状态C的过程，A、C两点在同一条双曲线上，则此变化过程中( )
图5
A．从A到B的过程温度升高
B．从B到C的过程温度升高
C．从A到C的过程温度先降低再升高
D．A、C两点的温度相等
答案 AD
题组三 综合应用
10.密闭圆筒内有一质量为100g的光滑活塞，活塞与圆筒顶端之间有一根劲度系数k＝20N/m的轻弹簧，圆筒放在水平地面上，活塞将圆筒分成两部分，A室为真空，B室充有空气，平衡时，l0＝0.10 m，弹簧刚好没有形变，如图6所示．现将圆筒倒置，达到新的平衡后，B室的高度是多少？(g取10 m/s2，气体温度保持不变)
图6
答案 0.178m
解析 设开始时B室中，气体压强为p1、体积为V1，圆筒倒置达到平衡后B室中气体压强为p2、体积为V2.弹簧形变量为x，活塞质量为m，横截面积为S.p1＝，V1＝l0S.圆筒倒置平衡后，对活塞受力分析如图所示，其中l为达到新的平衡后B室的高度，依题意有p2S＋mg＝kx，x＝l－l0，
则p2＝，V2＝lS.
温度不变，根据玻意耳定律p1V1＝p2V2，
可知·l0S＝·lS
代入数据解得l≈0.178m.
11．一个气泡从水底升到水面上时，它的体积增大了2倍，设水的密度为ρ＝1×103kg/m3，大气压强p0＝1.0×105 Pa，水底与水面温差不计，求水的深度．(g＝10 m/s2)
答案 20m
解析 气泡在水底时，气泡内气体的压强等于水面上大气压与水的压强之和，气泡升到水面上时，气泡内气体压强减小为大气压，因此体积增大．由于水底与水面温度相同，气泡内气体经历的是一个等温变化过程．
该气泡在水底时体积为V1，压强为p1＝p0＋ρgh
气泡升到水面时的体积为V2，则V2＝3V1，压强为p2＝p0
由玻意耳定律p1V1＝p2V2，得(p0＋ρgh)V1＝p0·3V1
得水深：h＝＝m＝20m.
12.如图7所示，竖直玻璃管里有一段4cm长的水银柱，水银柱的下面封闭着长60cm的空气柱，玻璃管的横截面积是0.1cm2，在温度不变时，如果再向管里装入27.2g的水银，至平衡时，封闭在水银柱下面的空气柱有多高？已知大气压p0＝76cmHg，水银的密度ρ＝13.6×103kg/m3，g取9.8 m/s2.
图7
答案 48cm
解析 管里再装入27.2g水银时，水银柱增加的高度
h＝＝＝m＝0.2m
＝20cm
空气柱初状态时的压强
p1＝p0＋ph1＝80cmHg
空气柱末状态时的压强
p2＝p0＋ph2＝(76＋4＋20) cmHg＝100cmHg
由玻意耳定律得
p1L1S＝p2L2S
则L2＝＝48cm.
