1.二项式定理：
2.通项规律：
3.二项式系数：
第(r+1)项
4.特殊地：
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念
令以x=1得
5. 利用通项公式特定项
4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+…+a7的值是 .
热身训练:
已知
求:(1) ；
(2) ；
(3) ;
(4)
赋值法再思考:
二、应用举例：
1. 利用通项公式求特定项
例2 由 展开式所得的x的多项式中，有理系数项共有多少项？
例3 (1)已知 的第5项的二项式系数与第 3 项
的二项式系数的比是14: 3，求展开式中不含x 的项。
例1 求 展开式中的有理项。
特定项的计算：(必须运用通项公式)
⑤有理系数项：
④有理项：
③常数项：
②含xm 项：
①第m 项：
r = m－1
通项公式中x 的次数为m.
通项公式中x 的次数为0.
通项公式中x 的系数的次数为整数。
通项公式中x 的次数为整数。
2. 定理的逆用
变题 证明：
例4 证明 (1) (课本P37.B2)
3. 求非二项式的特定项系数
例5 求(x2 + 3x +2)5的展开式中含 x 项。
D
A. -297 B.-252 C.297 D.207
变2:求(1-x)6(1+x)4的展开式中x3的系数
变1. 的展开式中的常数项是___
变题 (a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少？
2. 求非二项式的特定项系数
方法1：转化到二项式，用通项公式求系数。
方法2：用组合的思想方法。
练习:
练4 求(1 - x + x2)5(1+x)6 展开式中含 x6 项的系数。
练3 求(x-1) - (x-1)2 + (x-1)3- (x-1)4 + (x-1)5的展开式中x2的系数。
练5 求 展开式中的有理项。
练2 ⑴化简： 1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn
1
2
3
n
小结：
1. 特定项的计算：(必须运用通项公式)
⑤有理系数项：
④有理项：
③常数项：
②含xm 项：
①第m 项：
r = m－1
通项公式中x 的次数为m.
通项公式中x 的次数为0.
通项公式中x 的次数为整数。
通项公式中x 的系数的次数为整数。
2. 求非二项式的特定项系数
方法1：转化到二项式，用通项公式求系数。
方法2：用组合的思想方法。
3. 能利用二项式定理
①逆用定理
②凑用定理
特定项的计算：(必须运用通项公式)
⑤有理系数项：
④有理项：
③常数项：
②含xm 项：
①第m 项：
r = m－1
通项公式中x 的次数为m.
通项公式中x 的次数为0.
通项公式中x 的系数的次数为整数。
通项公式中x 的次数为整数。
2.求(1 + x + x2)(1－x)10展开式中含 x 项的系数
3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿.
5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
6.试判断在 的展开式中有无常数项？
如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
∴
的通项公式是
∴
的展开式中第9项为常数项。
由题意可知，
故存在常数项且为第9项，
常数项
常数项即 项.
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿＿
由此可见，除后两项外均能被100整除
所以 9192除以100的余数是81
5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1（n∈N*）， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
6.试判断在 的展开式中有
无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
由题意可知，
故存在常数项且为第7项，
常数项
常数项即 项.
能力训练3 : (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_____.
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，…….
妙!
复习：
1. 特定项的计算：(必须运用通项公式)
⑤有理系数项：
④有理项：
③常数项：
②含xm 项：
①第m 项：
r = m－1
通项公式中x 的次数为m.
通项公式中x 的次数为0.
通项公式中x 的次数为整数。
通项公式中x 的系数的次数为整数。
2. 求非二项式的特定项系数
方法1：转化到二项式，用通项公式求系数。
方法2：用组合的思想方法。
3. 能利用二项式定理
①逆用定理
②凑用定理
练习:
练4 求(1 - x + x2)5(1+x)6 展开式中含 x6 项的系数。
练3 求(x-1) - (x-1)2 + (x-1)3- (x-1)4 + (x-1)5的展开式中x2的系数。
练5 求 展开式中的有理项。
练2 ⑴化简： 1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn
1
2
3
n
练6 计算（0.997）3的近似值 (精确到0.01)
二项式系数的性质
X
复习回顾:
二项式定理及展开式:
二项式系数
通 项
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
二 项 式 系 数 的 性 质
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一 一
一 二 一
一 三 三 一
一 四 六 四 一
一 五 十 十 五 一
一 六 十五 二十 十五 六 一
表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和
杨辉三角:
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质1：对称性
性质2：增减性与最大值
先增后减：在中间取得最大值
当 n = 6 时,
令:
其图象是7个孤立点
r
6
14
20
O
6
3
f ( r )
函数观点下的二项式系数：
当 n = 7 时,
1
6
9
3
7
f(r)
O
r
21
35
其图象是8个孤立点
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).
A
课堂练习:
A.第6项 B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
C
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
变1： (a+b)11
C
例1:（1+2x)n 展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大项．
解：
得 n = 8
∴二项式系数最大的项是
设第 r +1项系数最大
得 5≤r ≤6
∴系数最大的项是
思考：
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
在(a-2b)10呢？
解：依题意, n 为偶数，且
练习： 已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项。
若将“只有第10项”改为“第10项”呢？
引申：
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
性质3：各二项式系数的和
也就是说, (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n
？
2n
赋值法
例2 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数
的和等于偶数项的二项式系数的和.
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
法可以使问题简单化。通常选取赋值
时取－1，1。
如：已知: x10 =a0+a1(x-2) +a2(x-2)2 +…+ a10(x-2)10,
求： a0 +a1 + a2 +…+ a10的值。
思考:
1.求证：
思考2求证:
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：
再由 得
小结:
2. 数学方法 ： 赋值法
1. 二项式系数的三个性质：
对称性
增减性与最大值
二项式系数和
①常用于求展开式的系数和，或隔项系数和；
②常用 1，-1 进行赋值，但可能用其它数值。
3. 二项展开式中系数最大项的求法：
前提是：各项系数均为正数。
如：已知: x10 =a0+a1(x-2) +a2(x-2)2 +…+ a10(x-2)10,
求： a0 +a1 + a2 +…+ a10的值。
3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
即 3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）
r=5.
即 3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
求1) a3
2)各项系数和
练习: 课本p35. 1,2,3
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
求下列各式的值： (1)a0，a10
(2) a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10
(3) a0+ a2+ a4+…… + a10
例2
1
210
已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列的值：
(1)(a0+a2+…+a100)2－(a1+a3+…+a99)2
(2)a0+a2+…+a100
变式
