备考2019中考数学高频考点剖析
专题二 代数之代数式问题
考点扫描☆聚焦中考
代数式问题，是每年中考的涉及到整式方面的必考内容，考查的知识点包括根据题意写代数式及求值、整式加减乘除运算和因式分解等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解答题中涉及到此类问题。结合2018年全国各地中考的实例和2019年名校模拟试题，我们从三方面进行代数式问题的探讨：
（1）代数式及其求值问题研究；
（2）整式加减乘除等运算；
（3）因式分解．
考点剖析☆典型例题
例1下列计算正确的是（ ）
A．x4+x2=x6 B．（a+b）2=a2+b2 C．（3x2y）2=6x4y2 D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
例2（2018·浙江宁波·4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b
例3先化简，再求值： +，其中a=﹣5．
例4生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
考点过关☆专项突破
类型一 代数式及其求值
1. 当a=3，b=﹣1时，代数式0.5（a﹣2b）的值是（ ）
A．1 B．0.5 C．﹣2.5 D．2.5
2. （2018·浙江临安·3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2 C． D．
3 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低 元后又降 ，现售价为 元，那么该电脑的原售价为（????? ）
A.?元 B.?元?? C.?元??? D.?元
4. 已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是（ ）
A．﹣18 B．﹣12 C．9 D．以上答案都不对
5. 如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．60 B．50 C．25 D．15
6．已知代数式x﹣2y的值是6，则代数式﹣3x+6y+1的值是 ．
7.一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
8. （2018?安顺）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
类型二 整式的加减乘除运算
1. （2018·浙江宁波·4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3?a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
2．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（ ）
A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
3. 如图的面积关系，可以得到的恒等式是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
4. （2018·辽宁省抚顺市）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．（x+3）2=x2+9 C．（xy2）3=x3y6 D．x10÷x5=x2
5. （2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
6. （2018?菏泽）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
7. （2018·浙江衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
8.农户承包果树若干亩，今年投资24400元，收获水果总产量为20000千克．此水果可以在果园直接销售，也可以运去市场销售．已知在果园直接销售每千克售b元．在市场上每千克售a元（b＜a），且农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元．
（1）分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入．
（2）若a=4.5元，b=4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了（2）中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入=总收入﹣总支出）？
9. （2018·浙江宁波·6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．
10.（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M?N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．
类型三 因式分解
1．（2018·浙江衢州·4分）分解因式：x2﹣9= ．
2．（2018?杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．
3．（2018·浙江舟山·4分）分解因式m2-3m=________。
4. （2018·云南省·3分）分解因式：x2﹣4= ．
5. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）分解因式：xy2﹣4x= ．
6. 若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）．
7. 已知m2﹣n2＝16，m+n＝6，则m﹣n＝ ．
8. 若实数a、b、c满足a﹣b＝，b﹣c＝1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 .
9. （2018·浙江宁波·4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为_ .
10. 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是 ．阴影部分小正方形的边长是 ；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二 代数之代数式问题
考点扫描☆聚焦中考
代数式问题，是每年中考的涉及到整式方面的必考内容，考查的知识点包括根据题意写代数式及求值、整式加减乘除运算和因式分解等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解答题中涉及到此类问题。结合2018年全国各地中考的实例和2019年名校模拟试题，我们从三方面进行代数式问题的探讨：
（1）代数式及其求值问题研究；
（2）整式加减乘除等运算；
（3）因式分解．
考点剖析☆典型例题
例1下列计算正确的是（ ）
A．x4+x2=x6 B．（a+b）2=a2+b2 C．（3x2y）2=6x4y2 D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；4C：完全平方公式．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）x4与x2不是同类项，不能合并，故A错误；
（B）（a+b）2=a2+2ab+b2，故B错误；
（C）（3x2y）2=9x4y2，故C错误；
故选（D）
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
例2（2018·浙江宁波·4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b
【考点】整式的混合运算
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解答】解：S1=（AB﹣a）?a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）?a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b?AD﹣ab﹣b?AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
例3先化简，再求值： +，其中a=﹣5．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解： +
=
=
=
=，
当a=﹣5时，原式=．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
例4生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．
【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），
当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；
（2）由题意得：解得xy=24，
而x3y+xy3=xy（x2+y2），
所以可得数字密码为24121．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 代数式及其求值
1. 当a=3，b=﹣1时，代数式0.5（a﹣2b）的值是（ ）
A．1 B．0.5 C．﹣2.5 D．2.5
【解答】解：当a=3，b=﹣1时，
代数式0.5（a﹣2b）=0.5×（3+2）=2.5，
故选：D
2. （2018·浙江临安·3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2 C． D．
【考点】二次根式乘法、积的算术平方，分式的化简
【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．
【解答】解：A、a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；
B、（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；
C、===﹣，错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
运算法则：①am÷an=am﹣n，
②÷=（a≥0，b＞0）．
3. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌的电脑按原价降低 元后又降 ，现售价为 元，那么该电脑的原售价为（? ）
A.?元 B.?元?? C.?元??? D.?元
【分析】根据两次降价前与降价后的关系列代数式表示数量关系即可。
【解析】【解答】由题意可知，降价20%后，售价为b，即降价20%前为b÷(1-20%)，即， 降价20%前又按原价降了a元，所以原价为()元. 故答案为：B。
4. 已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是（ ）
A．﹣18 B．﹣12 C．9 D．以上答案都不对
【分析】已知a2+a﹣3＝0则a2+a＝3，然后把所求的式子利用a2+a表示出来即可代入求解．
【解答】解：∵a2+a﹣3＝0，∴a2+a＝3．
a2（a+4）＝a3+4a2＝a3+a2+3a2＝a（a2+a）+3a2＝3a+3a2＝3（a2+a）＝3×3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的化简求值，正确利用a2+a表示出所求的式子是关键．
5. 如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（ ）
A．60 B．50 C．25 D．15
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可．
【解答】解：由题意可得：a﹣b＝5，ab＝10，
则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝50．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
6．已知代数式x﹣2y的值是6，则代数式﹣3x+6y+1的值是 ﹣17 ．
【解答】解：∵x﹣2y=6，
∴﹣3x+6y+1=﹣3（x﹣2y）+1
=﹣3×6+1
=﹣17．故答案为﹣17．
7. （2018?山东菏泽?3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 15 ．
【考点】33：代数式求值．
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当3x﹣2=127时，x=43，
当3x﹣2=43时，x=15，
当3x﹣2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
8. （2018?安顺）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ﹣1或7 ．
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m﹣3）=±8，进而求出答案．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m﹣3）=±8，
解得：m=﹣1或7，
故答案为：﹣1或7．
类型二 整式的加减乘除运算
1. （2018·浙江宁波·4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3?a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
【考点】同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；
∵a3?a2=a5，∴选项B不符合题意；
∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；
∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
2．计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（ ）
A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）
＝1﹣3ab．故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 如图的面积关系，可以得到的恒等式是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）.故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
4. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．（x+3）2=x2+9 C．（xy2）3=x3y6 D．x10÷x5=x2
【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，以及合并同类项的?法则解答即可．
【解答】解：A.原式不能合并，错误；
B.（x+3）2=x2+6x+9，错误；
C.（xy2）3=x3y6，正确；
D.x10÷x5=x5，错误；
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式，以及合并同类项，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
5. （2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．
故答案为：4．
6. （2018?菏泽）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ﹣12 ．
【分析】根据a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，结合已知数据即可求出代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2），
=ab（a+b）2=﹣3×4=﹣12．
故答案为：﹣12．
7. （2018·浙江衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【考点】完全平方公式
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+==a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
8.农户承包果树若干亩，今年投资24400元，收获水果总产量为20000千克．此水果可以在果园直接销售，也可以运去市场销售．已知在果园直接销售每千克售b元．在市场上每千克售a元（b＜a），且农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需2人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天200元．
（1）分别用含a，b的代数式表示两种方式出售水果的收入．
（2）若a=4.5元，b=4元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到72000元，而且该农户采用了（2）中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入=总收入﹣总支出）？
【解答】解：（1）在果园直接出售收入为20000b元；
将这批水果拉到市场上出售收入为：
20000a﹣×2×100﹣×200
=20000a﹣4000﹣4000
=20000a﹣8000（元）；
（2）当a=4.5时，市场收入为20000a﹣8000=20000×4.5﹣8000=82000（元）．
当b=4时，果园收入为20000b=20000×4=80000（元）．
因为82000＞80000，所以应选择在市场出售；
（3）因为今年的纯收入为82000﹣24400=57600（元），
×100%=25%，
所以增长率为25%．
9. （2018·浙江宁波·6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．
【考点】整式的混合运算﹣﹣化简求值
【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，
当x=﹣时，原式=﹣+1=．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
10.（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M?N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 3=log464 ；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= 1 ．
【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，
又∵m﹣n=logaM﹣logaN，
∴loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36﹣log34，
=log3（2×6÷4），
=log33，
=1，
故答案为：1．
类型三 因式分解
1．（2018·浙江衢州·4分）分解因式：x2﹣9= （x+3）（x﹣3） ．
【考点】平方差公式，分解因式
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
2．（2018?杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= （a﹣b）（a+b+1） ．
【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）
3．（2018·浙江舟山·4分）分解因式m2-3m=________。
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=m2-3m=m·m-3·m=m(m-3) 故答案为m（m-3） 【分析】提取公因式m即可
4. （2018·云南省·3分）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
5. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）分解因式：xy2﹣4x= x（y+2）（y﹣2） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6. 若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 ﹣1 （写出一个即可）．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．
【解答】解：令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），
故答案为：﹣1．
7. 已知m2﹣n2＝16，m+n＝6，则m﹣n＝ ．
【分析】根据（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，再把m2﹣n2＝16，m+n＝6，代入求解．
【解答】解：∵m2﹣n2＝16，m+n＝6，
∴（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，即6（m﹣n）＝16．
∴m﹣n＝＝．故答案是：．
【点评】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键．
8. 若实数a、b、c满足a﹣b＝，b﹣c＝1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 3+
【分析】利用完全平方公式将代数式变形：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，即可求代数式的值．
【解答】解：∵a﹣b＝，b﹣c＝1，
∴a﹣c＝+1
∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝3+
故答案为：3+
【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式将代数式变形是本题的关键．
9. （2018·浙江宁波·4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为_ .
【考点】因式分解
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15
故答案为：﹣15
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10. 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是 m+n ．阴影部分小正方形的边长是 m﹣n ；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
【分析】（1）依据图形即可得到大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；
（2）将等式（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn的左边或右边化简变形，即可得到结论成立．
【解答】解：（1）由图b可得，大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；
故答案为：m+n；m﹣n；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
理由如下：右边＝（m+n）2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2
＝左边，
所以结论成立．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何证法，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
