2018-2019学年人教A版选修2-1 第3章 空间向量与立体几何 单元测试

时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列说法中不正确的是 (　D　)
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
[解析 　只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是 (　D　)
A．1　　　　　　　　　 B．
C． D．
[解析 　因为ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0?k＝．
3．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3， )，〈a，b〉＝，则 等于 (　C　)
A．　 B．－　
C．±　 D．±
[解析 　cos〈a，b〉＝cos＝
＝＝，∴ ＝±．
4．下列各组向量平行的是 (　A　)
A．a＝(1,1，－2)，b＝(－3，－3,6)
B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－2,1)
D．a＝(1,0,0)，b＝(0,0,1)
[解析 　对A，a＝－3b，∴A正确；对B、C、D，不存在λ，使a＝λb，∴a、b不共线，B、C、D不正确．故选A．
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为 (　B　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
[解析 　由题意得＝(0,1,1)，＝(－1,1,0)，cos〈A，A〉＝＝＝，所以A与A的夹角为60°．
6．(2017·安徽合肥高二检测)已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－3,1,2)，点A不在α内，则直线AB与平面α的位置关系为 (　D　)
A．AB⊥α B．AB?α
C．AB与α相交不垂直 D．AB∥α
[解析 　∵n·＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n⊥，而点A不在α内，故AB∥α．
7．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，则·＝ (　B　)
A．1 B．－1
C． D．－
[解析 　如图所示，＝，所以·B＝A·(－)＝－×2×2cos60°＝－1，故选B．
8．(2017·安徽亳州市涡阳四中高二期末)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 (　A　)
A． B．
C． D．
[解析 　如图所示：
∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，
∴∠BCB1＝60°．
∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，
∴∠CDC1＝45°．
连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C．
∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．
不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝＝CD，
∴C1D＝，A1C1＝2．
在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝＝．
故选A．
9．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋ ，则(x，y， )为 (　A　)
A． B．
C． D．
[解析 　连AG1交BC于E，则E为BC中点，
＝(＋)＝(－2＋)，
＝＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1，
∴＝＝(＋)
＝(＋－＋)
＝＋＋，故选A．
10．已知A(－1,1,2)、B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为 (　B　)
A． B．－
C． D．
[解析 　设D(x，y， )，则＝(x＋1，y－1， －2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－ )，
∵＝2，
∴，∴．
∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，
∵⊥，
∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，
∴λ＝－．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为 (　C　)
A．1 B．
C． D．
[解析 　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)、F(2,1，)，所以|EF|＝＝，故选C．
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 (　C　)
A． B．
C． D．
[解析 　如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、 轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)．
从而＝(1,1，－1)、＝(－1,2,0)、＝(－1,0,1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则，即，
得.令a＝2，则n＝(2,1,2)．
所以点E到平面ACD1的距离为
h＝＝＝．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝ 1 .
[解析 　∵a⊥b，∴a·b＝0，即2×(－4)＋1×5＋3x＝0，∴x＝1．
14．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为  .
[解析 　设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，
∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，
设棱台高为h，则tan60°＝，∴h＝，
∴A(0，－，0)，D1(－，0，)，B1(，0，)，C(0，，0)，
∴＝(－，，)，＝(－，，－)，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为．
15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为 45° .
[解析 　由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝，
∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，
取BC边中点E，则
PE＝，AE＝，
又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，
∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∴平面PAE⊥平面ABC，
∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．
16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为  .
[解析 　如图，过B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM＝、BM＝、CN＝、DN＝、MN＝1．
由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.
[解析 　∵BG＝2GD，
∴＝．
又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b，
∴＝＋＝b＋(a＋c－2b)
＝a－b＋c．
18．(本小题满分12分)(2017·黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
[解析 　(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．
∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1．
∵AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B－xy ．
则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．
∴＝(0，－2,2)、＝(2,0,2)．
cos〈，〉＝
＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，
∵θ∈(0，)，∴θ＝．
19．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，△PAC 是边长为2的等边三角形，PB＝，E为PA的中点.
(1)求证：BE⊥平面PAD；
(2)求二面角C－PA－D的余弦值．
[解析 　(1)证明：△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC＝BC，
∴BC∥AD，AB＝BC＝，
∵E为PA的中点，且AB＝PB＝，∴BE⊥PA，
在△PBC中，PC2＝PB2＋BC2，∴BC⊥PB．
又∵BC⊥AB，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB．
∵BC?平面PAB，∴BE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，
又∵PA∩AD＝A，∴BE⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y， 轴，建立空间直角坐标系，则A(0，，0)，B(0,0,0)，C(，0,0)，P(0,0，)，则＝(，－，0)，＝(0，－，)．

设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y， )，则
∴
∴取m＝(1,1,1)
又由(1)知BE⊥平面PAD，故＝(0，，)为平面PAD的一个法向量，
∴cos〈m，〉＝＝，故二面角C－PA－D的余弦值为．
20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
[解析 　(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A．
∴BE⊥平面ACF．
(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝．
故点E到平面ACF的距离为．
21．(本小题满分12分)(2016·四川理，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
[解析 　(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．
延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M为所求的一个点．
理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC＝ED．
所以四边形BCDE是平行四边形．
从而CM∥EB．
又EB?平面PBE，CM?平面PBE，
所以CM∥平面PBE．
(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)方法一　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
从而CD⊥PD．
所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．
所以∠PDA＝45°．
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH．
易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE．
于是CE⊥平面PAH．
所以平面PCE⊥平面PAH．
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE．
所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，
所以AH＝．
在Rt△PAH中，PH＝＝，
所以sin∠APH＝＝．
方法二　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
于是CD⊥PD．
从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．
所以∠PDA＝45°．
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD．
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．
作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xy ，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)，
设平面PCE的法向量为n＝(x，y， )，
由得设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．
设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝．
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为．
22．(本小题满分14分)(2017·天津理，17)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)求二面角C－EM－N的正弦值；
(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
[解析 　如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．
(1)证明：＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
设n＝(x，y， )为平面BDE的一个法向量，
则
即
不妨设 ＝1，可得n＝(1,0,1)，
又＝(1,2，－1)，可得·n＝0．
因为MN?平面BDE，
所以MN∥平面BDE．
(2)解：易知n1＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．
设n2＝(x1，y1， 1)为平面EMN的一个法向量，则
因为＝(0，－2，－1)，＝(1,2，－1)，
所以
不妨设y1＝1，可得n2＝(－4,1，－2)．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，
于是sin〈n1，n2〉＝．
所以二面角C－EM－N的正弦值为．
(3)解：依题意，设AH＝(0≤h≤4)，则H(0,0，h)，进而可得＝(－1，－2，h)，＝(－2,2,2)．
由已知得
|cos〈，〉|＝＝＝，
整理得10h2－21h＋8＝0，
解得h＝或h＝．
所以线段AH的长为或．