2018-2019学年人教A版选修2-1 第2章 圆锥曲线与方程 单元测试

时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2017·浙江，2)椭圆＋＝1的离心率是 (　B　)
A． 　 　 B．　 　
C．　　　 D．
[解析 　∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝．
∴e＝＝．
故选B．
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是 (　D　)
A．2 B．2
C． D．1
[解析 　由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1．
3．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为 (　D　)
A．10 B．20
C．2 D．4
[解析 　由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．
由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16
a2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4，故选D．
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 (　C　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析 　∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝，故渐近线方程为y＝±x．
5．(2017·福州市八县一中高二期末)已知方程(m－3)x2＋(5－m)y2＝(m－3)(5－m)，其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是 (　D　)
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析 　由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．故选D．
6．(2017·全国Ⅲ理，5)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为 (　B　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析 　由y＝x可得＝. ①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9. ②
由①②可得a2＝4，b2＝5．
所以C的方程为－＝1．
故选B．
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 (　C　)
A． B．2
C．4 D．8
[解析 　|AB|＝4，∴准线方程为x＝－4，∴A(－4，2)在双曲线上设方程－＝1(a≠0)，即－＝1，∴a＝2，∴实轴长2a＝4．
8．方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是 (　A　)
[解析 　方程y2＝－x表示焦点在x轴的抛物线，当开口向右时，－>0，∴mn<0，∴mx2＋ny2＝1表示双曲线，选A．
9．(2017·内蒙古乌兰察布市集宁一中高二期末)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是 (　C　)
A．9 B．16
C．25 D．
[解析 　设P(x0，y0)，|PF1|＝5＋x0，|PF2|＝5－x0，
∴|PF1|·|PF2|＝25－x，
∴|PF1|·|PF2|的最大值是25．
故选C．
10．(福建泉州普通高中2017－2018 年质量检测)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋相切，则C的离心率为 (　A　)
A． B．
C．2 D．
[解析 　由题意得，联立直线与抛物线得x2－kx＋＝0，由Δ＝0得k＝±，即＝，所以e＝＝，故选A．
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为 (　D　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析 　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由点(2，)在渐近线上，所以＝，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x准线方程x＝－上，所以c＝，由此可解得a＝2，b＝，所以双曲线方程为－＝1，故选D．
12．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为 (　C　)
A． B．2
C．2 D．3
[解析 　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4．
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2．
故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝ 2 .
[解析 　由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－，0)；故由－＝－可解得p＝2．
14．(2016·山东理，13)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是 2 .
[解析 　如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2．
15．椭圆＋＝1的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上有一点P，∠F1PF2＝30°，则三角形F1PF2的面积为 18－9 .
[解析 　∵椭圆＋＝1，
∴a＝4，b＝3，c＝．
又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝30°，F1、F2为左右焦点，
∴|F1P|＋|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|F1P PF2|－2|F1P|·|PF2|cos30°
＝64－(2＋)|F1P|·|PF2|
＝28，
∴|F1P|·|PF2|＝．
∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin30°
＝××
＝18－9．
故答案为18－9．
16．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1其中真命题的序号是 ③④ (写出所有正确命题的序号)．
[解析 　显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当14时，方程表示双曲线；而当1t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹.
[解析 　设点M的坐标为(x，y)、点A的坐标为(x0，y0)．
由题意得，∴，
又∵点A(x0，y0)在圆(x＋1)2＋y2＝4上，
∴(2x－3)2＋(2y－3)2＝4，
即(x－)2＋(y－)2＝1．
故线段AB的中点M的轨迹是以点(，)为圆心，以1为半径的圆．
18．(本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析 　(1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝．
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
设A(x1，y1)、B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组，
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0．
则x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|．
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝．
19．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7?3，求椭圆和双曲线的方程.
[解析 　①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝．
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4．
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3．
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4．
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1．
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1．
20．(本小题满分12分)点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解析 　(1)由已知可得点A(－6,0)、F(4,0)，设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
由已知得，
消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6．
由于y>0，只能x＝，于是y＝．
∴点P的坐标是．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0，设点M的坐标为(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2．
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
∴d2＝(x－2)2＋y2＝2＋15，
∵－6≤x≤6，∴当x＝时，d取最小值．
21．(2018·全国卷Ⅱ理，19)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析 　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝．
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1．
因此l的方程为y＝x－1．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5．
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
22．(本小题满分12分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解析 　(1)设椭圆的方程
＋＝1(a>b>0)，
∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，
∴，∴.∵a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，故椭圆方程为＋＝1．
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝x＋t．
由，消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4．
另一方面，由直线OA与l的距离等于4，
可得，＝4，∴t＝±2．
由于±2?[－4，4 ，
故符合题意的直线l不存在．