2018-2019学年人教A版选修2-1 第一章常用逻辑用语

第一章检测(A)
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1命题“若A?B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是(　　)
A.0 B.2 C.3 D.4
解析:因为原命题为假,所以其逆否命题为假.因为逆命题为真,所以其否命题为真.故共有2个真命题.
答案:B
2若p:x=2,且y=3,则??p为(　　)
A.x≠2或y≠3
B.x≠2,且y≠3
C.x=2或y≠3
D.x≠2或y=3
解析:因为“且”的否定为“或”,所以??p:x≠2或y≠3.故选A.
答案:A
3如果命题“p∧q”是假命题,“??p”是真命题,那么(　　)
A.命题p一定是真命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q一定是假命题
D.命题q可以是真命题也可以是假命题
解析:由于“非p”是真命题,则p一定是假命题,故A错;由于“p且q”是假命题,p是假命题,则q可能是真命题,也可能是假命题.
答案:D
4“x=2kπ+π4(k∈ )”是“tan x=1”成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:“tan x=1”的充要条件为“x=kπ+π4(k∈ )”,而“x=2kπ+π4(k∈ )”是“x=kπ+π4(k∈ )”的充分不必要条件,故“x=2kπ+π4(k∈ )”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.
答案:A
5命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(　　)
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得x02≥0
D.存在x0∈R,使得x02<0
答案:D
6设命题p:若a>b,则ac>bc,q:ab<0?ab<0,给出下列四个由p,q构成的新命题:(1)p∨q;(2)p∧q;(3)??p;(4)??q.其中真命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由已知可知p为假,q为真,则(1)p∨q为真;(2)p∧q为假;(3)??p为真;(4)??q为假,故选C.
答案:C
7命题“?x∈R,x2≠x”的否定是(　　)
A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x
C.?x0?R,x02≠x0 D.?x0∈R,x02=x0
答案:D
8已知命题p:?x∈R,2x2+2x+12<0;命题q:?x∈R,sin x-cos x=2,则下列判断正确的是(　　)
A.p是真命题 B.q是假命题
C.??p是假命题 D.??q是假命题
解析:因为?x∈R,2x2+2x+12=2x+122≥0,所以p为假命题;
当x=3π4时,sin x-cos x=22?-22=2,
故命题q为真命题.
答案:D
9下列说法错误的是(　　)
A.命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”
B.若命题p:?x∈R,x2+x+1≠0,则??p:?x∈R,x2+x+1=0
C.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
解析:C中“p∨q”为真命题,则p,q不一定均为真命题,可能一真一假.
答案:C
10“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:函数f(x)的图象有以下三种情形:
a=0
a>0
a<0
由图象可知f(x)在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0,故选C.
答案:C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是　.?
答案:圆的切线到圆心的距离等于半径
12“存在α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β”是　　　　　命题(填“全称”或“特称”),该命题是　　　　　(填“真”或“假”)命题.?
答案:特称　真
13存在实数x0,y0,使得2x02+3y02≤0,用符号“?”或“?”可表示为　　　　　　　　　　　　　　　,其否定为　　　　　　　　　　　　　.?
答案:?x0,y0∈R,使2x02+3y02≤0　?x,y∈R,都有2x2+3y2>0
14已知命题甲:x≠1,且y≠2,乙:x+y≠3,则甲是乙的　　　　　　　　　.(填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”)?
解析:非甲:x=1或y=2,非乙:x+y=3.
∵非甲非乙,非乙非甲,
∴乙甲,甲乙,
∴甲是乙的既不充分也不必要条件.
答案:既不充分也不必要条件
15若α表示平面,a,b表示直线,给定下列四个命题:①a∥α,a⊥b?b⊥α;②a∥b,a⊥α?b⊥α;③a⊥α,a⊥b?b∥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b.其中正确命题的序号是　　　　　.?
解析:①错误,b也可能在α内;②正确,a∥b,a⊥α?b⊥α,这是直线与平面垂直的性质;③错误,还有可能b在α内;④正确,这是直线与平面垂直的性质定理.
答案:②④
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)指出下列命题的构成形式,并写出构成它的命题.
(1)36是6与18的倍数;
(2)x=1不是方程x2+3x-4=0的根.
解:(1)是“p∧q”的形式,其中p:36是6的倍数,q:36是18的倍数.
(2)是“??p”的形式,其中p:x=1是方程x2+3x-4=0的根.
17(8分)指出下列各题中,p是q的什么条件:
(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;
(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0;
(4)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC.
分析要求p是q的什么条件,关键在于分析出p能否推出q,q能否推出p.
解:(1)∵(x-2)(x-3)=0x-2=0(可能x-3=0),而x-2=0?(x-2)(x-3)=0,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0?x=1,且y=2?(x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(4)在△ABC中,大边对大角,大角对大边,
则A>B?BC>AC.
故p是q的充要条件.
18(9分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假:
(1)全等三角形一定相似;
(2)末位数字是零的自然数能被5整除;
(3)若x-2+(y+1)2=0,则x=2且y=-1.
解:(1)逆命题:若两个三角形相似,则它们一定全等,假命题;
否命题:若两个三角形不全等,则它们一定不相似,假命题;
逆否命题:若两个三角形不相似,则它们一定不全等,真命题.
(2)逆命题:若一个自然数能被5整除,则它的末位数字是零,假命题;
否命题:若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被5整除,假命题;
逆否命题:若一个自然数不能被5整除,则它的末位数字不是零,真命题.
(3)逆命题:若x=2且y=-1,则x-2+(y+1)2=0,真命题.
否命题:若x-2+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,真命题.
逆否命题:若x≠2或y≠-1,则x-2+(y+1)2≠0,真命题.
19(10分)写出下列命题的否定,并判断原命题与其否定的真假:
(1)所有自然数的平方是正数;
(2)任意实数x都是方程5x-12=0的根;
(3)?x∈R,x2-3x+3>0;
(4)有些合数不是偶数.
解:(1)所有自然数的平方是正数,假命题;
否定:有些自然数的平方不是正数,真命题.
(2)任意实数x都是方程5x-12=0的根,假命题;
否定:?x0∈R,5x0-12≠0,真命题. , ,k
(3)?x∈R,x2-3x+3>0,真命题;
否定:?x0∈R,x02-3x0+3≤0,假命题.
(4)有些合数不是偶数,真命题;
否定:所有的合数都是偶数,假命题.
20(10分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+116a的定义域为R;命题q:不等式2x+1<1+ax对一切正实数x均成立.如果命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
分析p∨q为真命题,p∧q为假命题,则说明p与q中一真一假.先分别求出p和q为真命题对应的a的取值范围,再分p真q假,p假q真这两种情况讨论.
解:命题p为真命题?函数f(x)=lgax2-x+116a的定义域为R?ax2-x+116a>0对任意实数x均成立.
因为当a=0时,-x>0,其解集不为R,所以a≠0,
所以a>0,1-14a2<0,解得a>2.
所以命题p为真命题?a>2.
命题q为真命题?2x+1-12x+1-1x=2xx(2x+1+1)=22x+1+1对一切正实数x均成立.
因为x>0,所以2x+1>1,所以2x+1+1>2,
所以22x+1+1<1.
所以命题q为真命题?a≥1.
根据题意,知命题p与q有且只有一个为真命题,当命题p为真命题,且命题q为假命题时,a不存在;当命题p为假命题,且命题q为真命题时,a的取值范围是[1,2.
综上所述,命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题时,实数a的取值范围是[1,2.