2018-2019学年人教A版选修1-1 第三章 导数及其应用 单元测试

章末评估验收(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．－1
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
答案：A
2．曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线方程为(　　)
A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1
C．y＝－3 D．x＝2
解析：因为y′＝f′(x)＝3x2－6x，则曲线y＝x3－3x2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y－(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.
答案：C
3．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间是(　　)
A．(1，2) B．(－1，1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＜0，可得－1＜x＜1.
答案：B
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，所以 a＝5.
答案：D
5．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是(　　)
A. B.或
C. D.
解析：y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得p点的坐标为或.
答案：B
6．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
解析：f′(x)＝3ax2＋，
所以f′(1)＝3a＋≥－12，
即a＋≥－4，又a<0，有a＋≤－4，
所以a＋＝－4，故a＝－2.
答案：B
7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
解析：设毛利润为L(P)元，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150 P2＋11 700 P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．当20≤P＜30时，L′(P)＞0，L(P)为增函数；当P＞30时，L′(P)＞0，L(P)为减函数，故P＝30为L(P)的极大值点，也是最大值点，此时L(30)＝23 000，即最大毛利润为23 000元．
答案：D
8．已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)
解析：因为x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，所以f(x)为减函数；同理，f(x)在(－2，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．故A图象符合．
答案：A
9．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析：因为[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋g′(x)·f(x)<0，所以函数y＝f(x)g(x)是减函数．所以当af(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)．故选C.
答案：C
10．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a＜0或a＞21 D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋7a＝0，对于此方程，Δ＝4a2－84a，当Δ≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：A
11．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
解析：函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f′(x)在x＝1处的导数值为0，即12－2a－2b ＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤＝＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
答案：D
12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：记函数g(x)＝，则g′(x)＝.
因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，
且g(－1)＝g(1)＝0.
当00，则f(x)>0；
当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，
综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若曲线y＝xa＋1(a∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a＝________．
解析：由题意，知y′＝axa－1，故在点(1，2)处的切线的斜率a，又因为切线过坐标原点，所以a＝＝2.
答案：2
14．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
解析：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．
f′(x)＝＝－，
当x≥2时，f′(x)<0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，
故f(x)max＝f(2)＝＝2.
答案：2
15．当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：记f(x)＝x3－x2－x，
所以f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
又因为f＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，
所以当x∈[－1，2]时，(f(x))max＝2，所以m＞2.
答案：(2，＋∞)
16．函数f(x)＝ax3－3x在区间(－1，1)上为单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2－3，
因为f(x)在(－1，1)上为单调减函数，所以f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≤，因为x∈(－1，1)，所以a≤1.
答案：a≤1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)因为切线与直线y＝－＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，
所以或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1处有极值．
(1)写出函数的解析式；
(2)指出函数的单调区间；
(3)求f(x)在[－1，2]上的最值．
解：(1)y′＝12x2＋2ax＋b，由题设知当x＝与x＝－1时函数有极值，则x＝与x＝－1满足y′＝0，
即解得
所以 y＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)y′＝12x2－6x－18＝6(x＋1)( 2x－3)，列表如下：
x
(－∞，
－1)
－1
y′
＋
0
－
0
＋
y
?↗
y极大值
＝16
?↘
y极小
值＝－
?↗
由上表可知(－∞，－1)和(，＋∞)为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间．
(3)因为f(－1)＝16，f＝－，f(2)＝－11，
所以f(x)在[－1，2]上最小值是－，最大值为16.
19．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：P＝，Q＝.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
解：设对乙种商品投资x万元，则甲种商品投资为(3－x)万元，总利润为y万元．
根据题意，得y＝＋(0≤x≤3)，
y′＝－＋·.令y′＝0，解得x＝.
由实际意义知x＝即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x＝.
因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．
20．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－x2＋2)ex.
当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，又ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．
同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，在(－1，1)上恒成立，又ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1，1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1，1)上恒成立．
设y＝x＋1－，
则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1，1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，故a≥.
所以a的取值范围是.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
(1)解：由f(x)＝x2＋ln x得f′(x)＝x＋，
因为当x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在[1，e]上是增函数．
f(x)max＝f(e)＝e2＋1，
f(x)min＝f(1)＝.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝.
因为x>1，所以F′(x)<0，
所以函数F(x)在(1，＋∞)上是减函数，又因为F(1)＝－，故在[1，＋∞)上有F(x)<0，即f(x)22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)?
解：(1)由f(x)＝2x3－3x，得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.因为f(－2)＝
－10，f＝，f＝－，f(1)＝1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，
整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下：
所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，g(x)在区间(－∞，1]和 (1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，
所以g(x)分别在区间[－1，0]，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞]上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切，过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．