2018-2019学年人教A版选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 单元测试

章末评估验收(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)
A.　　　B．2　　　C．2　　　D．4
解析：方程化为标准方程为－＝1，所以a2＝3，b2＝9.
所以c2＝a2＋b2＝12，所以c＝2，所以2c＝4.
答案：D
2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0，2) B．(0，1)
C．(2，0) D．(1，0)
解析：由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．
答案：D
3．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为(　　)
A．3 B.或3
C. D.或
解析：由题意知m>0，当5>m时，a＝，b＝，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝3；当5答案：B
4．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
解析：依题意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作图可知点P的轨迹为线段．
答案：D
5．双曲线x2－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．1 B.
C．3 D．4
解析：依题意得，c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y＝x，即x－y＝0，因此焦点到渐近线的距离为＝，故选B.
答案：B
6．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
解析：抛物线中2p＝8，p＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，由得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
答案：B
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意有(2b)2＝2a·2c，即4b2＝4ac，
所以 b2＝ac.又b2＝a2－c2，所以 a2－c2＝ac.
两边同除以a2，得1－－＝0.
即有e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案：B
8．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．4
解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，
所以 m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又因为直线l与圆M相切，
所以 c＝1，所以 a2－3＝1，所以 a＝2.
答案：C
9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D．3
解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，
解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝.
答案：A
10．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于P点，则点P的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＜－1)
C．x2＋＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，
则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.
所以 |PM|－|PN|＝
(|PE|＋|ME|)－(|PF|＋|NF|)＝
|MB|－|NB|＝4－2＝2.
所以点P的轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B点)，且a＝1，
所以 c＝3，b2＝8，
所以双曲线方程是x2－＝1(x＞1)．
答案：A
11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)
A. B. C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
所以x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.
因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，
所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.
答案：D
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
解析：由·＝0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需c答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
14．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)，抛物线y2＝4x，焦点为(1，0)，准线为x＝－1，|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
15.如右图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c，0)，所以＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以 e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
答案：
16．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的范围是________．
解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．
当m≠0时，?＝＝＝－，
所以y＝－，所以M的坐标为(，－)，
因为M在抛物线内，则有＞(－)2，
得－＜m＜且m≠0，
综上所述，m∈(－，)．
答案：(－，)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：因为椭圆焦点在x轴上，
所以设椭圆E的方程为＋＝1，半焦距为c(a>0，b>0，c>0)．
由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，
所以b＝1，
又由＝，a2＝b2＋c2，
得a＝2，c＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.
故点A(2，1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A与抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥，
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以椭圆C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和椭圆C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
由＝2得x＝4x，
即＝，
解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
21．(本小题满分12分)(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)， B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝·|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
22．(本小题满分12分)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－
|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x＜0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)＝
·＋·＋·＋·＝
||·||＋||·||＝
(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝
x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝
1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝
8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，
即k＝±1时，·取得最小值16.