2018-2019学年人教A版选修1-1 第一章 常用逻辑用语 单元测试

第一章　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
命题与四种命题之间的关系
3,4,14,17
充分条件与必要条件
2,7,8,20
逻辑联结词
1,5,11,12,18
全称命题与存在命题
9,10,13,19
综合应用
6,15,16,21,22
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.若命题“p且q”为假,且p为真,则(　B　)
(A)“p或q”为假 (B)q为假
(C)q为真 (D)不能判断q的真假
解析:因为“p且q”为假,p为真,
所以q为假.
故选B.
2.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(　D　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:“a+b>0”?/ “ab>0”,例如a=3,b=-1,此时ab=-3<0.
“ab>0”?/ “a+b>0”,例如a=-1,b=-2,此时a+b=-3<0.
所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
故选D.
3.有下列四个命题
①“若b=3,则b2=9”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若c≤1,则x2+2x+c=0有实根”;
④“若A∪B=A,则A?B”的逆否命题.
其中真命题的个数是(　A　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:“若b=3,则b2=9”的逆命题:“若b2=9,则b=3”,假;
“全等三角形的面积相等”的否命题是:“不全等的三角形,面积不相等”,假;
若c≤1,则方程x2+2x+c=0中,Δ=4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根;
“若A∪B=A,则A?B”为假,故其逆否命题为假.
故选A.
4.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是(　A　)
(A)原命题真,逆命题假
(B)原命题假,逆命题真
(C)原命题与逆命题均为真命题
(D)原命题与逆命题均为假命题
解析:因为原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”显然为真,所以原命题为真;逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,反例为a=1.2,b=0.3.故选A.
5.若定义域为R的函数f(x)不是奇函数,则下列命题中一定为真命题的是(　D　)
(A)?x∈R,f(-x)≠-f(x)
(B)?x∈R,f(-x)=f(x)
(C)?x0∈R,f(-x0)=f(x0)
(D)?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
解析:由奇函数的定义可知:?x∈R,f(-x)=-f(x),它的否定:?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0).故选D.
6.下列命题错误的是(　B　)
(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
(B)若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
(C)命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则?p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
(D)“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
解析:由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A为真命题;p∧q为假命题时,p假或q假,故B错误,符合题意;由“非”命题的定义知C正确,不符合题意;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确,不符合题意.故选B.
7.“x=2kπ+(k∈ )”是“tan x=1”成立的(　A　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:tan(2kπ+)=tan =1,
所以充分;但反之不成立,如tan=1.
故选A.
8.不等式2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是(　B　)
(A)-3(C)-解析:2x2-5x-3<0的解集为(x|-对于A,是2x2-5x-3<0的既不充分也不必要条件;
对于B,因为(x|-所以-1对于C,是2x2-5x-3<0的充分条件,
对于D,是2x2-5x-3<0的充要条件.
故选B.
9.下列命题中,是真命题且是特称命题的是(　C　)
(A)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
(B)菱形的两条对角线相等
(C)?x∈R,=x
(D)对数函数在定义域上是单调函数
解析:A中含有全称量词“任意的”,B,D在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等,所以B是假命题,C是特称命题,真命题.故选C.
10.下列命题中的真命题是(　D　)
(A)?x∈[0,],sin x+cos x≥2
(B)?x∈(,π),tan x>sin x
(C)?x∈R,x2+x=-1
(D)?x∈R,x2+2x>4x-3
解析:因为对任意x∈R,有sin x+cos x=sin(x+)≤,所以A假;因为x∈(,π)时,tan x<0,sin x>0,所以B假;因为x2+x+1=(x+)2+>0,所以方程x2+x=-1无解,所以C假;因为x2+2x-(4x-3)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以对任意x∈R,x2+2x-(4x-3)>0恒成立,故D真.故选D.
11.已知命题p:点P在直线y=2x-3上;命题q:点P在直线y=-3x+2上,则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是(　C　)
(A)(0,-3) (B)(1,2)
(C)(1,-1) (D)(-1,1)
解析:因为“p且q”为真命题,所以p,q均为真命题,
所以点P(x,y)是两直线的交点,联立方程组易得P(1,-1).故选C.
12.命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是(　A　)
(A)(-2,1]∪[2,+∞)
(B)(-2,2)
(C)(-2,+∞)
(D)(-∞,2)
解析:因为方程x2+ax+2=0无实根,
所以Δ=a2-8<0,
所以-2所以p:-2因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,
所以a>1.
所以q:a>1.
因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p与q一真一假.
当p真q假时,-2当p假q真时,a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪[2,+∞).
故选A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.命题“?x∈[-2,3],-1解析:全称命题的否定是特称命题,将“?”改为“?”,
将“-1答案:?x∈[-2,3],x≤-1或x≥3
14.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是　　　　.?
解析:原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.
答案:3
15.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“?x>0,f(x)<0”为真,则m的取值范围是　　　　.?
解析:因为函数f(x)=x2+mx+1的图象过点(0,1),
若命题“?x>0,f(x)<0”为真,
则函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点,所以Δ=m2-4>0,且->0,即m<-2,
所以m的取值范围是(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
16.下列四个结论中正确的是　　　　(填序号).?
①“x2+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件;②命题:“?x∈R,sin x≤1”的否定是“?x∈R,sin x>1”;③“若x=,则tan x=1”的逆命题为真命题;④若f(x)是R上的奇函数,则f(log32)+f(log23)=0.
解析:①中“x2+x-2>0”是“x>1”的必要不充分条件,故①错误.
对于②,命题:“?x∈R,sin x≤1”的否定是“?x∈R,sin x>1”,故②正确.
对于③,“若x=,则tan x=1”的逆命题为“若tan x=1,则x=”,其为假命题,故③错误.
对于④,若f(x)是R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0,因为log32=≠-log23,
所以log32与log23不互为相反数,故④错误.
答案:②
三、解答题(共70分)
17.(本小题满分10分)
判断下列语句是否为命题,若是命题,再判断是全称命题还是特称命题,并判断真假.
(1)有一个实数α,tan α无意义;
(2)任何一条直线都有斜率吗?
(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径;
(4)圆内接四边形的对角互补;
(5)对数函数都是单调函数.
解:(1)特称命题.α=时,tan α不存在,所以,特称命题“有一个实数α,tan α无意义”是真命题.
(2)不是命题.
(3)虽然不含有全称量词,但该命题是全称命题.它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径,所以,全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题.
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题且为真命题.
(5)虽然不含全称量词,但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”,所以该命题是全称命题且为真命题.
18.(本小题满分12分)
已知命题p:方程2x2-2x+3=0的两根都是实数;q:方程2x2-2x+3=0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题,并指出其真假.
解:“p或q”的形式:方程2x2-2x+3=0的两根都是实数或不相等.
“p且q”的形式:方程2x2-2x+3=0的两根都是实数且不相等.
因为Δ=24-24=0,
所以方程有两个相等的实根,故p真,q假.
所以p或q真,p且q假.
19.(本小题满分12分)
写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数值,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)p:有的三角形的三条边相等;
(3)p:菱形的对角线互相垂直;
(4)p:存在x∈N,x2-2x+1≤0.
解:(1)p:不论m取何实数值,方程x2+mx-1=0必有实数根;
?p:存在一个实数m,方程x2+mx-1=0没有实数根;
若方程没有实数根,则判别式Δ=m2+4<0,
此时不等式无解,即?p为假命题.
(2)p:有的三角形的三条边相等;
?p:所有的三角形的三条边不都相等,为假命题,正三角形的三条边相等,则命题p是真命题,则??p是假命题.
(3)p:菱形的对角线互相垂直,则p是真命题,
?p:存在一个菱形,则它的对角线互相不垂直,
因为p是真命题,
所以?p是假命题.
(4)p:存在x∈N,x2-2x+1≤0.
?p:任意x∈N,x2-2x+1>0.
因为x2-2x+1=(x-1)2,
所以当x=1时,x2-2x+1=(x-1)2=0,
则命题?p为假命题.
20.(本小题满分12分)
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
证明:充分性:因为m≥2,
所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有实根,
设x2+mx+1=0的两根为x1,x2,
由根与系数的关系知:x1x2=1>0,
所以x1,x2同号,
又因为x1+x2=-m≤-2,
所以x1,x2同为负根.
必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负,且x1·x2=1,
需Δ=m2-4≥0且x1+x2=-m<0,即m≥2.
综上可知,命题成立.
21.(本小题满分12分)
已知p:-x2+6x+16≥0,q:x2-4x+4-m2≤0(m>0).
(1)若p为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若p是q成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:(1)由-x2+6x+16≥0,
解得-2≤x≤8;
所以当p为真命题时,实数x的取值范围为-2≤x≤8.
(2)法一　若q为真,可由x2-4x+4-m2≤0(m>0),
解得2-m≤x≤2+m(m>0).
若p是q成立的充分不必要条件,
则[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集,
所以(两等号不同时成立),得m≥6.
所以实数m的取值范围是[6,+∞).
法二　设f(x)=x2-4x+4-m2(m>0),
若p是q成立的充分不必要条件,
因为x2-4x+4-m2≤0在[-2,8]恒成立,
则有(两等号不同时成立),解得m≥6.
所以实数m的取值范围是[6,+∞).
22.(本小题满分12分)
已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
解:2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p为真,
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,有
所以m<-1.
若q:?x0∈R,+2x0-m-1=0为真,
则方程x2+2x-m-1=0有实根,
所以4+4(m+1)≥0,
所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以-2≤m<-1.
即m的取值范围是[-2,-1).