课件13张PPT。2.3.2平面与平面垂直的判定两个面组成的图形? 从一条直线引出的两个半平
面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.1.二面角：面面棱面面棱2.二面角的表示方法二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ E二面角C－AB－ D类比角与二面角 角 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.面—直线—面
（棱）二面角?—l—?或二面角?—AB—?图形 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角必须满足：二面角的大小用它的平面角的大小来度量∠APB= ∠A1P1B1二面角的平面角的范围: 0??180? 3.二面角的平面角1.定义： 两个平面相交,如果它们所成的
二面角是直二面角,则两个平面垂直. 性质: 1. 凡是直二面角都相等2. 两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角记作α⊥β 两个平面相交,如果其中一
个平面内只有一条直线垂直于另一个
平面,能否得到两个平面垂直？已知：AB⊥β AB
求证： ⊥βaaABCD证明：⊥ ⊥ 在平面 内作BE⊥CD， 则∠ABE是二面角 的平面角AB⊥BE，⊥ABCDE∴∠ABE是直角， 若一个平面经过另一个
平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直2.判定定理：线面垂直面面垂直ABCD例3 如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直
于圆O所在平面,C是圆周上不同于A、B
的任意一点
求证：平面PAC⊥平面PBC.1. 二面角以及平面角的有关概念；
2. 两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？1. 自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补.
2. 在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥l,OB⊥l”？为什么∠AOB 的大小与点O在l上的位置无关？
课时跟踪检测（十三） 平面与平面垂直的判定
层级一 学业水平达标
1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．
解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．
答案：平行
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面AA1C1C.
又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________．
解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
解：∵E为SC中点，且SB＝BC，
∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，
∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.
又SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．
设SA＝AB＝1.
在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.
层级二 应试能力达标
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β.( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：选A ∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
解析：选D 反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.
4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF?平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：取BC中点M，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC，
∴△AMD为直角三角形，
AM＝MD＝a.∴AD＝a×＝a.
答案：a
6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
解析：如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面BCD上的射影为O，连接DO并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角．
在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝·＝，
∴cos∠AEO＝＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．
(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．
解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝.
∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.
∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.
在△AOC中，AO＝CO＝，
∴AC＝.
如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.
∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，
∴BD⊥平面AOC.
∵AH?平面AOC，∴BD⊥AH.
又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.
∴AH⊥BC.
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.
∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.
∵HK?平面AHK，∴BC⊥HK.
∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．
在△AHO中，AH＝，OH＝，
∴CH＝CO＋OH＝＋＝.
在Rt△CKH中，HK＝CH＝.
在Rt△AHK中，tan∠AKH＝＝＝.
∴二面角A-BC-D的正切值为.
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，
AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD.
(2)求二面角P-CD-A的余弦值．
解：(1)证明：连接AE.
∵PA⊥底面ABCD，∴∠PDA是PD与底
面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.
又∵点E是PD的中点，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.
∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.
又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面PDA.
又∵PD?平面PDA，∴BA⊥PD.
又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
∵BE?平面ABE，∴BE⊥PD.
(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，
AB＝BC＝1，AD＝2，
∴AC＝CD＝.∵AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD.
又∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，
∴∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝.
∴cos ∠PCA＝＝＝.
∴所求的二面角的余弦值为.
课时跟踪检测（十四） 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质
层级一 学业水平达标
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：选D 选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
答案：6
7.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC，
∵二角面α-l-β为直二面角，
AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BC?β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.
答案：
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．
解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．
答案：②④
9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．
解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，
∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝.
层级二 应试能力达标
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
解析：选B ∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
4．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2.
答案：∶2
6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
7.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
又CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，
∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE.
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
∴ME⊥侧面BB1C1C.
又AD⊥侧面BB1C1C，
∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，
∴AM∥DE.
∴四边形AMED是平方四边形，
又AM∥CC1，∴DE∥CC1.
∵BD＝CD，∴DE＝CC1，
∴AM＝CC1＝AA1.
∴AM＝MA1.
2．3.2 平面与平面垂直的判定
预习课本P67～69，思考并完成以下问题
1．二面角的定义、表示分别是怎样的？
2．二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？
3．面面垂直是怎样定义的？
4．面面垂直的判定定理的内容是什么？
1．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．
记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q.
(2)二面角的平面角：
①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
②直二面角：平面角是直角的二面角．
[点睛] 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
2．平面与平面垂直
(1)面面垂直的定义
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
记作：α⊥β.
(2)两平面垂直的判定定理：
①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
②图形语言：如图．
③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α?α⊥β.
[点睛] 定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直( )
(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°( )
答案：(1)√ (2)√
2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
答案：D
3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?β
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.
面面垂直的判定
[典例] 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
[证明] 如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(1)证明平面与平面垂直的方法：
①利用定义：证明二面角的平面角为直角；
②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
[活学活用]
1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
解析：选D ∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
二面角的求法
[典例] (1)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
①二面角D′-AB-D的大小为________．
②二面角A′-AB-D的大小为________．
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，
点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．
[解析] (1)①在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小为45°.
②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′-AB-D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小为90°.
[答案] ①45° ②90°
(2)解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝.
∴∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.
(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．
(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．
[活学活用]
如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.
(1)求证：平面ABD⊥平面ABC.
(2)求二面角C-BD-A的余弦值．
解：(1)证明：取AB的中点O，连接OD，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，且DO＝AD.
连接OC，同理得CO⊥AB，
且CO＝AC，
∵AD＝AC，∴DO＝CO＝AC.
∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2，
∴△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO，
又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC.
又∵DO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)取BD的中点E，连接CE，OE.
∵△BCD为等边三角形，∴CE⊥BD.
又∵△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角．
由(1)可证得OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.
∴△COE为直角三角形．
设BC＝1，则CE＝，OE＝，
∴cos∠OEC＝＝，
即二面角C-BD-A的余弦值为.
折叠问题
[典例] 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P-AD-E的大小．
[解] (1)证明：由AB⊥BE，
得AP⊥PE，
同理，DP⊥PE.
又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.
又PE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD，
∴∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角．
又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝，PF＝＝1，
∴cos∠PFE＝＝.
∴二面角P-AD-E的大小为45°.
折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．
[活学活用]
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，
则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
层级一 学业水平达标
1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．
解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．
答案：平行
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面AA1C1C.
又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________．
解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
解：∵E为SC中点，且SB＝BC，
∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，
∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.
又SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．
设SA＝AB＝1.
在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.
层级二 应试能力达标
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β.( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：选A ∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
解析：选D 反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.
4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF?平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：取BC中点M，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC，
∴△AMD为直角三角形，
AM＝MD＝a.∴AD＝a×＝a.
答案：a
6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．
解析：如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面BCD上的射影为O，连接DO并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角．
在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝·＝，
∴cos∠AEO＝＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．
(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．
解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝.
∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.
∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.
在△AOC中，AO＝CO＝，
∴AC＝.
如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.
∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，
∴BD⊥平面AOC.
∵AH?平面AOC，∴BD⊥AH.
又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.
∴AH⊥BC.
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.
∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.
∵HK?平面AHK，∴BC⊥HK.
∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．
在△AHO中，AH＝，OH＝，
∴CH＝CO＋OH＝＋＝.
在Rt△CKH中，HK＝CH＝.
在Rt△AHK中，tan∠AKH＝＝＝.
∴二面角A-BC-D的正切值为.
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，
AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD.
(2)求二面角P-CD-A的余弦值．
解：(1)证明：连接AE.
∵PA⊥底面ABCD，∴∠PDA是PD与底
面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.
又∵点E是PD的中点，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.
∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.
又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面PDA.
又∵PD?平面PDA，∴BA⊥PD.
又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
∵BE?平面ABE，∴BE⊥PD.
(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，
AB＝BC＝1，AD＝2，
∴AC＝CD＝.∵AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD.
又∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，
∴∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝.
∴cos ∠PCA＝＝＝.
∴所求的二面角的余弦值为.
