课件12张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0)圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0) 圆和圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？(1)利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的
大小关系判断：(2)利用两个圆的方程组成方程组的
实数解的个数：例1 已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.1. 已知圆C1 : x2+y2+2x+3y+1=0和圆C2 ：x2+y2+4x+3y+2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系.2. 圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0
的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A、x+y-1=0 B、 2x-y+1=0
C、x-2y+1=0 D、 x-y+1=0 5. 求通过直线l:2x+y+4=0与圆C:
x2+y2+2x-4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆C`的方程. 从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方程.课本130页 练习
习题 4.2 A组
4，5，6，7
4．2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用
1．圆与圆的位置关系有哪几种？它们分别怎样去判断？
2．两圆相交，怎样求公共弦所在的直线方程？
3．两圆相交，圆心连线与两圆的公共弦有什么关系？
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d
＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
[点睛] (1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，
两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案：x＋3y＝0
圆与圆位置关系的判断
[典例] 已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
[解] [法一 几何法]
把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5.
圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－.
而5－<3<5＋，即r2－r1所以两圆的位置关系是相交．
[法二 代数法]
将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0，③
由③得x＝－2y－1，把此式代入①，
并整理得y2－1＝0，④
所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
[活学活用]
到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
解析：到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
答案：4
与两圆相交有关的问题
[典例] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[解] 法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝ ，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
[活学活用]
求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或
所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.
法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.
直线与圆的方程的应用
[典例] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
[解] 以O为坐标原点，OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[活学活用]
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，圆心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，因为>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．
层级一 学业水平达标
1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．内切 D．外切
解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝ ＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．
2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A. B.
C. D．5
解析：选B 由题意，知2r＝ ＝，r＝.
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选C 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝ ＝13，
∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
解析：选B
如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为1 h.
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1?a＝1.
答案：1
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
解析：由已知可设所求的圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
答案：x2＋y2－x－y－＝0
9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2＝2.
层级二 应试能力达标
1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C 依题意可得圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心分别为C1(0,0)，C2(3,4)，则|C1C2|＝ ＝5.又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9.
2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<＋1 B．r>＋1
C．|r－|<1 D．|r－|≤1
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
解析：选D 由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为.设点(－2,0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得
∴所求圆的圆心为(－1，－1)．
又所求圆的半径为，∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
解析：选C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，
∴|AB|＝4.
答案：4
6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
7．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
8．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A(，)，B(0,2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得 或由实际意义知a＝0，b＝，
∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处．
