课件10张PPT。2.2.1直线与平面平行的判定一、直线和平面的位置关系①a β②a∩β=A
或 a β③a∥β 或 a β(2)一条直线和一个平面只有一个公共点,叫做直线与平面相交.(3)直线和平面没有公共点,叫做直线与平面平行.(1)一条直线和一个平面有两个公共点，叫做直线在平面内.(2) (3)合称“直线不在平面内”.二、直线与平面平行 平面外一条直线与此
平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. １.判定定理：即 在证明这个定理之前,我们先从图形上直观观察 证明：例1 例2 在空间四边形ABCD中,E，F分
别是AB，AD的中点,
求证:EF∥平面BCD.1.如图,长方体的六个面都是矩形,则(1)与直线AB平行的平面是(2)与直线AD平行的平面是(3)与直线AA1 平行的平面是平面A1C1 与平面 DC1 平面BC1与平面A1C1 平面BC1与平面 DC1 2. 判断下列说法是否正确：(1) 如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行.(2) 过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行.(3) 如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.错正确错平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 .直线与平面平行的判定定理P61 1, 3, 5
2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定
预习课本P54～57，思考并完成以下问题
1．线面平行的判定定理是什么？
2．判定线面平行的方法有哪些？
3．面面平行的判定定理是什么？
4．判定面面平行的方法有哪些？
1．直线与平面平行的判定
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
[点睛] 用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
2．平面与平面平行的判定
表示
位置
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
?α∥β
[点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α( )
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行( )
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b?α，a∥b
解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
直线与平面平行的判定
[典例] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
[证明] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB綊A1B1綊D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
[活学活用]
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
平面与平面平行的判定
[典例] 已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．
(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
(2)求A′B′∶AB的值．
[解] (1)证明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.
∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，
∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且＝＝2，∴A′B′∥MN.
同理可得B′C′∥NQ.
∵A′B′∥MN，MN?平面ABC，A′B′?平面ABC，
∴A′B′∥平面ABC.
同理可证B′C′∥平面ABC.
又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′?平面A′B′C′，B′C′?平面A′B′C′，
∴平面A′B′C′∥平面ABC.
(2)由(1)知A′B′∥MN，且＝＝，
即A′B′＝MN.
∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB.
∴A′B′＝MN＝×AB＝AB，
∴＝，即A′B′∶AB的值为.
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
[活学活用]
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别
是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
平行中探索存在性问题
[典例] 在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
[解] 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，
AC1的交点．
由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD綊AC，OE綊AC，
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.
解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．
层级一 学业水平达标
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C 选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
解析：选A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 根据图1和图2可知α与β平行或相交．
5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ .又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.
6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．
答案：l?α
7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
答案：平行
9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.
10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
层级二 应试能力达标
1．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A 画出相应的截面如图所示，即可得答案．
3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
解析：选A 因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.
4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．以上都有可能
解析：选D 若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．
5．在三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________．
解析：如图，延长AG交BC于点F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2.又AE∶ES＝2，∴EG∥SF.又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：平行
6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，
E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行.
．答案：①②③
7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.
因为FM?平面AEC，
EC?平面AEC，
所以FM∥平面AEC.
由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．
连接OE，则BM∥OE.
因为BM?平面AEC，OE?平面AEC，
所以BM∥平面AEC.
又因为FM?平面BFM，BM?平面BFM，FM∩BM＝M，
所以平面BFM∥平面AEC，
所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．
又BF?平面BFM，
所以BF与平面AEC没有公共点，
所以BF∥平面AEC.
