备考2019中考数学高频考点剖析
专题六 一元二次方程判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017、2018年全国各地中考典例及其2019年中考名校模拟试题，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨：
（1）判断根的情况；
（2）判断所含字母取值范围；
（3）与其它知识综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
例2已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
例3（2018杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD。
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=a，AC=b；①线段AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由。 ②若线段AD=EC，求 的值．
例4（2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
考点过关☆专项突破
类型一 判断根的情况
1. （2018?泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
2. （2018?山东菏泽?3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
3. 当k为何值时，关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＝－k2＋2k＋3：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实根．
4. (汕尾中考)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
5. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
类型二 判断所含字母取值范围
1．（2018?包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2. （2018·广东·3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
3．（2018·浙江省台州·5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
4. （2018·湖北十堰·7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
5. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
类型三 根的判别式与其它知识点综合考查
1.已知a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则a2﹣2018a+的值为 ．
2．（2018?四川成都?6分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围.
3．（2018?乐山?10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
4. （2018?呼和浩特?7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1?x2=．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题六 一元二次方程判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017、2018年全国各地中考典例及其2019年中考名校模拟试题，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨：
（1）判断根的情况；
（2）判断所含字母取值范围；
（3）与其它知识综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，
解得k>－1.
所以k的最小整数值是0.
以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．
解：不正确．
错误原因：∵当k＝0时，原方程不是一元二次方程，
∴k≠0.
∴k的最小整数值为1.
例2已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.
∴a＋c－2b＋a－c＝0.
∴2a－2b＝0.∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.
∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形．
例3（2018杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD。
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=a，AC=b；①线段AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由。 ②若线段AD=EC，求 的值．
【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据已知可得出△BCD是等腰三角形，可求出∠BCD的度数，从而可求得∠ACD的度数。 （2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出AB的值，①再求出AD的长，再根据AD是原方程的一个根，将AD的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根据已知条件可得出AD=EC=AE= ，将 代入方程化简可得出4ab=3b，就可求出a与b之比。
【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）=59° ∴∠ACD=90°-59°=31° （2）因为BC=a，AC=b，所以AB= 所以AD=AB-BD=
①为 =
=0
所以线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根。
②因为AD=EC=AE=
所以 是方程x2+2ax-b2=0的根，
所以 ，即4ab=3b
因为b≠0，所以 =
例4（2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．
【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．
考点过关☆专项突破
类型一 判断根的情况
1. （2018?泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1?x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1?x2=﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
2. （2018?山东菏泽?3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3. 当k为何值时，关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＝－k2＋2k＋3：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实根．
解：原方程整理为x2－(2k－1)x＋k2－2k－3＝0，
Δ＝(2k－1)2－4(k2－2k－3)＝4k＋13.
(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即
4k＋13>0，解得k>－.
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即
4k＋13＝0，解得k＝－.
(3)当Δ<0时，方程没有实数根，即
4k＋13<0，解得k<－.
4. (汕尾中考)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝.
将a＝代入方程，得x2＋x－＝0.
解得x1＝1，x2＝－.
∴a的值为，方程的另一个根为－.
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
5. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（2m+2）2﹣4×1×（m2﹣4）=8m+20＞0，
∴；
（2）∵m为负整数，
∴m=﹣1或﹣2，
当m=﹣1时，方程x2﹣3=0的根为：，（不是整数，不符合题意，舍去），
当m=﹣2时，方程x2﹣2x=0的根为x1=0，x2=2都是整数，符合题意．
综上所述 m=﹣2．
类型二 判断所含字母取值范围
1．（2018?包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：B．
2. （2018·广东·3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
3．（2018·浙江省台州·5分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m=0，然后解关于m的方程即可，
【解答】解：根据题意得△=32﹣4m=0，
解得m=．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4. （2018·湖北十堰·7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5. （2018·湖北江汉·7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
类型三 根的判别式与其它知识点综合考查
1.已知a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则a2﹣2018a+的值为 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，再利用整体代入的方法变形原式得到a2﹣2018a+＝a+﹣1，然后通分后再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2019a+1＝0，
∴a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，
∴a2﹣2018a+＝2019a﹣1﹣2018a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2019﹣1
＝2018．
故答案为2018．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2018?四川成都?6分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】由题知： .原方程有两个不相等的实数根， ， .
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出b2-ac＞0,解不等式求解即可。
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
3．（2018?乐山?10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
（1）证明：由题意可得：
△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
=1+25m2﹣20m+20m
=25m2+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；
（3）解：由（2）得：当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴ =2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．
4. （2018?呼和浩特?7分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1?x2=．
解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），
∴x2+x=﹣，
∴x2+x+（）2=﹣+（）2，
即（x+）2=，
∵4a2＞0，
∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，
∴x+=±，
∴当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=；
当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣；
∴x1?x2====，
或x1?x2=（﹣）2===，
∴x1?x2=．
