备考2019中考数学高频考点剖析
专题五 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组），是中考必考的内容之一，考查的知识点包括不等式的性质、一元一次不等式的解法、不等式组的解法及其实际应用，总体来看，难度系数低，以选择为主和数轴进行结合考查。也有少量的解析题。解析题主要以设计方案的方程或者函数问题为主。近几年来对不等式(组)考查很少单独命题，多数与其他考点相结合，且难度偏大，但在复习时要认真对待，尤其是优化方案是初中分类讨论思想的体现及培养学生能力的地方。结合2017、2018年全国各地中考典例及其2019年中考模拟试题精选试题，我们从三方面进行对不等式及其不等式组问题的探讨：
（1）不等式性质的考查；
（2）一元一次不等式的解法；
（3）不等式组的解法及其应用．
考点剖析☆典型例题
例1若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
例2解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
3x+（13﹣x）＞17．
例3（2018·山东泰安·3分）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
例4已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ．
例5某学校组织捐物给贫困地区的同学，按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，书比体育用品多150件．用甲、乙两种货车共10辆将物品运往贫困地区，已知甲种货车每辆最多可装书100件和体育用品20件，乙种货车每辆最多可装书30件和体育用品50件．
（1）求捐赠物品书和体育用品各几件？
（2）学校安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）如果甲货车每辆需付800元，乙种货车每辆需付600元，应选择哪种方案可使总费用最少？最少费用是多少元？
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
2. 若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
3.高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克
5. 写出含有解为x＝1的一元一次不等式 （写出一个即可）．
6. 一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？
7. 用不等式表示下列数量的不等关系
（1）x的与6的差大于2；
（2）y的与4的和小于x
（3）a的3倍与b的的差是非负数
（4）x与5的和的30%不大于﹣2．
类型二 一元一次不等式的解法及其应用
1．（2018.四川眉山）不等式﹣2x＞的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1
2. （2018·吉林长春·3分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C．D．
3．不等式x﹣1＜2的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买甲种饮料的瓶数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5. （2018·云南省昆明·8分）（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
类型三 不等式组的解法及其应用
1．（2018·辽宁省阜新市）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
2. （2018·湖北江汉·3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
3. （2018·辽宁省阜新市）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
4. （2018?呼和浩特?3分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
5．不等式组的最大整数解为 ．
6．（2018·浙江省台州·8分）解不等式组：
7. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
8. （2018?广西桂林?6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
9.在等式y＝kx+b（k，b为常数）中，当x＝2时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝4．
（1）求k、b的值；
（2）若不等式5﹣2x＞m+4x的最大整数解是k，求m的取值范围．
10. 某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．
（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？
（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的 少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？
11. （2018·云南省·8分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A.B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．
甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A.B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
12. （2018·湖北咸宁·10分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题五 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组），是中考必考的内容之一，考查的知识点包括不等式的性质、一元一次不等式的解法、不等式组的解法及其实际应用，总体来看，难度系数低，以选择为主和数轴进行结合考查。也有少量的解析题。解析题主要以设计方案的方程或者函数问题为主。近几年来对不等式(组)考查很少单独命题，多数与其他考点相结合，且难度偏大，但在复习时要认真对待，尤其是优化方案是初中分类讨论思想的体现及培养学生能力的地方。结合2017、2018年全国各地中考典例及其2019年中考模拟试题精选试题，我们从三方面进行对不等式及其不等式组问题的探讨：
（1）不等式性质的考查；
（2）一元一次不等式的解法；
（3）不等式组的解法及其应用．
考点剖析☆典型例题
例1若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
例2解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
3x+（13﹣x）＞17．
【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：3x+13﹣x＞17，
2x＞4，
∴x＞2；
把不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点评】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
例3（2018·山东泰安·3分）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有3个整数解，可得答案．
【解答】解：不等式组，
由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组有3个整数解，
解得：7≤2﹣a＜8，
解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
例4已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是 ．
【考点】分式方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
【分析】先解方程组，求得x和y，再根据y＞1和0＜n＜3，求得x的取值范围，最后根据=m，求得m的取值范围．
【解答】解：解方程组，得
∵y＞1
∴2n﹣1＞1，即n＞1
又∵0＜n＜3
∴1＜n＜3
∵n=x﹣2
∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5
∴＜＜
∴＜＜
又∵=m
∴＜m＜
故答案为：＜m＜
例5某学校组织捐物给贫困地区的同学，按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，书比体育用品多150件．用甲、乙两种货车共10辆将物品运往贫困地区，已知甲种货车每辆最多可装书100件和体育用品20件，乙种货车每辆最多可装书30件和体育用品50件．
（1）求捐赠物品书和体育用品各几件？
（2）学校安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）如果甲货车每辆需付800元，乙种货车每辆需付600元，应选择哪种方案可使总费用最少？最少费用是多少元？
考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．
分析： （1）设捐赠物品体育用品x件，则书有（150+x）件，根据等量关系：按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，列出方程求解即可；
（2）设学校安排甲两货车x辆，则乙货车（10﹣x）辆，根据载重量的不等关系，列出不等式即可求解；
（3）分别求出3种方案的总费用，比较大小即可求解．
解答： 解：（1）设捐赠物品体育用品x件，则书有（150+x）件，根据题意，得
x+（150+x）=820，
解得：x=335，
所以书有150+335=485（件）
（2）设学校安排甲两货车x辆，则乙货车（10﹣x）辆，根据题意，得
，
解这个不等式组得≤x≤，
∵x为整数，
∴①学校安排甲两货车3辆，乙货车7辆；
②学校安排甲两货车4辆，乙货车6辆；
③学校安排甲两货车5辆，乙货车5辆；
（3）①学校安排甲货车3辆，乙货车7辆，
费用800×3+600×7=6600（元）；
②学校安排甲货车4辆，乙货车6辆，
费用800×4+600×6=6800（元）；
③学校安排甲货车5辆，乙货车5辆，
费用800×5+600×5=7000（元）；
∵7000＞6800＞6600，
∴选择学校安排甲货车3辆，乙货车7辆哪方案可使总费用最少，最少费用是6600元．
点评： 本题考查一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【分析】根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8．显然是介于﹣8和8之间．
【解答】解：依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴的对称性，在数轴上以原点为中心，两边关于原点对称．
2. 若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3.高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【答案】：B
解析：【解答】根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，故选：B．
【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
4. 已知a＞5，不等式（5﹣a）x＞a﹣5解集为 x＜﹣1 ．
【分析】先由a＞5，得出5﹣a＜0，由不等式的基本性质得出答案．
【解答】解：∵a＞5，
∴5﹣a＜0，
∴解不等式（5﹣a）x＞a﹣5，得x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等号的方向是否改变．
5. 写出含有解为x＝1的一元一次不等式 x＞0（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据一元一次不等式的定义写出的一元一次不等式的解集含有x＝1即可．
【解答】解：例如：x＞0（答案不唯一）．
故答案为：x＞0（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，即有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
6. 一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？
【答案】30≤x≤60．
解析：【解答】∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，
∴一次服用这种药的剂量在30mg～60mg之间，即30≤x≤60．
【分析】用120÷3，120÷4得到每天服用100mg时3次或4次每次的剂量；180÷3，180÷4即可得到每天服用180mg时3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量即可．
7. 用不等式表示下列数量的不等关系
（1）x的与6的差大于2；
（2）y的与4的和小于x
（3）a的3倍与b的的差是非负数
（4）x与5的和的30%不大于﹣2．
【分析】（1）首先表示x的与6的差为x﹣6，再表示大于可得x﹣6＞2；
（2）首先表示y的与4的和为y+4，再表示小于可得y+4＜x；
（3）首先表示a的3倍与b的的差为3a﹣b，再表示“是非负数”即可；
（4）首先表示x与5的和的30%为30%（x+5），再表示“不大于”即可．
【解答】解：（1）x﹣6＞2；
（2）y+4＜x；
（3）3a﹣b≥0；
（4）30%（x+5）≤﹣2．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
类型二 一元一次不等式的解法及其应用
1．（2018.四川眉山）不等式﹣2x＞的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＜﹣1 C．x＞﹣ D．x＞﹣1
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质两边都除以﹣2可得．
【解答】解：两边都除以﹣2可得：x＜﹣，
故选：A．
2. （2018·吉林长春·3分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，
在数轴上表示为，故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
3．不等式x﹣1＜2的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得其正整数解．
【解答】解：移项，得：x＜2+1，
合并同类项，得：x＜3，
所以不等式的正整数解为1、2，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4. 小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买甲种饮料的瓶数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先设小红能买甲种饮料的瓶数是x瓶，则可以买乙饮料（10﹣x）瓶，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费≤50元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可．
【解答】解：设小红能买甲种饮料的瓶数是x瓶，则可以买乙饮料（10﹣x）瓶，由题意得：
7x+4（10﹣x）≤50，
解得：x≤，
∵x为整数，
∴x＝0，1，2，3，
则小红最多能买甲种饮料的瓶数是3瓶．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式．
5. （2018·云南省昆明·8分）（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
【分析】（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元，然后根据等量关系即可列出方程求出答案．
（2）设该用户7月份可用水t立方米（t＞10），根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元
解得：
答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元．
（2）设该用户7月份可用水t立方米（t＞10）
10×2.45+（t﹣10）×4.9+t≤64
解得：t≤15
答：如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米
【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中等题型．
类型三 不等式组的解法及其应用
1．（2018·辽宁省阜新市）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，在数轴上表示为．
故选B．
2. （2018·湖北江汉·3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集和已知得出关于m的不等式，再求出解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞m﹣1，
又∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，
∴m﹣1≤3，
解得：m≤4，
故选：D．
3. （2018·辽宁省阜新市）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，在数轴上表示为．
故选B．
4. （2018?呼和浩特?3分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣2a，
解不等式②得：x＞﹣a+2，
又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴﹣2a≥5或﹣a+2≥5，
解得：a≤﹣2.5或a≤﹣6，
经检验a≤﹣2.5不符合，
故答案为：a≤﹣6．
5．不等式组的最大整数解为 4 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解：解不等式①可得：x＞﹣，
解不等式②可得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最大整数解为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2018·浙江省台州·8分）解不等式组：
【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
【解答】解：
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x＞3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为3＜x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
7. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x≤9，
∴不等式组的解集为2＜x≤9，
不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8. （2018?广西桂林?6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】x<2,图见解析.
【解析】分析：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
详解：去分母得，5x-1<3（x+1），
去括号得，5x-1<3x+3，
移项得，5x-3x<3+1，
合并同类项得，2x<4，
把x的系数化为1得，x<2．
在数轴上表示为：
．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
9在等式y＝kx+b（k，b为常数）中，当x＝2时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝4．
（1）求k、b的值；
（2）若不等式5﹣2x＞m+4x的最大整数解是k，求m的取值范围．
【分析】（1）根据二元一次方程组的求解方法，求出k、b的值各是多少即可．
（2）首先根据一元一次不等式的解法，可得x＜，然后根据不等5﹣2x＞m+4x的最大整数解是k，可得关于m的不等式组，据此求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：
，
解得：；
（2）解不等式5﹣2x＞m+4x，得：x＜，
因为该不等式的最大整数解是k，即﹣3，
所以﹣3＜≤﹣2，
解得：7≤m＜13．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的能力，并根据不等式组的整数解情况列出关于m的不等式组．
10. 某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．
（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？
（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的 少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？
【考点】二元一次方程组的其他应用，一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据两个乡镇买卖两种型号的电脑的数量和费用列出方程组求解。 （2）根据两种型号的电脑的数量关系和总费用列出不等式组求解。
【答案】 （1）设该型号的学生用电脑单价是x万元，教师用笔记本电脑单价是y万元。根据题意，得 解得 答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元。 （2）解：设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（ m-90）台，
依题意得：0.19m+0.3×（ m－90）≤438，
解得m≤1860．
∵m为正整数，
∴m最大=1860
所以 m－90= ×1860－90=282（台）．
答：能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台．
11. （2018·云南省·8分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A.B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．
甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A.B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
【分析】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案；
（2）利用一次函数增减性进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y=120x+200（100﹣x）=﹣80x+20000，
，
解得：72≤x≤86；
（2）∵y=﹣80x+20000，
∴y随x的增大而减小，
∴x=86时，y最小，
则y=﹣80×86+20000=13120（元）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的应用，正确利用表格获得正确信息是解题关键．
12. （2018·湖北咸宁·10分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）8；（3）共有3种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【解析】【分析】（1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可；
（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于=（取整为8）辆，由此即可求出；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．
【详解】（1）设老师有x名，学生有y名，
依题意，列方程组为，
解得：，
答：老师有16名，学生有284名；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于=（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆，
故答案为：8；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
