浦东新区2018学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学 试卷
考生注意：
1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 若集合，集合，则 .
2. 若行列式，则 .
3. 复数的虚部为 （其中为虚数单位）.
4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示）
5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的 倍.
6. 已知函数是偶函数，则的最小值是 .
7. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为 .
8. 已知无穷数列满足则 .
9. 二项式展开式的常数项为第 项.
10. 已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为 .（精确到小数点后一位）
11. 已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.
12. 已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_____________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
（A） （B） （C） （D）
14. 点到直线（为参数，）的距离为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15. 已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16. 已知，则对任意非零实数，方程 的解集不可能为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知正三棱柱中，，延长至，
使.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量，，其中，若函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，，，求的值.
19. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
20. （本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知各项均不为零的数列满足前项的和为，
且. 数列满足.
（1）求；
（2）求；
（3）已知等式对成立. 请用该结论求有穷数列的前项和.
21. （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数的定义域，值域为.
（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）
①，②.
（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域；
（3）若，且对任意的，有，证明：.
高三数学试卷 第4页 共4页
浦东新区2018学年度第二学期高中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：
1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
若集合，集合，则 .
若行列式，则 3 .
复数的虚部为 -1 （其中为虚数单位）.
平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 220 个三角形.（结果用数值表示）
如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍.
已知函数是偶函数，则的最小值是________.
焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为 .
已知无穷数列满足则___0____.
二项式展开式的常数项为第____4_____项.
已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为__________.（精确到小数点后一位）
11. 已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.
12. 已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是 ___
解析：因为，，
所以时满足；
设，则且，
所以函数图像上存在两点关于直线对称，
令
由
设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，
所以，所以，而在上，所以，
从而在有两不等的实数根，
令，所以。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ B ）
（A） （B） （C） （D）
14. 点到直线（为参数，）的距离为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
15. 已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
16. 已知，则对任意非零实数，方程 的解集不可能为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）
已知，正三棱柱中，，延长至，使。
（1）求证：；
（2）求二面角的大小。
（结果用反三角函数值表示）
解：（1）因为是正三棱柱，
所以
，且 ………1分
从而
又
所以， ………1分
………1分
即 ………1分
平面 ………1分
………1分
（2）解法一：
取中点，联结. 所以，………1分
又，故
因为
(
E
) 所以………1分
从而 ………2分
所以为二面角的平面角. …2分
因为
所以， ………1分
二面角的大小为………1分
解法二：
以直线为轴，直线为轴，直线为轴
建立空间直角坐标系.
则
………2分
设平面的一个法向量
则
令，则，所以………2分
又平面的一个方向量………1分
设与的夹角为
则………2分
所以二面角的大小为………1分
解法三：
因为
的射影是
，
，………1分
………2分
………1分
………1分
又
设二面角的平面角为，满足………2分
即， 所以二面角的大小………1分
18. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知向量，，其中，若函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，，，求的值.
解：（1）…………………3分
∵的最小正周期为，∴，∴.…………………3分
（2）设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
∵，∴，即，解得．………3分
∵，∴，∵，∴，∴，，……3分
∵，∴，，∴，∴.……2分
19. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨
（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一
条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”.
求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星
不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）
解：（1）由条件…………………3分
椭圆C的方程为…………………3分
（2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则……………1分
……………1分
……………1分
设……………1分
……………1分
……………1分
……………2分
20. （本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知各项均不为零的数列满足前项的和为，
且. 数列满足.
（1）求；
（2）求；
（3）已知等式对成立. 请用该结论求有穷数列的前项和.
解：（1）因为，
又数列各项均不为零，所以.
当时，，所以.……………2分
当时，，所以.……………2分
（2）由（1）知.……………3分
……………………3分
（3）由（1）知.……………………2分
……………………………………………………………6分
21. （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数的定义域，值域为.
（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）
①，②.
（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域；
（3）若，且对任意的，有，证明：.
解：（1）满足. ……………2分
不满足. ……………2分
（2）因为，所以
即，……………2分
所以
所以……………2分
满足条件的（答案不唯一）. ……………2分
（3）假设存在使得……………1分
又有，
所以，……………1分
结合两式：，所以，
故.……………2分
由于知：.
又.
类似地，由于，
得.……………3分
所以，与矛盾，所以原命题成立. ……………1分
(
1
)
