备考2019中考数学高频考点剖析
专题七 函数之位置与坐标问题
考点扫描☆聚焦中考
位置与坐标问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括点的问题、点的坐标与距离、点的坐标与变换、点的坐标与几何图形面积等四个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的规律探究题在填空或者选择题中出现，难度系数较大。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考典例和2019年名校中考模拟试题精选，我们从四方面进行位置与坐标问题的探讨：
（1）点的位置；
（2）点的坐标与变换．
（3）点的坐标与几何图形面积
考点剖析☆典型例题
例1在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2（2018?临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离 ．
例3如图，AC=BC，点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4，点E是线段CD上任意一点，点F是线段AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2=0．
（1）填空：a=________，b=________；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m= 时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
考点过关☆专项突破
类型一 点的位置
1. （2018?江苏扬州?3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
2. （2018?广安?3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1
3. （2018?湖北黄石?3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2）
4. （2018?湖北荆门?3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
5. （2018?金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
类型二 坐标与变换
1．（2018年江苏省南京市?2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ ， ）．
2．（2017贵州）在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为 ．
3. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
4.（2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
5. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为 ．
6. （2018?资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是 ．
类型三 坐标与图形面积
1. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点在格点上．且A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）
（1）画出△ABC；
（2）求出△ABC的面积；
（3）若把△ABC向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到△A′B′C′，在图中画出△A′B′C′，并写出B′的坐标．
2. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
3. 如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A′B′C′，写出 A′、B′、C′的坐标，并在图中画出平移后图形．
（3）求出三角形ABC的面积．
4.三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣1，4）（﹣4，﹣1）（1，1）．
（1）将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，请画出平移后的三角形A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．
（2）若在第四象限内有一点M（4，m），试用含m的式子表示四边形AOMB′的面积．
（3）在（2）的条件下，是否存在点M，使得四边形A′OMB′的面积与三角形A′B′C′的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题七 函数之位置与坐标问题
考点扫描☆聚焦中考
位置与坐标问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括点的问题、点的坐标与距离、点的坐标与变换、点的坐标与几何图形面积等四个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的规律探究题在填空或者选择题中出现，难度系数较大。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考典例和2019年名校中考模拟试题精选，我们从四方面进行位置与坐标问题的探讨：
（1）点的位置；
（2）点的坐标与变换．
（3）点的坐标与几何图形面积
考点剖析☆典型例题
例1在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点（﹣3，4）的横纵坐标符号分别为：﹣，+，
∴点P（﹣3，4）位于第二象限．
故选：B．
例2（2018?临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是 4 ．
【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．
【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|=4．
故答案为：4．
例3如图，AC=BC，点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4，点E是线段CD上任意一点，点F是线段AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如右图所示，延长CE交AB于G．设AF=x，AE2﹣FE2=y；[来源:Z&xx&k.Com]
∵△AEG和△FEG都是直角三角形
∴由勾股定理得：AE2=AG2+GE2，FE2=FG2+EG2，
∴AE2﹣FE2=AG2﹣FG2，即y=22﹣（2﹣x）2=﹣x2+4x，
这个函数是一个二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为x=2，与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（4，0），顶点为（2，4），自变量0＜x＜4．
所以C选项中的函数图象与之对应．
故选：C．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2=0．
（1）填空：a=________，b=________；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m= 时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【解析】（1）-1；3 （2）解：作MC⊥AB于C，
由点M（﹣2，m）在第三象限，则MC=|m|=-m，
又A（-1，0），B（3，0），则AB=4，
S△ABM=0.5×AB×MC=0.5×4×(-m)=-2m （3）解：由m= -，则S△ABM=-2m=3，
当P在x轴上时，S△pBM=S△ABM即 ?，因此
BP=AB=4，因此点P的坐标为（7,0）；
当P在y轴的正半轴时，如图，S△pBM=S△ABM=3，分别过点P、B、M作PE∥x轴，MD∥x轴，DE∥y轴，
令点P（0，n）则PE=3，BE=n，ED=n+ ，BD= ，MD=5，由S梯形MDEP= S△pBM + S△DBM + S△pBE
即，解得n=0.3，则P（0， ）
当P在y轴负半轴且在MB下方时，求得P（0.， ）
考点过关☆专项突破
类型一 点的位置
1. （2018?江苏扬州?3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】根据地二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
2. （2018?广安?3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，
∴，
解得a＜﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
3. （2018?湖北黄石?3分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2）
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
4. （2018?湖北荆门?3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
5. （2018?金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（ ）
A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．
【解答】解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，
OA=OD﹣AD=40﹣30=10，
∴P（9，10）；
故选：C．
类型二 坐标与变换
1．（2018年江苏省南京市?2分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，再将点A'向下平移4个单位，得到点A″，则点A″的坐标是（ 1 ， ﹣2 ）．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，
∴A′（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：1，﹣2．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
2．（2017贵州）在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：A的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标，
∴平移后A的坐标为（1，﹣1）
故答案为：（1，﹣1）
3. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【分析】依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
4.（2018年江苏省宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+ π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵A（1,0）， ∴OA=1, 又∵∠OAB＝60°， ∴cos60°= , ∴AB=2,OB= , ∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， ∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为： = = + π. 故答案为: + π. 【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1,根据锐角三角形函数可得AB=2，OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：
5. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为 1009 ．
【解答】解：由题意可得，
A1（1，﹣），A2（1，1），A3（﹣2，1），A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），…，
∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，
∴点A2018的横坐标为：1009，
故答案为：1009．
6. （2018?资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是 （0，21007） ．
【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍
∵2018=252×8+2
∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018==21007
故答案为：（0，21007）
类型三 坐标与图形面积
1. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点在格点上．且A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）
（1）画出△ABC；
（2）求出△ABC的面积；
（3）若把△ABC向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到△A′B′C′，在图中画出△A′B′C′，并写出B′的坐标．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）在坐标系内描出A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）三点，顺次连接各点即可；
（2）过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据图形平移的性质画出画出△A′B′C′，并写出B′的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所求；
（2）过C作CD⊥AB于D，则S△ABC=AB?CD=×4×3=6；
（3）如图，△A’B’C’为所求，B′（1，﹣2）．
2. 如图，将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：
（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A1 （4，7） ，B1 （1，2） ，C1 （6，4） ；
（2）画出平移后三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）结合所画图形可得：A1坐标为（4，7），点B1坐标为（1，2），C1坐标为（6，4）．
（2）所画图形如下：
（3）
S△ABC=S矩形EBGF﹣S△ABE﹣S△GBC﹣S△AFC=25﹣﹣5﹣3=．
3. 如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A′B′C′，写出 A′、B′、C′的坐标，并在图中画出平移后图形．
（3）求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）A（﹣2，﹣2），B （3，1），C（0，2）；
（2）△A′B′C′如图所示
A′（﹣3，0）、B′（2，3），C′（﹣1，4）；
（3）△ABC的面积=5×4﹣×2×4﹣×5×3﹣×1×3，
=20﹣4﹣7.5﹣1.5，
=20﹣13，
=7．
4.三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣1，4）（﹣4，﹣1）（1，1）．
（1）将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形A′B′C′，请画出平移后的三角形A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．
（2）若在第四象限内有一点M（4，m），试用含m的式子表示四边形AOMB′的面积．
（3）在（2）的条件下，是否存在点M，使得四边形A′OMB′的面积与三角形A′B′C′的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】：（1）如图所示，A′（4，5），B′（1，0），C′（6，2）；
（2）由图可知，S四边形AOMB′=S△AOB′+S△MOB′=×1×4+×1×（﹣m）=2﹣m；
（3）存在．∵S△A′B′C′=5×5﹣×3×5﹣×2×3﹣×2×5=25﹣﹣3﹣5=，
∴S四边形A′OMB′=S△A′OB′+S△MOB′=×1×5+×4×（﹣m）=﹣2m，
∴﹣2m=，解得m=，∴M（4，）．
