备考2019中考数学高频考点剖析
专题十 函数之二次函数问题
考点扫描☆聚焦中考
二次函数问题，是每年中考的必考内容之一，也是每种类型题中的重头戏、压轴题，考查的知识点包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用和二次函数和几何图形的综合应用等三个大方面，总体来看，难度系数较高，以选择、填空、解析压轴为主。解析题主要以二次函数的综合应用为主，侧重于二次函数、一次函数和几何图形的综合应用为主。结合2017、2018年中考典例和2019年中考模拟试题精选，我们从三方面进行二次函数问题的探讨：
（1）二次函数的图像与性质问题；
（2）二次函数的应用；
（3）二次函数与几何图形的综合应用
考点剖析☆典型例题
例1抛物线y=2（x+1）2+3的顶点坐标（ ）
A． （1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）
例2若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0；
②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
⑤x0＜x1或x0＞x2，
其中正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①②⑤ D．①②④⑤
例3如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
例4如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与抛物线相交于点C，求S△ABO：S△BCD的值.
A．1：8 B．1：6 C．1：4 D．1：3
例5受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
例6如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
考点过关☆专项突破
类型一 二次函数的图像与性质
1. 已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
2. （2018?广安?3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
3如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
4. （2018?山东菏泽?3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. （2018·江苏镇江·2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 ．
7. 已知二次函数y=ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ；若a+b的值为非零整数，则b的值为 ．
8. (2019杭州萧山区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；
（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．
9. （2017?杭州一模）设抛物线y=mx2﹣2mx+3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）．
（1）若a=﹣1，求m，b的值；
（2）若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；
（3）抛物线上有两点P（x1，p）和Q（x2，q），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，试比较p与q的大小．
类型二 二次函数的应用
1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
2. 已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式 ；自变量的取值范围 .
3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
4. 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示．
（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
5. 一服装批发店出售星星童装，每件进价120元，批发价200元，多买优惠；凡是一次买10件以上的，每多买一件，所买的全部服装每件就降低1元，但是最低价为为每件160元，
（1）求一次至少买多少件，才能以最低价购买？
（2）写出服装店一次销售x件时，能获利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲批发了46件，乙批发了50件，店主却发现卖46件赚的钱反而比卖50件赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每件160元至少提高到多少？
6. （2018?天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
7. （2018?衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
8.（2019嘉兴模拟如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
类型三 二次函数与几何图形的综合应用
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
2．(2019杭州萧山区模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
5. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（2）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象求a的取值范围．
6. 如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十 函数之二次函数问题
考点扫描☆聚焦中考
二次函数问题，是每年中考的必考内容之一，也是每种类型题中的重头戏、压轴题，考查的知识点包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用和二次函数和几何图形的综合应用等三个大方面，总体来看，难度系数较高，以选择、填空、解析压轴为主。解析题主要以二次函数的综合应用为主，侧重于二次函数、一次函数和几何图形的综合应用为主。结合2017、2018年中考典例和2019年中考模拟试题精选，我们从三方面进行二次函数问题的探讨：
（1）二次函数的图像与性质问题；
（2）二次函数的应用；
（3）二次函数与几何图形的综合应用
考点剖析☆典型例题
例1抛物线y=2（x+1）2+3的顶点坐标（ ）
A． （1，3） B． （1，﹣3） C． （﹣1，﹣3） D． （﹣1，3）
分析：二次函数的性质．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解答： 解：抛物线y=2（x+1）2+3的顶点坐标（﹣1，3）．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的性质，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
例2若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0；
②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
⑤x0＜x1或x0＞x2，
其中正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①②⑤ D．①②④⑤
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2﹣4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；⑤根据③可得出⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，①正确；
②∵图象上有一点M（x0，y0），
∴a+bx0+c=y0，
∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；
③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，
∴x1＜x0＜x2；
当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，
∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），
∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，
∴y0=a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；
⑤根据③即可得出⑤错误．
综上可知正确的结论有①②④．
故选B．
例3如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．
解答： 解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴=（）2=（）2=．
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．
例4如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与抛物线相交于点C，求S△ABO：S△BCD的值.
A．1：8 B．1：6 C．1：4 D．1：3
【考点】二次函数的性质．
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，结合点的坐标利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式，联立一次函数与二次函数解析式解出交点C的坐标，根据两点间的距离公式求出线段BC、AB的长度，再借用点到直线的距离公式寻找到点D、O到直线AB的距离间的关系，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，
将点A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b中得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
将点B（0，2）代入到y=a（x+1）2+1中得，
2=a+1，
解得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）2+1=x2+2x+2．
将y=﹣2x+2代入y=x2+2x+2中得，
﹣2x+2=x2+2x+2，
整理得：x2+4x=0，
解得：x1=﹣4，x2=0，
∴点C的坐标为（﹣4，10）．
∵点C（﹣4，10），点B（0，2），点A（1，0），
∴AB=，BC=4，
∴BC=4AB．
∵直线AB解析式为y=﹣2x+2可变形为2x+y﹣2=0，
∴|﹣2+1﹣2|=3，|﹣2|=2．
∴S△ABO：S△BCD=2：12=1：6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质、两点间的距离公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
例5受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．把表格（1）中任意两组数据代入直线解析式可得y1的解析式．
（2）分情况探讨得：1≤x≤7时，利润=p1×（售价﹣各种成本）；80≤x≤12时，利润=p2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即．
【解答】解：（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．
设y1=kx+b
则
解得：
∴y1=2x+54，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴y1=2x+54（1≤x≤7，且x为整数）．
（2）设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时，
w=p1=（0.1x+1.1）（92﹣2x﹣54）=﹣0.2x2+1.6x+41.8=﹣0.2（x﹣4）2+45，
∴当x=4时，w最大=45万元；
当8≤x≤12，且x为整数时，
w=p2=（﹣0.1x+3）（92﹣x﹣62）=0.1x2﹣6x+90=0.1（x﹣30）2，
∴当x=8时，w最大=48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元．
例6如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
考点过关☆专项突破
类型一 二次函数的图像与性质
1. 已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．
【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
2. （2018?广安?3分）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
3如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
4. （2018?山东菏泽?3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
5. （2018·湖南省衡阳·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+c=0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c=﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x=1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
6. （2018·江苏镇江·2分）已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 k＜4 ．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴△=（﹣4）2﹣4×1×k＞0，解得：k＜4，故答案为：k＜4．
7. 已知二次函数y=ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ﹣2＜a＜0 ；若a+b的值为非零整数，则b的值为 或 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a+b的值为非零实数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＜0，＜0，a﹣b+2=0，
故b＞0，且b=a+2，a=b﹣2，a+b=a+a+2=2a+2，
∴a+2＞0，
∴﹣2＜a＜0，
∴﹣2＜2a+2＜2，
∵a+b的值为非零实数，
∴a+b的值为﹣1，1，
∴2a+2=﹣1或2a+2=1，
∴a=﹣或a=﹣，
∵b=a+2，
∴b=或b=．
故答案为﹣2＜a＜0；或．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出a、b的取值范围各是多少．
8. (2019杭州萧山区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；
（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．
【分析】（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线x＝1，然后根据函数图象的增减性进行解题；
（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是（3，2），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式．
【解答】解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x＝1．与x轴的交点坐标（0，0）（2，0）．
（2）抛物线的对称轴是直线x＝1．
根据图示知，当x＜1时，y随x的增大而减小，
所以，当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
（3）∵对称轴是直线x＝1，点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标是（3，2）．
设直线AC的关系式为y＝kx+b（k≠0）．则
，
解得．
∴直线AC的函数关系式是：y＝2x﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，需要熟悉二次函数图象的对称性．
9. （2017?杭州一模）设抛物线y=mx2﹣2mx+3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）．
（1）若a=﹣1，求m，b的值；
（2）若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；
（3）抛物线上有两点P（x1，p）和Q（x2，q），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，试比较p与q的大小．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）把（﹣1，0）代入抛物线的解析式即可求出m的值，令y=0代入抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）易求抛物线的顶点坐标为（1，3﹣m），把x=1代入y=mx+n中，判断y是否等于1﹣3m即可．
（3）根据x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，可知P离对称轴较近，然后根据开口方向即可求出p与q的大小关系．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，
把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+3，
∴解得m=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或x=3，
∴b=3，
（2）抛物线的对称轴为：x=1，
把x=1代入y=mx2﹣2mx+3，
∴y=3﹣m
∴抛物线的顶点坐标为（1，3﹣m），
把x=1代入y=mx+n，
∴y=m+n=m+3﹣2m=3﹣m
∴顶点坐标在直线y=mx+n上，
（3）∵x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜1＜x2，
∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|，
∴P离对称轴较近，
当m＞0时，
p＜q，
当m＜0时，
p＞q，
【点评】本题考查抛物线的综合问题，待定系数法求解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．
类型二 二次函数的应用
1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
【解答】解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故选D．
【点评】在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
2. 已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式 ；自变量的取值范围
解析：可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．
解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．
这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．
∵0＜24-3x≤10得≤x＜8，
故答案为：S=-3x2+24x，≤x＜8．
3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
解析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：如图，
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），
到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：
-1=-0.5x2+2，
解得：x=±，
所以水面宽度增加到2米，故答案为：2米．
4. 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示．
（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；
（2）因为x=1时，面积最大，为1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为1.5米．
【解答】解：（1）由图象可知，当x=1时，窗户透光面积最大．
（2）因为最大透光面积是1.5平方米，
即矩形的最大面积是1.5平方米，此时x=1米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5米．
所以窗框另一边长为1.5米．（5分）
【点评】从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法．
5. 一服装批发店出售星星童装，每件进价120元，批发价200元，多买优惠；凡是一次买10件以上的，每多买一件，所买的全部服装每件就降低1元，但是最低价为为每件160元，
（1）求一次至少买多少件，才能以最低价购买？
（2）写出服装店一次销售x件时，能获利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲批发了46件，乙批发了50件，店主却发现卖46件赚的钱反而比卖50件赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每件160元至少提高到多少？
【考点】一元一次方程的应用，二次函数的应用 【解析】【分析】（1）设一次至少买x件，才能以最低价购买，则每件的价格为[200﹣（x﹣10）]元，根据降价后的价格为160元建立方程求出其解即可； （2）根据总利润=销售数量每件的利润建立解析式即可； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，根据顶点式的性质就可得出结论。
【解答】（1）解：设一次至少买x件，才能以最低价购买，由题意，得 200﹣（x﹣10）=160，解得：x=50．
答：一次至少买50件，才能以最低价购买；
（2）解：由题意，得 y=x[200﹣（x﹣10）﹣120]，
y=﹣x2+90x． ，解得10＜x≤50 （3）解：y=﹣x2+90x．
∴y=﹣（x﹣45）2+2025，
∵a=﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴x=45时，y有最大值，在对称轴x=45的右侧，y随x的增大而减小， ∴一天甲买了46支，乙买了50支，店主却发现卖46支的钱反而比卖50支赚的钱多的原因． 当x=45时，最低售价为200﹣（45﹣10）=165（元）． ∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只160元至少提高到165元
6. （2018?天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴，解得：，
∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；
（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；
当130≤x≤180时，y2=54；
当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，
∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），
∴，解得，
∴当50＜x＜130时，y2=﹣x+80．
综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；
（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50＜x＜130时，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，
∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
7. （2018?衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，
解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，
解得：x1=﹣1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
8.（(嘉兴模拟)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB?|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
类型三 二次函数与几何图形的综合应用
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得抛物线的表达式，令y＝0可求得B、C两点的坐标；
（2）由（1）可求得抛物线的对称轴，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线DE的表达式；
（3）由条件可知当直线和抛物线的图象不能都在x轴上方，结合直线和抛物线的图象可求得t的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），
∴m+4＝3．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点B，C，
∴令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．
解得 x1＝﹣1，x2＝3．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（1，0）．
∵直线y＝kx+b经过点D（1，0）和点E（﹣1，﹣2），
∴
解得
∴直线DE的表达式为y＝x﹣1；
（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t＜1或t＞3．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．
2．(2019杭州萧山区模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD＝2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD＝S△ACD+S△FCD＝×2×3+×2×（4﹣3）＝4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，
i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y＝x+1，
∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′＝5，
∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1＝﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可求得k2＝﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝，
当t＝时，﹣t2+2t+3＝，
当t＝时，﹣t2+2t+3＝，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
5. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（2）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象求a的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质．
【分析】（1）利用待定系数法求得k的值，把B的坐标代入反比例函数的解析式，则mn=k，然后利用mn表示出所求的式子代入求解；
（2）首先求得反比例函数与y=x的交点坐标，根据二次函数的解析式可以得到二次函数的顶点在x轴上，然后分成开口向上和开口向下两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
∵二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，
∴n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，
∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n
=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n
=4n+2×4﹣4n=8；
（2）设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，
解，得：或，
∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．
①若a＞0，如图1，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，
有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得，满足条件的a的范围是0＜a＜2；
②若a＜0，如图2，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，
有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得，满足条件的a的范围是a＜﹣．
综上所述，满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．
6. 如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，
解得：，
所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，
关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．
∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC
＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S△APB 的值最大．
∴当时，，S△APB＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）存在三组符合条件的点，
当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），
Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
