19.3.1矩形的性质 同步练习
一.选择题
1. 下列选项中，矩形具有的性质是（ ）
A. 四边相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，若∠COD等于50度，那么∠CAD的度数是 （ ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，若∠AOD=50度，AC=6，那么图中长度为3的线段有（ ）
A. 2条 B. 4条 C. 5条， D. 6条
4. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A. 3 cm2 B. 4 cm2 C12 cm2 D.4 cm2或者12 cm2
5. 在平面直角坐标系中，矩形ABC的位置如图所示，其中B(-1,-1)，AB=3，BC=4，AB平行y轴，则顶点D的坐标为（ ）
A. (3,2) B. (2,2) C(3,3) D. (2,3)
二.填空题
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，若∠ADB=30°，AB=4，则矩形ABCD的面积为 .
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，若∠OAB=50°，则∠AOD= .
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，若∠AOB=60°，AB=4，则OC= .
4. 如图，矩形ABCD中，AB=2 ，E对角线BD上的一点，且BE=3DE，CE⊥BD于E，则BC等于 .
三.解答题
1. 已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长.
2. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、 BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点，求证：EG=FH
3. 如图延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数，
参考答案
一.1.C 2.B 3.D 4.D 5.A.
二.1.
2.100°
3.4
4.
三
1.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF=90°
∴∠CED+∠AEF=90°
∵∠CED+∠DCE=90°
∴∠DCE=∠AEF
∵CE-EF, ∠A=∠D, ∠DCE=∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE=DC
由题意可知，2(AE+DE+CD)=16,DE=2
∴2AD=6
∴AE=3
2. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,AD=BC
∵E、F分别为AD、 BC的中点，
∴2AE=AD,2CF=BC
∴AE=CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF
∵AD∥BC
∴∠EDG=∠FBH
在△DEG和△BFH中，
∠DGE=∠BHF, ∠EDG=∠FBH,DE=BF
∴△DEG≌△BFH(AAS)
∴EG=FH
3. 解:连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE,AC=BD, 且∠ADB=∠CAD=30°
∴∠E=∠DAE
∵BD=CE
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=30°
∴∠E=15°
课件29张PPT。19.3.1矩形的性质沪科版 八年级下新知导入观察平行四边形的框架,回答下列问题:
(1) 为什么这个框架会任意”摇摆”?
(2) 随着内角的变化情况,平行四边形的边,角,周长, 面积等发生了什么变化?
(3) 当内角为直角时所成的四边形你认识吗?新知导入有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 （１）矩形的定义：（２）矩形的表示：矩形ABCD一个角是直角小学里学过的长方形、正方形都是矩形想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？新知导入新知讲解猜想：可以从边，角，对角线等方面来考虑.因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？新知讲解求证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°探究一 证明：∵ 四边形ABCD是矩形,则矩形必有一个角是直角，设∠A=900∴ AD∥BC∴ ∠A+∠B=1800又∵ ∠A＝900∴ ∠B ＝900∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等）新知讲解矩形的特殊性质1: 矩形的四个角都是直角几何语言：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900新知讲解已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD求证:矩形的对角线相等探究二证明：∵四边形ABCD是矩形∴△ABC≌△DCB∴AC = BD∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°在△ABC和△DCB中AB = DC∠ABC = ∠DCB BC = CB新知讲解从角上看：从对角线上看：矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．新知讲解例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.ABCDO矩形的对角线相等且互相平分新知讲解 (1)图中有几个等腰三角形？几对全等三角形?(2)若已知AB=6, BC=8，求矩形的面积，周长，对角线的长度。 (3)若已知BC=8， O到AD的距离为3，求矩形的面积，周长，对角线的长度。根据矩形的上述性质，你能发现OA、
OB、OC、OD有什么关系？ OA=OB=OC=OD (4)已知矩形的周长是14,相邻两边的差是1,那么这个矩形的面积是多少？E对于任一个直角三角形ABC,构造一个长为AB和宽为BC的矩形ABCD.设矩形的对角线AC和BD交于点O，则AO=OC=BO=DO= AC新知讲解ABCO数学语言： ∵ 在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO= AC直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.探究三新知讲解例2 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°,AD=4㎝,求矩形对角线的长？分析：先由矩形ABCD的性质得OA=OB,再由∠AOB=120°,可得∠ OBA=30°，最后由直角三角形的性质得矩形对角线的长.新知讲解小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形. ∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵ ∠AOB=120°∴ ∠ OAB= ∠ OBA=30°在Rt △ABD中，有
BD=2AD=2×4=8 cm∴ 矩形的对角线长 AC=BD=8 ㎝解：∵ 四边形ABCD是矩形新知讲解例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18.新知讲解(2)求证：EF垂直平分AD.证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．课堂练习1、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4B解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D=CD
∴C′D=AB
∵AB=2，
∴C′D=2.
故选B.课堂练习2、下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
（A）对角线相等 （B）四个角相等
（C）是轴对称图形 （D）对角线垂直
D解：矩形的对角线互相平分且相等；四个角都是直角，故相等；是轴对称图形，那么A，B，C三个选项中的性质矩形都具有，故选D．课堂练习3.如图在△ABC中， ∠ BAC=90 ° ，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ ABC的面积为( ).
A.20cm2 B.80cm2 C.40cm2 D.10cm2C解：∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，E为BC的中点，AE=8cm，
∴BC=2AE=16cm，故选C．课堂练习4.如图，Ｏ是矩形ABCＤ的对角线AC上的中点，Ｍ是ＡＤ的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .20中考链接1.(2018株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为______．?中考链接?中考链接【分析】可设原来七巧板的边长为4（或一个字母），在图2中，可分别求出AB与BC的长。过G作BC的垂线段，垂足为H，则AB=GH，而GH恰好是三角形②斜边上高的长度与三角形③斜边长度的和；同样的可求出BC的，求比值即可.2.(2018金华)如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E ， F分别在边AB ， BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值是________．中考链接解：如图，过G作GH⊥BC交BC于H，交三角形②斜边于点I， 则AB=GH=GI+HI，BC=AD=AG+GD=EI+GD. 设原来七巧板的边长为4，则三角形②斜边的长度=4，GI=4×0.5=2 ,三角形③斜边长而AG=EI=4，GD=4，则BC=8，则AB=GI+IH= ?故答案为： 课堂总结1，本节课你通过怎样的学习收获到了什么？2、矩形的定义3、矩形的性质板书设计边角对角线矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.二、矩形的性质作业布置 1．必做题：课本 P88 练习第1、2题.
2．选做题： 课本P97习题19.3第1、2题.
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沪科版数学八年级下册19.3.1矩形的性质 教学设计
课题
19.3.1矩形的性质
单元
第19章第6节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
探索并掌握矩形的定义及性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系,领会矩形的内涵
【过程与方法】?
经历探索矩形有关性质的过程,在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何感
【情感态度与价值观】
学生通过观察发现生活中的矩形,并且在实际操作中获得矩形的体验,在探索和运用矩形性质的过程中感受到数学的乐趣.
重点
1．矩形的定义,性质;
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
难点
矩形性质的灵活应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们，前面我们学习了平行四边形的性质，请你回顾一下平行四边形都有哪些性质？
平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分；
师：请认真观察平行四边形的框架,回答下列问题:
(1) 为什么这个框架会任意”摇摆”?
(2) 随着内角的变化情况,平行四边形的边,角,周长, 面积等发生了什么变化?
(3) 当内角为直角时所成的四边形你认识吗?
（１）矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（２）矩形的表示：矩形ABCD
师：小学里学过的长方形、正方形都是矩形
想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？
认真回顾，已学知识积极回答问题，
认真观察思考回答问题，
巩固已学知识，
创设情景，引入新课，
讲授新课
师：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
猜想：可以从边，角，对角线等方面来考虑.
师：下面我们来证明猜想一，
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形, 且∠A=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AD∥BC
∴ ∠A+∠B=180°
又∵ ∠A＝90°
∴ ∠B ＝90°
∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=90°
又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等）
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
师：通过证明，我们发现这个命题是真命题，我们把它称为，矩形的特殊性质1:
矩形的四个角都是直角
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
师：猜想二，请同学们自己证明，
求证:矩形的对角线相等
师：通过以上学习我们发现矩形不仅具有平行四边形的性质，还具有自己独有的性质，
矩形特殊的性质
1．矩形的四个角都是直角．
2．矩形的两条对角线相等．
师：下面我们通过例题来看一下这两条性质的应用，
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
师：根据矩形的上述性质，你能发现OA、
OB、OC、OD有什么关系？
(1)图中有几个等腰三角形？几对全等三角形?
(2)若已知AB=6, BC=8，求矩形的面积，周长，对角线的长度。
(3)若已知BC=8， O到AD的距离为3，求矩形的面积，周长，对角线的长度。
(4)已知矩形的周长是14,相邻两边的差是1,那么这个矩形的面积是多少？
对于任一个直角三角形ABC,构造一个长为AB和宽为BC的矩形ABCD.设矩形的对角线AC和BD交于点O，则AO=OC=BO=DO= AC
师：这个叫直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言：
∵ 在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO= AC
师：下面我们通过例题来看其应用，
例2 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°,AD=4㎝,求矩形对角线的长？
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
通过观察猜想验证，探索新知，
在老师的引导下探索新知并证明猜想，
在老师的引导下进一步探索矩形的性质，
观察模仿，学习，运用新知，
认真思考，探索总结发现直角三角形性质，
观察思考学习应用性质，
培养学生观察猜想的能力，
培养学生逻辑思维的能力，
培养学生独立自主学习的能力，
通过例题，初步感知新知的应用，
引导学生探索直角三角形的性质，
初步应用知识，
课堂练习
1、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
（A）对角线相等 （B）四个角相等
（C）是轴对称图形 （D）对角线垂直
3.如图在△ABC中， ∠ BAC=90 ° ，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ ABC的面积为( ).
A.20cm2 B.80cm2 C.40cm2 D.10cm2
4.如图，Ｏ是矩形ABCＤ的对角线AC上的中点，Ｍ是ＡＤ的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .
独立自主合作探究，巩固新学的知识，
进步巩固所学的知识，培养学生初步运用知识的能力，
中考链接
1.(2018株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为______．
2.(2018金华)如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E ， F分别在边AB ， BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值是________．
小组合作共同探究展示成果，
进一步运用所学的知识解决中考实际问题，
课堂小结
1，本节课你通过怎样的学习收获到了什么？
2、矩形的定义
3、矩形的性质
回顾总结梳理知识，
培养学生概括知识的能力，
板书
一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
二、矩形的性质
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
认真板书，
为学生留下，学习知识的线索，
